专题29.1 投影与视图【十大题型】（解析版）

专题291 投影与视图【十大题型】 【人版】 【题型1 判断几何体的三视图】.............................................................................................................................1 【题型2 根据三视图确定几何体】.........................................................................................................................3 【题型3 在格点中作几何体的三视图】................................................................................................................. 6 【题型4 根据三视图确定小立方体的个数】.......................................................................................................10 【题型5 根据三视图确定最多或最少的小立方体的个数】................................................................................13 【题型6 根据俯视图中的小正方形中的数字确定其他视图】............................................................................16 【题型7 去掉或移动小立方体确定视图是否改变】............................................................................................18 【题型8 平行投影的概念及特点】.......................................................................................................................20 【题型9 中心投影的概念及特点】.......................................................................................................................22 【题型10 正投影的概念及特点】.........................................................................................................................24 【题型1 判断几何体的三视图】 【例1】（2022·河南南阳·三模）下列几何体均是由若干个大小相同的小正方体搭建而成的， 其三视图都相同的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】分别画出每个选项的三视图，再进行判断即可． 【详解】解：选项的三视图为 ，三视图不相同，故该选项 不符合题意； 选项B 的三视图为 ，三视图不相同，故该选项不符合 题意； 1 选项的三视图为 ，三视图不相同，故该选项不符合题 意； 选项的三视图为 ，三视图相同，故该选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提． 【变式1-1】（2022·福建省龙岩市永定区第二初级中学九年级期中）如图所示空心圆柱体， 则该几何体的主视图是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆 柱体，故矩形的内部有两条纵向的虚线， 故选：． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的 棱画实线，看不到的棱画虚线． 【变式1-2】（2022·辽宁阜新·中考真题）在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的 是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据俯视图与左视图的概念依次判断即可．主视图、左视图、俯视图是分别从物 体正面、左面和上面看，所得到的图形． 1 【详解】解：、俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意； B、俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意； 、俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意； D、俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键． 【变式1-3】（2022·河北·育华中学三模）如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所 示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看主视图为长方形，且长方形内有一条斜线． 故选：B． 【点睛】此题考查了三视图的知识，解题的关键是知道主视图是从物体的正面看得到的视 图． 【题型2 根据三视图确定几何体】 【例2】（2022·浙江台州·一模）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据三视图的形状即可判断． 1 【详解】解：、圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆，故此选项不符合 题意； B、几何体的主视图是长方形，左视图是小长方形，俯视图是三角形，故此选项符合题意； 、长方体的主视图是长方形，左视图是小长方形，俯视图是长方形，故此选项不符合题意； D、圆锥的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆且中间有点，故此选项不符合 题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据三视图判断几何体的形状，解题的关键是掌握常见几何体的三视 图特征． 