专题09 一次函数与几何图形的综合问题（学生版）

专题09 一次函数与几何图形的综合问题 类型一、面积问题 例．如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于(2，8)，B(8，)两点，连接， B，延长交反比例函数图象于点． (1)求一次函数 的表达式与反比例函数 的表达式： (2)当 ＜ 时，直接写出自变量x 的取值范围为_________； (3)点P 是x 轴上一点，当S△P＝ S△B 时，求出点P 的坐标． 【变式训练1】平面直角坐标系xy 中，经过点(1，2)的直线y=kx+b，与x 轴交于点，与y 轴 交于点B． (1)当b=3 时，求k 的值以及点的坐标； (2)若k=b，p 是该直线上一点，当△P 的面积等于△B 面积的2 倍时，求点P 的坐标． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线m 经过点( 1 ﹣，2)，交x 轴于点( 2 ﹣， 0)，交y 轴于点B，直线与直线m 交于点P，与x 轴、y 轴分别交于点、D(0，﹣2)，连接 B，已知点P 的横坐标为﹣4． (1)求直线m 的函数表达式和点P 的坐标； (2)求证：△B 是等腰直角三角形； (3)直线m 上是否存在点E，使得S△E＝S△B？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标，若 不存在，请说明理由． 【变式训练3】如图，已知一次函数 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点与点 关于y 轴对称． (1)求直线B 的函数关系式； (2)若点M 在线段上，过点M 作y 轴的平行线，交直线B 于点P，交直线B 于点Q． ①如图，当点M(，0)在线段上时，△BPQ 的面积为S，求S 与之间的函数关系式； ②连接BM，若∠BMP＝∠B，求点P 的坐标． 【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象分别交x 轴、y 轴于、B 两点．过点的直线交y 轴正半轴于点，且点为线段B 的中点． (1)求直线的表达式． (2)平面内是否存在点P，使得四边形PB 是平行四边形?若存在，请求出点P 的坐标． (3)若点Q 为直线上的一点，且满足 的面积为30，求点Q 的坐标． 类型二、几何图形存在问题 例1．如图，在平面直角坐标系中，=B=6，D=1，点为线段B 的中点． (1)直接写出点的坐标为 ； (2)点P 是x 轴上的动点，当PB+P 的值最小时，求此时点P 的坐标； (3)在平面内是否存在点F，使得以、、D、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求 出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2 已知 中， ， ，D 是中点，作直线BD．分别以，B 所在 直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系(如图)． (1)求直线BD 的表达式． (2)在直线BD 上找出一点E，使四边形BE 为平行四边形． (3)直线BD 上是否存在点F，使 为以为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F 的坐 标；若不存在，说明理由． 例3 如图，正方形BD 的顶点 ， ，点P 在直线 上． (1)直接写出点和点D 的坐标：______，D______． (2)Q 为坐标平面内一点，当以、B、Q、P 为顶点的四边形为菱形，直接写出点P 和对应的 点Q 的坐标． 【变式训练1】如图，直线B 交x 轴于点B，交y 轴于点，过点另一条的直线交x 轴于点， 且 ，线段、B 的长是方程 的两个根． (1)求点坐标； (2)若过点 ， 的直线DE 交直线于点F，求经过点F 的正比例函数解析式； (3)在(2)的条件下，点P 在直线B 上，点Q 在直线上，使以D、E、P、Q 为顶点的四边形是 平行四边形，请直接写出点Q 的坐标． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，且与直线交于点 ． (1)求直线 的解析式； (2)若点 为线段 上一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，且与直线交于点 ， 当 时，求点 的坐标； (3)若在平面上存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，请直接 写出点 的坐标． 类型三、最值问题 例．如图，在平面直角坐标系中，( 1 ﹣，4)，B( 3 ﹣，3)，( 2 ﹣，1)． (1)已知△1B11与△B 关于x 轴对称，画出△1B11； (2)在y 轴上找一点P，使得△PB 的周长最小，点P 的坐标为 ． 【变式训练1】在如图的格中，只利用直尺作图： (1)将 向左平移3 个单位后的图形 ； (2)作点P，使P 到、B 的距离相等，且 ； (3)点Q 在y 轴上，当 最小时，点Q 的坐标为______． 【变式训练2】如图，直线B 与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于，B 两点，已知点的坐 标为(2，4)，△B 的面积为6． (1)反比例函数的表达式； (2)求直线B 的函数表达式； (3)若动点P 在y 轴上运动，当|P﹣PB|最大时，求P 点坐标． 课后训练 1．如图，一次函数y=mx+1 的图象与反比例函数y= 的图象相交于、B 两点，点在x 轴正 半轴上，点D(1,-2)，连接、D、D、，四边形D 为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2 时，x 的取值范围； (3)设点P 是直线B 上一动点，且S△P= S 菱形D，求点P 的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知△B 的三个顶点、B、的坐标分别为( 5 ﹣，﹣1)、(﹣ 3，﹣4)、( 1 ﹣，﹣3)． (1)S△B＝ ； (2)画出△B 关于y 轴对称的△1B11； (3)已知点P 在x 轴上，且P＝P，则点P 的坐标是 ． (4)若y 轴上存在点Q，使△Q 的周长最小，则点Q 的坐标是 ． 3．如图，直线B：y=-x+分别与x，y 轴交于(6，0)、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于， 且B：=3：1． (1)求点B 的坐标； (2)求直线B 的函数表达式； (3)直线 ： 交直线B 于E，交直线B 于点F，交x 轴于D，是否存在这 样的直线EF，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．