专题15.1 分式【十大题型】（解析版）

专题151 分式【十大题型】 【人版】 【题型1 分式的概念辨析】.....................................................................................................................................1 【题型2 分式有意义的条件】.................................................................................................................................3 【题型3 分式值为零的条件】.................................................................................................................................4 【题型4 分式的求值】............................................................................................................................................. 6 【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】......................................................................................8 【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】............................................................................................10 【题型7 分式的规律性问题】...............................................................................................................................12 【题型8 分式的基本性质】...................................................................................................................................15 【题型9 约分与通分】........................................................................................................................................... 16 【题型10 运用分式的基本性质求值】..................................................................................................................19 【知识点1 分式的定义】 一般地，如果、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式。 注：、B 都是整式，B 中含有字母，且B≠0。 【题型1 分式的概念辨析】 【例1】（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）在 x 3 , 1 x+ y , 2 3 x , 3 y+2 2 x−1 , 1 2 , 2022 x 中，分式的个数有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【答】B 【分析】根据分式的定义，即可求解． 【详解】解∶分式有1 x+ y , 3 y+2 2 x−1 , 2022 x ，共3 个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如A B （其中、B 都是整式，且B≠0）的 式子叫做分式是解题的关键． 【变式1-1】（2022·河南洛阳·八年级期中）若1 □是分式，则□不可以是（ ） 1 ．3 π B．x+1 ．c−3 D．2 y 【答】 【分析】根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：∵1 □是分式， ∴分母中含字母， 而3 π是一个常量， 故选项不满足． 故选：． 【点睛】本题考查分式的定义，理解形如A B ，B 中含有字母且B≠0 的式子称为分式是解题 关键． 【变式1-2】（2022·陕西渭南·八年级期末）对于代数式①2 x ，②x 2 来说，有下列说法，正 确的是（ ） ．①、②均是分式 B．①是分式，②不是分式 ．①不是分式，②是分式 D．①、②均不是分式 【答】B 【分析】根据分式的定义判定即可． 【详解】解：①2 x 是分式，②x 2是整式不是分式， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，一般地，形如A B ，、B 为整式，且B 中含有字母，叫分式． 【变式1-3】（2022·全国·八年级课时练习）下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？ x+1 x+2 , m−3 m ,2−b 5a , a+3b 5 , 4 3−2 x , 1 x + y , m−n 4 ,− 2 3 y−1 , 2 x 2 x , 1 π ( x+ y)， 整式{ _______…}； 分式{________…}． 【答】 a+3b 5 ，m−n 4 ，1 π ( x+ y) x+1 x+2，m−3 m ，2−b 5a， 4 3−2 x ，1 x + y，−2 3 y−1， 2 x 2 x 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有 字母则不是分式． 1 【详解】解：a+3b 5 ，m−n 4 ，1 π ( x+ y)的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不 是分式． x+1 x+2，m−3 m ，2−b 5a， 4 3−2 x ，1 x + y，−2 3 y−1，2 x 2 x 的分母中含有字母，因此是分式． 