【变式2-1】（2022·陕西咸阳·一模）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） 主视图 左视图 俯视图 ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据三视图即可判断该几何体． 【详解】解：由于主视图与左视图是矩形， 俯视图是圆，故该几何体是圆柱， 故选：B． 【点睛】本题考查三视图，解题的关键是熟练掌握几种常见几何体的三视图，本题属于基 础题型． 【变式2-2】（2022·甘肃酒泉·九年级期末）下面的三视图所对应的物体是（ ）． 1 ． B． ． D． 【答】 【分析】本题可利用排除法解答．从俯视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的 矩形的宽相等，故可排除B，，D． 【详解】解：从主视图左视图可以看出这个几何体是由上、下两部分组成的，故排除D 选 项，从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除B 选项，从俯视图看出是一个底面 直径与长方体的宽相等的圆柱体， 故选：． 【点睛】此题考查由三视图还原实物基本能力，还原实物的形状关键是能想象出三视图和 立体图形之间的关系，从而得出该物体的形状．本题只从俯视图入手也可以准确快速解题． 【变式2-3】（2022·云南·盈江县育体育局育科研中心模拟预测）如图，图形是某几何体的 三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等 的等腰三角形．若主视图腰长为6，俯视图是直径等于4 的圆，则这个几何体的体积为___ __． 【答】16 ❑ √2π 3 【分析】先由三视图判定几何体是圆锥，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后由圆锥的体 积公式计算即可． 1 【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆锥， 圆锥的高为：❑ √6 2−( 4 2) 2 =4 ❑ √2 ∴V=1 3 π ×( 4 2) 2 ×4 ❑ √2=16 ❑ √2π 3 ， 故答为：16 ❑ √2π 3 ． 【点睛】本题考查由三视图判定几何体，圆锥的计算，由三视图判定几何体是圆锥，根据 三视图求出圆锥的高是解题的关键 【题型3 在格点中作几何体的三视图】 【例3】（2022·山东青岛·二模）如图是由一些棱长均为1 个单位长度的小正方体组合成的 简单几何体． (1)画该几何体的主视图、左视图： (2)若给该几何体露在外面的面（不含底图）都喷上红漆，则需要喷漆的面积是 ； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以再 添加 块小正方体． 【答】(1)见详解； 1 (2)27； (3)3． 【分析】（1）根据三视图的概念求解可得； （2）将主视图、左视图分别乘2 的面积，加上俯视图的面积即可得解； （3）若使该几何体主视图和左视图不变，只可在底层添加方块，可以添加3 块小正方体． (1) 如图所示： (2) 解：（7×2＋4×2）×（1×1）＋5×（1×1） ＝14＋8＋5 ＝27 故答为：27． (3) 若使该几何体主视图和左视图不变，可在最底层从右数第一至三列的第一行各添加一个， 添加3 块小正方体． 故答为：3． 【点睛】本题主要考查了画三视图，解题的关键是掌握在画图时一定要将物体的边缘、棱、 顶点都体现出来，看得见的轮廓线都化成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几 何体的三视图时应注意小正方体的数目及位置． 【变式3-1】（2022·江西吉安·七年级期末）（1）如图是由10 个同样大小的小正方体搭成 的几何体，请分别画出它的主视图和左视图； （2）在不改变主视图和左视图的情况下，你认为最多还可以添加________个小正方体． 1 【答】（1）见解析；（2）4 【分析】（1）主视图有3 列，每列小正方形数目分别为3，1，2；左视图有3 列，每列小 正方形数目分别为3，2，1； （2）根据保持这个几何体的主视图和左视图不变，可在最前面第一层添加3 个，左边中间 最右边可添加1 个，依此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示： 最多还可以添加4 个小正方体． 故答为：4． 【点睛】此题主要考查了作图−¿三视图，解题的关键是在画图时一定要将物体的边缘、棱、 顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 【变式3-2】（2022·江苏南京·七年级期末）从棱长为2 的正方体毛坯的一角，挖去一个棱 长为1 的小正方体，得到一个如图所示的零件． （1）这个零件的表面积是 ． （2）请按要求在边长为1 格图里画出这个零件的视图． 1 【答】（1）24；（2）见解析 【分析】（1）几何体的表面积与原来相同，根据正方体的表面积公式计算即可求解； （2）根据几何体画出从左面、上面看所得到的图形即可． 【详解】解：（1）2×2×6＝24． 这个零件的表面积是24， 故答为：24． （2）如图所示： 【点睛】本题考查了三视图，解题关键是树立空间观念，准确识图，认真计算． 【变式3-3】（2022·全国·七年级单元测试）如图，学校3D 打印小组制作了1 个棱长为4 的 正方体模型（图中阴影部分是分别按三个方向垂直打通的通道）． （1）画图：按从前往后的顺序，依次画出每一层从正面看到的图形，通道部分用阴影表示； （2）求这个正方体模型的体积． 【答】（1）见解析；（2）48． 【分析】（1）观察图形，按从前往后的顺序，依次画出每一层从正面看到的图形，通道部 分用阴影表示； （2）先数出这个正方体模型中小正方体的个数，再根据正方体的体积公式计算可求这个正 1 方体模型的体积． 【详解】（1）如图所示： （2）大正方体的体积=4×4×4=64， 小正方体的棱长为1，阴影部分共有3+5+5+3=16 个小正方体， 体积1×1×1×16=16， 所以正方体模型的体积为64-16=48． 【点睛】本题考查了作图－三视图，解题的关键是理解题意，正确作出三视图，属于中考 常考题型． 【题型4 根据三视图确定小立方体的个数】 【例4】（2022·河南·三模）某几何体是由若干个大小相同的小正方体组合而成，下面是该 几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【答】B 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出 每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：根据主视图和左视图可知，俯视图中每个位置上小正方体的层数，如图所示： ∴组成该几何体的小正方体的个数为1+1+2=4（个），故B 正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了对三视图的理解应用及空间想象能力．