专题24.8 正多边形与圆【十大题型】（原卷版）

专题248 正多边形与圆【十大题型】 【人版】 【题型1 正多边形与圆中求角度】.........................................................................................................................1 【题型2 正多边形与圆中求线段长度】................................................................................................................. 3 【题型3 正多边形与圆中求半径】.........................................................................................................................4 【题型4 正多边形与圆中求面积】.........................................................................................................................5 【题型5 正多边形与圆中求周长】.........................................................................................................................6 【题型6 确定正多边形的边数】.............................................................................................................................6 【题型7 正多边形与圆中的实际应用】................................................................................................................. 7 【题型8 正多边形与圆中的规律问题】................................................................................................................. 8 【题型9 正多边形与圆中求最值】.......................................................................................................................10 【题型10 正多边形与圆中的证明】......................................................................................................................11 【知识点1 正多边形与圆】 （1）正多边形的有关计算 （2）正多边形每个内角度数为 ，每个外角度数为 【题型1 正多边形与圆中求角度】 【例1】（2022 春•株洲期末）如图，正五边形BDE 和正三角形M 都是⊙的内接多边形， 则∠BM 的度数是（ ） ．36° B．45° ．48° D．60° 【变式1-1】（2022•长春一模）如图，正六边形BDEF 内接于⊙，点M 在^ AF上，则∠MD 中心角 边心距 周长 面积 为边数； 为边心距； 为半径； 为边长 B A O 1 的大小为（ ） ．60° B．45° ．30° D．15° 【变式1-2】（2022 春•福州期中）如图，在正五边形BDE 中，连结，以点为圆心，B 为半 径画圆弧交于点F，连接DF．则∠FD 的度数是 ． 【变式1-3】（2022•绥化）如图，正六边形BDEF 和正五边形K 内接于⊙，且有公共顶点， 则∠B 的度数为 度． 【题型2 正多边形与圆中求线段长度】 【例2】（2022•雅安）如图，已知⊙的周长等于6π，则该圆内接正六边形BDEF 的边心距 G 为（ ） 1 ．3❑ √3 B．3 2 ．3 ❑ √3 2 D．3 【变式2-1】（2022 秋•西城区期末）如图，⊙是正方形BD 的外接圆，若⊙的半径为4， 则正方形BD 的边长为（ ） ．4 B．8 ．2❑ √2 D．4 ❑ √2 【变式2-2】（2022•德城区模拟）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点，B，，D， E，F 在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（ ） ．3−❑ √13 B．❑ √13−1 ．❑ √13+1 D．2❑ √3−1 【变式2-3】（2022•凉山州）如图，等边三角形B 和正方形DEF 都内接于⊙，则D：B＝ （ ） 1 ．2❑ √2：❑ √3 B．❑ √2：❑ √3 ．❑ √3：❑ √2 D．❑ √3：2❑ √2 【题型3 正多边形与圆中求半径】 【例3】（2022 春•临海市期末）如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积 三等分，这两个圆的半径分别为B，．