故答为：a+3b 5 ，m−n 4 ，1 π ( x+ y)；x+1 x+2，m−3 m ，2−b 5a， 4 3−2 x ，1 x + y，−2 3 y−1， 2 x 2 x ． 【点睛】本题主要考查分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可 以不含字母，亦即从形式上看是A B 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不 等于零，且只看初始状态，不要化简 【题型2 分式有意义的条件】 【例2】（2022·广西桂林·八年级期中）无论取何值，下列分式总有意义的是（ ） ．a−1 a 2+1 B．a+1 a 2 ． 1 a 2−1 D．1 a+1 【答】 【分析】根据分式的分母不为零，让分式的分母为零列式求是否存在即可． 【详解】解：、分母a 2+1≥1故选项正确，符合题意； B、当=0，分母a 2为零，故选项错误，不符合题意； 、当=±1，分母a 2−1为零故选项错误，不符合题意； D、当=-1，分母a+1为零故选项错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是找出分母为零的情况． 【变式2-1】（2022·浙江·八年级开学考试）当x=3时，分式x−b x+2b没有意义，则b 的值为 （ ） ．−3 B．−3 2 ．3 2 D．3 【答】B 【分析】先将x=3代入分式x−b x+2b，再根据分母等于0 时分式没有意义即可得到答． 【详解】解：当x=3，x−b x+2b= 3−b 3+2b ， 1 ∵分式3−b 3+2b没有意义， ∴3+2b=0， ∴b=−3 2 ， 故选：B． 【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 【变式2-2】（2022·甘肃·兰州市第五十二中学八年级期末）要使分式 x−3 x 2+6 x+9有意义， 那么x的取值范围是（ ） ．x≠3 B．x≠3且x≠−3 ．x≠0且x≠−3 D．x≠−3 【答】D 【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可． 【详解】解：∵x 2+6 x+9≠0， ∴（x+3） 2≠0， ∴x+3≠0， ∴x≠−3， ∴分式 x−3 x 2+6 x+9有意义，x的取值范围x≠−3， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键． 【变式2-3】（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）写出一个分式，并保证无论字母取 何值分式均有意义 __________________． 【答】 1 x 2+1 【分析】根据分式的分母不等于零，结合分式的概念解答即可． 【详解】∵无论字母x 取何值，x2+1＞0， ∴x2+1≠0， ∴ 1 x 2+1 是一个分式，并无论字母x 取何值分式均有意义， 故答为： 1 x 2+1（答不唯一）． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列 一个代数式使分母不等于零． 【题型3 分式值为零的条件】 1 【例3】（2022·广东茂名·八年级期末）若分式 m+2 (m−2)(m+3)的值为零，则m=¿______． 【答】-2 【分析】根据分式的值为零的条件(分子为零、分母不为零)可以求出m的值． 【详解】解：根据题意，得 m+2=0，且m−2≠0、m+3≠0； 解得m=−2； 故答是：−2． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分 子为0；②分母不为0.这两个条件缺一不可，熟记分式值为0 的条件是解题的关键． 【变式3-1】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学八年级期末）若分式x 2−1 1−x 的值为零，则x 的值为________． 【答】x=−1 【分析】根据分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零， 即可得到答． 【详解】解；根据分式的值为零的条件得：x 2−1=0，且1−x≠0， 解得：x=−1， 故答为：x=−1． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值 为零． 【变式3-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）分式x−y x+1 的值为0，则x、y 满足的条件为___ ___． 【答】x= y且x≠−1 【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即可得出答． 【详解】解：∵x−y x+1 =0， ∴¿， 解得x= y且x≠−1． 故答为：x= y且x≠−1． 【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解决本题的关 键． 【变式3-3】（2022·山东菏泽·八年级期末）若分式¿ x−2∨−1 x 2−6 x+9 的值为0，则x 的值为 ____ 1 _． 【答】1 【分析】根据分式的值为零的条件列出方程和不等式求解，即可以求出x 的值． 【详解】解：∵分式¿ x−2∨−1 x 2−6 x+9 的值为0， | ∴x 2| 1 ﹣ ﹣＝0 且x2 6 ﹣x+9≠0， 解得：x 2 ﹣＝﹣1 或1 且x≠3， 则x 2 ﹣＝﹣1．则x＝1 故答为：1． 【点睛】本题考查分式值为0 的条件下，解答本题特别注意分式分母不为0 这一条件． 【题型4 分式的求值】 【例4】（2022·辽宁大连·八年级期末）已知x 2= y 3 = z 4 ，则xy−x 2 yz =¿_____． 【答】1 6 【分析】设x 2= y 3 = z 4 =k，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解． 【详解】设x 2= y 3 = z 4 =k，根据题意有，k≠0， 则有x=2k，y=3k，z=4k， 即xy−x 2 yz = (2k ) (3k )−(2k ) 2 (3k ) (4 k ) =6k 2−4 k 2 12k 2 =1 6 ， 故答为：1 6 ． 