九下专题09 几何旋转综合问题（学生版）

专题09 几何旋转综合问题 类型一、三角形中的旋转问题 例．如图，已知等边 中，点D、E、F 分别为边 、 、 的中点，M 为直线 上一动点， 为等边三角形(点M 的位置改变时， 也随之整体移动)． (1)如图1，当点M 在点B 左侧时，请你连结 ，并判断 与 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线 上？请写出结论，并说明理由； (2)如图2，当点M 在 上时，其它条件不变，(1)的结论中 与 的数量关系是否仍然 成立？若成立，请利用图2 证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若点M 在点右侧时，请你判断(1)的结论中 与 的数量关系是否仍然成立？ 若成立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由． 【变式训练1】如图1，在等腰直角三角形 中， ．点 ， 分别为 ， 的中点， 为线段 上一动点(不与点 ， 重合)，将线段 绕点 逆时针方向旋 转 得到 ，连接 ， ． (1)证明： ； (2)如图2，连接 ， ， 交 于点 ． ①证明：在点 的运动过程中，总有 ； ②若 ，当 的长度为多少时， 为等腰三角形？ 【变式训练2】如图1，将两个完全相同的三角形纸片B 和DE 重合放置，其中∠=90°．若 固定△B，将△DE 绕点旋转． (1)当△DE 统点旋转到点D 恰好落在B 边上时，如图2． ①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ； ②当∠B=∠E=α 时，此时旋转角的大小为 (用含的式子表示)． (2)当△DE 绕点旋转到如图3 所示的位置时，小杨同学猜想：△BD 的面积与△E 的面积相等， 试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明 理由． 【变式训练3】如图1，已知∠D=90°，△B 是等边三角形，点P 为射线D 上任意一点(点P 与 点不重合)，连结P，将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连结QB 并延长交直线D 于 点E． (1)如图1，猜想∠QEP= °； (2)如图2，3，若当∠D 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况 加以证明； (3)如图3，若∠D=135°，∠P=15°，且=4，求BQ 的长． 【变式训练4】两块等腰直角三角板△B 和△DE 如图摆放，其中∠B=∠DE=90°，F 是DE 的 中点，是E 的中点，G 是BD 的中点． (1)如图1，若点D、E 分别在、B 的延长线上，通过观察和测量，猜想F 和FG 的数量关系 为______和位置关系为______； (2)如图2，若将三角板△DE 绕着点顺时针旋转至E 在一条直线上时，其余条件均不变，则 (1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由； (3)如图3，将图1 中的△DE 绕点顺时针旋转一个锐角，得到图3，(1)中的猜想还成立吗？ 直接写出结论，不用证明． 【变式训练5】在△B 中，B=，将线段绕着点逆时针旋转得到线段D，旋转角为 ，且 ，连接D、BD． (1)如图1，当∠B=100°， 时，∠BD 的大小为_________； (2)如图2，当∠B=100°， 时，求∠BD 的大小； (3)已知∠B 的大小为m( )，若∠BD 的大小与(2)中的结果相同，请直接写出 的 大小． 类型二、四边形中的旋转问题 例．如图1，在 B 中，∠B 为锐角，点D 为射线B 上一点，连接D，以D 为一边且在D 的 右侧作正方形DEF． (1)如果B＝，∠B＝90°． ①当点D 在线段B 上时(与点B 不重合)，如图2，线段F、BD 所在直线的位置关系为 ，线段F、BD 的数量关系为 ． ②当点D 在线段B 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由； (2)如图4，如果B≠，∠B 是锐角，点D 在线段B 上，当∠B 满足什么条件时，F⊥B(点、F 不重合)，并说明理由． 【变式训练1】在正方形 的边 上任取一点 ，作 交 于点 ，取 的中点 ，连接 、 ，如图 ，易证 且 ． 将 绕点 逆时针旋转 ，如图 ，则线段 和 有怎样的数量关系和位置 关系？请直接写出你的猜想． 将 绕点 逆时针旋转 ，如图 ，则线段 和 又有怎样的数量关系和位 置关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【变式训练2】如图1，点是正方形BD 两对角线的交点 分别延长D 到点G，到点E，使 G=2D，E=2，然后以G、E 为邻边作正方形EFG，连接G，DE． (1)求证：DE⊥G； (2)正方形BD 固定，将正方形EFG 绕点逆时针旋转 角(0°< <360°)得到正方形 ， 如图2． ①在旋转过程中，当∠ 是直角时，求 的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这 条直角边所对的锐角为30 度) ②若正方形BD 的边长为1，在旋转过程中，求 长的最大值和此时 的度数，直接写 出结果不必说明理由． 【变式训练3】在正方形BD 中，点E、F 分别在边B、D 上，且∠EF=∠EF=45° (1)将△DF 绕点顺时针旋转90 °，得到△BG(如图1)，求证：BE+DF=EF； (2)若直线EF 与B、D 的延长线分别交于点M、(如图2)，求证： (3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变(如图3)，直接写出线段EF、BE、DF 之间的数量关系． 【变式训练4】在▱BD 中，∠BD 的平分线交直线B 于点E，交直线D 于点F (1)在图1 中证明E=F； (2)若∠B=90°，G 是EF 的中点(如图2)，直接写出∠BDG 的度数； (3)若∠B=120°，FG E，FG=E，分别连接DB、DG(如图3)，求∠BDG 的度数．