则：B：的值是（ ） ．3：2：1 B．9：4：1 ．❑ √3：❑ √2：1 D．3：❑ √6：❑ √2 【变式3-1】（2022•虹口区二模）如果正三角形的边心距是2，那么它的半径是 ． 【变式3-2】（2022•钦州模拟）如图，正六边形BDEF 内接于⊙，连接，已知＝6，则圆的 半径是（ ） ．3 B．6 ．2❑ √3 D．4❑ √3 【变式3-3】（2022•碑林区校级模拟）如图：⊙与正六边形BDEF 的两边B 和EF 相切于点 B 和点E 两点，若正六边形的边长是❑ √3，则⊙的半径长是（ ） ．1 B．❑ √3 ．2 D．3 【题型4 正多边形与圆中求面积】 【例4】（2022•泗水县三模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若 1 圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ） ．8❑ √3 B．12❑ √3 ．16 D．16 ❑ √3 【变式4-1】（2022 秋•宣化区期末）如图，已知⊙的周长等于6π，则它的内接正六边形 BDEF 的面积是（ ） ．27 ❑ √3 2 B．27 ❑ √3 4 ．9 ❑ √3 4 D．27 ❑ √3 【变式4-2】（2022•庐阳区校级一模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接 而成，若圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为（ ） ．3 ❑ √3 4 B．❑ √3 ．5 ❑ √3 4 D．2❑ √3 【变式4-3】（2022 秋•庐江县期末）⊙半径为4，以⊙的内接正三角形、正方形、正六边 形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（ ） ．❑ √2 B．❑ √3 ．2❑ √2 D．2❑ √3 【题型5 正多边形与圆中求周长】 【例5】（2022•和平区一模）如图，若⊙是正方形BD 与正六边形EFG 的外接圆，则正方 形BD 与正六边形EFG 的周长之比为（ ） 1 ．2❑ √2：3 B．❑ √2：1 ．❑ √2：❑ √3 D．1：❑ √3 【变式5-1】（2022•鼓楼区校级模拟）正六边形的周长为12，则它的外接圆的内接正三角 形的周长为（ ） ．2❑ √3 B．3❑ √3 ．6❑ √3 D．6 【变式5-2】（2022 秋•梅河口市期末）如图，正六边形BDEF 内接于⊙，连接、D，若长 为2m，则正六形BDEF 的周长为 m． 【变式5-3】（2022•旌阳区模拟）如图，正六边形BDEF 内接于⊙，若⊙的半径为6，则 △DE 的周长是（ ） ．9+3❑ √3 B．12+6❑ √3 ．18+3❑ √3 D．18+6❑ √3 【题型6 确定正多边形的边数】 【例6】（2022•宽城县一模）如图，边B 是⊙内接正六边形的一边，点在^ AB上，且B 是 ⊙内接正八边形的一边，若是⊙内接正边形的一边，则的值是（ ） ．6 B．12 ．24 D．48 【变式6-1】（2022 秋•滨江区期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为 72°，则该正多边形的边数是（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【变式6-2】（2022•息烽县二模）如图，B、分别为⊙的内接正方形、内接正三边形的边， B 是圆内接正边形的一边，则等于（ ） 1 ．8 B．10 ．12 D．16 【变式6-3】（2022 秋•钢城区期末）如图，四边形BD 为⊙的内接正四边形，△EF 为⊙的 内接正三角形，若DF 恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（ ） ．8 B．10 ．12 D．15 【题型7 正多边形与圆中的实际应用】 【例7】（2022•安国市一模）2019 年版一元硬币的直径约为2225mm，则用它能完全覆盖 住的正方形的边长最大不能超过（ ） ．11125mm B．2225mm ．89 ❑ √2 8 mm D．89 ❑ √3 8 mm 【变式7-1】（2022 秋•门头沟区期末）颐和是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家 林，它和承德避暑山庄、苏州拙政、苏州留并称为中国四大名．该有一个六角亭，如果 它的地基是半径为2 米的正六边形，那么这个地基的周长是 米． 【变式7-2】（2022 秋•东城区期末）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载： “斛底，方而圜（uá）其外，旁有庣（tā）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外 接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为 两尺五寸（即25 尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为 025 尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺． 