解题的关键是掌握可从主 视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述 1 分析数出小立方块的个数． 【变式4-1】（2022·全国·七年级单元测试）如图是由若干个相同的正方体组成的一个立体 图形从三个不同方向看到的形状图，根据形状图回答下列问题： (1)原立体图形共有几层？ (2)立体图形中共有多少个小正方体？ 【答】(1)共有2层 (2)5个 【分析】由已知中的几何体从三个不同方向看到的形状图，我们可以判断出这个立体图形 由一些相同的小正方体构成，其中根据俯视图我们可以判断该立体图形共有2层小正方体 组成，然后我们根据从正面看到的图形和从左面看到的图形，分别推算每层小正方体的个 数，即可得到答． （1） 由三个不同方向看到的形状图可得，原立体图形共有2层； （2） 该立体图形共有2层小正方体组成， 由从上面看到的图形我们可知，第1层有4个小正方体， 由从正面看到的图形和从左面看到的图形我们可知，第2层有一个小正方体， 故这些相同的小正方体共有5个． 【点睛】本题考查的知识点是由三个不同方向看到的形状图还原实物图，其中准确把握空 间几何体的几何特征，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键． 【变式4-2】（2022·全国·七年级）用若干个大小相同，棱长为1 的小正方体搭成一个几何 体，其三视图如图所示，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【答】 【分析】用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形， 1 进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数． 【详解】综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4 个小正方体，第二层 应该有1 个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5 个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想 象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更 容易得到答． 【变式4-3】（2022·宁夏·银川北塔中学七年级期末）一个几何体是由若干个棱长为2m 的 小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到的几何体的形状如图所示： (1)在“从上面看”的图中标出各个位置上小正方体的个数； (2)求该几何体的体积． 【答】(1)见解析 (2)该几何体的体积为80cm 3． 【分析】（1）根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”的原则解答即可得解； （2）根据每个正方体的体积乘正方体的个数即可得解． （1） 解：如图所示： ； （2） 解：该几何体的体积为：2 3×（2+3+2+1+1+1）=8×10=80（cm 3）． 答：该几何体的体积为80cm 3． 【点睛】本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能 力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易 得到答． 1 【题型5 根据三视图确定最多或最少的小立方体的个数】 【例5】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市富拉尔基区师进修学校二模）在桌上摆着一个由若干个 相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的 最少个数为m，最多个数为，下列正确的是（ ） ．m＝5，＝13 B．m＝8，＝10 ．m＝10，＝13 D．m＝5，＝10 【答】 【详解】由主视图和左视图可以确定：正方体堆成的几何体由两层组成，其底面最多有9 个相同的正方体组成，恰好构成了边长为3 个小正方体棱长的正方形，上面一层最多在这 个正方形的4 个顶点处各放1 个相同的正方体．因此最多有正方体=9＋4＝13 个；底层正方 体最少的个数应是3 个，第二层正方体最少的个数应该是2 个，因此这个几何体最少有 m=2+3=5 个小正方体组成． 故选：． 点睛：当一个几何体已知两个视图时，它的形状不能确定．应分为最多和最少各有多少， 来判断，解题关键是利用“主视图”疯狂盖，利用“左视图”拆违章，找到正方体的个数， 比较复杂，求最少时容易出错，应该吧中间的向后移一行，最右边向后移2 行即可 【变式5-1】（2022·全国·九年级单元测试）用小立方块搭一个几何体，主视图与左视图如 下图，它最少要多少个立方块？最多要多少个立方块？画出这个几何体最多、最少两种情 况下的俯视图，并用数字表示在该位置的小立方体的个数． 【答】3，5 【详解】试题分析：根据几何体的主视图和左视图，判断出高度，然后确定俯视图中显示 的正方体的个数，计算最多和最少的个数即可 试题解析：根据题意可知： 俯视图，最少的情况：3 块； 1 俯视图，最多的情况：5 块 【变式5-2】（2022·山东省枣庄市第四十一中学七年级阶段练习）用小立方体搭一个几何 体，使它从正面、从上面看到的形状图如图所示． （1）它最多需要多少个小立方体？它最少需要多少个小立方体？ （2）请你画出这两种情况下的从左面看到的形状图． 【答】（1）10；8（2）图形见解析 【详解】试题分析：（1）利用左视图以及主视图可以得出这几个几何体最多的块数，以及 最少块数； （2）画出这两种情况下从左面看到的形状 试题解析：（1）它最多需要2×5=10 个小立方体，它最少需要2×3+2=8 个小立方体． （2）小立方体最多时的左视图有2 列，从左往右依次为2，2 个正方形； 小立方体最少时的左视图有2 种情况：①有2 列，从左往右依次为1，2 个正方形；②有2 列，从左往右依次为2，2 个正方形； 如图所示： 【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几 何体的主视图和俯视图． (1)当组成这个几何体的小正方体的个数为8 个时，几何体有多种形状．请画出其中两种几 何体的左视图； (2)若组成这个几何体的小正方体的个数为，请写出的最小值和最大值； (3)主视图和俯视图为下面两图的几何体有若干个，请你画出其中一个几何体． 1 【答】(1)画图见解析；(2)