【点睛】本题考查为了分式的求值，设x 2= y 3 = z 4 =k是解答本题的关键． 【变式4-1】（2022·山东泰安·八年级期末）已知 a+b+c d =a+b+d c =a+c+d b =b+c+d a =m，则m的值______． 【答】为-1 或3 【分析】根据题设知≠0，b≠0，≠0，d≠0，得到+b+=dm，+b+d=m，++d=bm，b++d=m，推出 3(+b++d)=m(+b++d)，得到(+b++d）(m-3)=0，当+b++d=0 时，得到+b+=-d，+b+d=-，++d=-b， b++d=-，推出m=-1；当+b++d≠0 时，推出m-3=0，得到m=3． 【详解】∵a+b+c d =a+b+d c =a+c+d b =b+c+d a =m， ≠0 ∴ ，b≠0，≠0，d≠0， 1 + ∴b+=dm，+b+d=m，++d=bm，b++d=m， 3(+ ∴ b++d)=m(+b++d)， (+ ∴b++d）(m-3)=0， 当+b++d=0 时， +b+=-d，+b+d=-，++d=-b，b++d=-， ∴m=-1； 当+b++d≠0 时， m-3=0，m=3， 综上，m=-1 或m=3． 故答为：为-1 或3． 【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式 的基本性质，分式值的意义及满足条件． 【变式4-2】（2022·山东济南·八年级期中）阅读下面的解题过程：已知 x x 2+1 =1 3，求 x 2 x 4+1 的值． 解：由 x x 2+1 =1 3知，x≠0，所以x 2+1 x =3，即x+ 1 x =3 所以x 4+1 x 2 =x 2+ 1 x 2=(x+ 1 x) 2 −2=3 2−2=7所以x 2 x 4+1 =1 7 该题的解法叫做“倒数法”． 已知： x x 2−3 x+1 =1 5 请你利用“倒数法”求 x 2 x 4+x 2+1 的值．求2 x 2−8 x+ 1 x 2的值． 【答】 x 2 x 4+x 2+1 = 1 63；2 x 2−8 x+ 1 x 2 =61 【分析】计算所求式子的倒数，再将 x 2 x 4+x 2+1 代入可得结论；将2 x 2−8 x+ 1 x 2进行变形后 代入即可 【详解】解：∵ x x 2−3 x+1 =1 5，且x≠0， ∴x 2−3 x+1 x =5， 1 ∴x+ 1 x −3=5， ∴x+ 1 x =8， ∴x 4+x 2+1 x 2 = x 2+ 1 x 2 +1=(x+ 1 x ) 2 -1=63， ∴ x 2 x 4+x 2+1 = 1 63 ∵x+ 1 x =8 ∴x 2-8 x=-1 ∴2 x 2−8 x+ 1 x 2 = x 2+ 1 x 2 + x 2−8 x =(x+ 1 x ) 2 -2-1=64 -2-1=61 【点睛】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分 式的变形，本题属于基础题型． 【变式4-3】（2022·福建·九年级专题练习）若2 x−y+4 z=0，4 x+3 y−2 z=0．则 xy+ yz+zx x 2+ y 2+z 2 的值为______ 【答】−1 6 【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x 的式子分别表示y，z，然后带入要 求的式中，化简便可求出 【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②， 将②×2 得: 8x+ 6y-4z=0③． ①+③得: 10x+ 5y= 0， y= -2x ∴ ， 将y= - 2x 代入①中 得:2x- (-2x)+4z=0 z=-x ∴ 将y= -2x，z=-x，代入上式 xy+ yz+zx x 2+ y 2+z 2 = x· (−2 x )+(−2 x )· (−x )+(−x )· x x 2+(−2 x ) 2+(−x ) 2 =−2 x 2+2 x 2−x 2 x 2+4 x 2+x 2 1 =−x 2 6 x 2 =−1 6 故答为：−1 6 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x 的式子表示y， z 本题较难，要学会灵活化简 【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】 【例5】（2022·全国·八年级专题练习）已知分式x+4 x 2 的值是正数，那么x 的取值范围是 （ ） ．x＞0 B．x＞-4 ．x≠0 D．x＞-4 且x≠0 【答】D 【分析】若x+4 x 2 的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因 而能求出x 的取值范围． 【详解】解：∵x+4 x 2 ＞0， x ∴＋4＞0，x≠0， x ∴＞−4 且x≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式a b （b≠0）＞0 时，说明分子分母同号； 分式a b（b≠0）＜0 时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式． 【变式5-1】（2022·山东·东平县江河国际实验学校八年级阶段练习）使分式x 2+1 1−3 x 的值为 负的条件是（ ） ．x＜0 B．x＞0 ．x＞1 3 D．x＜1 3 【答】 【分析】分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0，最终求得不等式的解集． 【详解】∵x 2+1≥0 ∴若使分式的值为负，则1−3 x<0 1 解得x＞1 3 故答为x＞1 3． 【点睛】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正即为分子分母同号，分式的值为负 即为分子分母异号． 【变式5-2】（2022·上海民办兰生复旦中学七年级期末）若分式x+1 (x−1) 2的值大于零，则 x 的取值范围是_______________ 【答】x＞-1 【分析】根据两数相除，同号得正，异号得负，分式的分母不为0 解答 【详解】∵(x−1) 2≥0 而x-1≠0 ∴(x−1) 2≻0 ∵分式x+1 (x−1) 2的值大于零 x+1 ∴ ＞0 x＞-1 故答为：x＞-1 【点睛】本题考查的是分式的值，掌握分式有意义的条件及判定分式值的符号的方法是关 键 【变式5-3】（2022·全国·八年级单元测试）若分式|x|−2 3 x−2的值是负数，则x的取值范围是 （ ） ．2 3 <x<2 B．x