1 【变式7-3】（2022•清苑区一模）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大 小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1m．目前厂家提供了圆形和等边三角形两 种作为底面的设计方，我们以6 支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方； （1）如果要装6 支彩铅，在以上两种方里，你认为更小的底面积是 m． （2）如果你要装12 只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使 用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为 ❑ √13 m． 【题型8 正多边形与圆中的规律问题】 【例8】（2022 秋•椒江区校级月考）已知正方形MK 和正六边形BDEF 边长均为1，把正 方形放在正六边形外边，使K 边与B 边重合，如图所示．按下列步骤操作： 将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使K 边与B 边重合，完成第一次旋转；再绕 点顺时针旋转，使M 边与D 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6 次旋转的过程中， 点M 在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（ ） ．22 B．﹣22 ．23 D．﹣23 【变式8-1】（2022 秋•铁锋区期末）如图，边长为1 的正六边形BDEF 放置于平面直角坐 标系中，边B 在x 轴正半轴上，顶点F 在y 轴正半轴上，将正六边形BDEF 绕坐标原点 顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2022 次旋转后，顶点D 的坐标为 ． 1 【变式8-2】（2022•江西模拟）如图，我们把先作正方形BD 的内切圆，再作这个内切圆 的内接正方形1B11D1．称为第一次数学操作，接下来，作正方形1B11D1的内切圆，再作 这个内切圆的内接正方形2B22D2，称为第二次数学操作，按此规律如此下去，…，当完 成第次数学操作后，得到正方形B∁D，则An Bn AB 的值为（ ） ．（ ❑ √2 2 ） B．（1 2） ．（ ❑ √3 2 ） D．（3 4 ） 【变式8-3】（2022•威海）如图，正六边形1B11D1E1F1的边长为2，正六边形2B22D2E2F2的 外接圆与正六边形1B11D1E1F1 的各边相切，正六边形3B33D3E3F3 的外接圆与正六边形 2B22D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，10B1010D10E10F10的边长为（ ） ．243 2 9 B．81❑ √3 2 9 ．81 2 9 D．81❑ √3 2 8 【题型9 正多边形与圆中求最值】 【例9】（2022•南山区三模）如图，正方形BD 内接于⊙，线段M 在对角线BD 上运动， 若⊙的面积为8π，M＝2，则△M 周长的最小值是（ ） 1 ．6 B．8 ．9 D．10 【变式9-1】（2022•观山湖区一模）如图，点P 是正六边形BDEF 内一点，B＝4，当∠PB ＝90°时，连接PD，则线段PD 的最小值是（ ） ．2❑ √11−2 B．2❑ √13−2 ．6 D．4 ❑ √3 【变式9-2】（2022•浙江自主招生）如图，边长为4 的正方形BD 内接于⊙，点E 是弧B 上 的一动点（不与、B 重合），点F 是弧B 上的一点，连接E，F，分别与B，B 交于点 G，，且∠EF＝90°，则△GB 周长的最小值为 ． 【变式9-3】（2022 秋•广陵区期末）如图，⊙半径为❑ √2，正方形BD 内接于⊙，点E 在 ^ ADC上运动，连接BE，作F⊥BE，垂足为F，连接F．则F 长的最小值为 ． 【题型10 正多边形与圆中的证明】 【例10】如图，⊙的内接正五边形BDE 中，对角线和BE 相交于点F． （1）求∠B 的度数． （2）求证：四边形DEF 为菱形． 1 【变式10-1】已知：如图，△B 是⊙的内接等腰三角形，顶角∠B＝36°，弦BD、E 分别平分 ∠B、∠B． 求证：五边形EBD 是正五边形． 【变式10-2】（2022•河南模拟）如图，⊙半径为4m，其内接正六边形BDEF，点P，Q 同 时分别从，D 两点出发，以1m/s 速度沿F，D 向终点F，运动，连接PB，QE，PE， BQ．设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形PEQB 为平行四边形； （2）填空： ①当t＝ s 时，四边形PBQE 为菱形； ②当t＝ s 时，四边形PBQE 为矩形． 【变式10-3】（2022•张家口一模）（1）已知：如图1，△B 是⊙的内接正三角形，点P 为 ^ BC上一动点，求证：P＝PB+P． 下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法． 证明：在P 上截取E＝P，连接BE ∵△B 是正三角形 ∴B＝B 1 ∵∠和∠2 的同弧圆周角 1 ∴∠＝∠2 ∴△BE≌△BP 1 （2）如图2，四边形BD 是⊙的内接正方形，点P 为^ BC上一动点，求证：P＝P+❑ √2 PB． （3）如图3，六边形BDEF 是⊙的内接正六边形，点P 为^ BC上一动点，请探究P、 PB、P 三者之间有何数量关系，直接写出结论． 1