专题5.3 期中期末专项复习之一元一次方程十六大必考点（解析版）

专题53 一元一次方程十六大考点 【人版】 【考点1 方程、一元一次方程的概念】................................................................................................................. 1 【考点2 方程、一元一次方程的解】.....................................................................................................................3 【考点3 同解方程】................................................................................................................................................. 5 【考点4 根据方程的解情况求值】.........................................................................................................................7 【考点5 方程遮挡问题】.........................................................................................................................................9 【考点6 判断方程解的情况】...............................................................................................................................11 【考点7 等式的基本性质】...................................................................................................................................12 【考点8 一元一次方程的解法】...........................................................................................................................15 【考点9 换元法、整体代入法解一元一次方程】...............................................................................................19 【考点10 一元一次方程中的错看问题】.............................................................................................................. 21 【考点11 一元一次方程中的新定义问题】...........................................................................................................23 【考点12 一元一次方程中的动点问题】.............................................................................................................. 27 【考点13 绝对值方程】.......................................................................................................................................... 32 【考点14 列一元一次方程并求解】......................................................................................................................35 【考点15 一元一次方程的应用】..........................................................................................................................37 【考点16 一元一次方程中的数形结合问题】......................................................................................................40 【考点1 方程、一元一次方程的概念】 【例1】（2022·湖南·七年级单元测试）下列方程中，一元一次方程共有（ ）个 ①4x 3 ﹣＝5x 2 ﹣；②3x 4 ﹣y；③3x＋1＝1 x ；④3 x−1 4 ＋1 5＝0； ⑤x 2＋3 x＋1＝0；⑥ x 1 ﹣＝12 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据一元一次方程的定义得出即可． 【详解】解：①4x−3＝5x−2，是一元一次方程，符合题意； ②3x 4 ﹣y，不是等式，更不是一元一次方程，不合题意； ③3x＋1＝1 x ，分母含有字母，不是一元一次方程，不合题意； ④3 x−1 4 +1 5=0，是一元一次方程，符合题意； ⑤x 2+3 x+1=0，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意； ⑥x−1＝12，是一元一次方程，符合题意． 1 一元一次方程有：①④⑥，共有三个 故选：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解此 题的关键． 【变式1-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）若方程2 x a−2+a=5是关于x的 一元一次方程，则这个方程的解是（ ） ．1 B．-1 ．3 D．-3 【答】 【分析】根据一元一次方程的定义可得a−2=1，可得出的值，在解方程即可． 【详解】解：因为2 x a−2+a=5是关于x的一元一次方程， 所以a−2=1， 所以a=3． 所以原方程为2 x+3=5， 解得x=1． 故选 【点睛】本题考查一元一次方程的定义，一元一次方程的解，属于基础题，理解一元一次 方程的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学阶段练习）下列式子中：①5 x+3 y=0， ②6 x 2−5 x，③3 x<5，④x 2+1=3，⑤x 5 +2=3 x，⑥x+ 1 x +2=5，⑦x 2=1是方程的有_ ________，是一元一次方程的有________（填序号）． 【答】 ①④⑤⑥⑦ ⑤⑦ 【分析】含有未知数的等式叫做方程，只含有一个未知数，含未知数的项的次数都是1， 两边都是整式的方程，叫做一元一次方程，根据方程的定义和一元一次方程的定义进行解 答即可． 【详解】解：按照方程的定义，可知，①5 x+3 y=0，④x 2+1=3，⑤x 5 +2=3 x，⑥ x+ 1 x +2=5，⑦x 2=1是方程，⑤x 5 +2=3 x，⑦x 2=1是一元一次方程， ∴是方程的有①④⑤⑥⑦，是一元一次方程的有⑤⑦， 故答为：①④⑤⑥⑦，⑤⑦ 【点睛】此题考查了方程和一元一次方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式1-3】（2022·湖北·公安县学研究中心七年级期中）关于x 的方程-3x=bx+2 是一元一 1 次方程，则b 的取值情况是（ ） ．b≠-3 B．b=-3 ．b=-2 D．b 为任意数 【答】 【分析】先把方程整理为一元一次方程的一般形式，再根据一元一次方程的定义求出b 的 值即可． 【详解】解：-3x=bx+2， 移项得-3x-bx-2=0， 合并同类项得-（3+b）x+-2=0， ∴b+3≠0， b≠-3， 故选：． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的 次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键． 【考点2 方程、一元一次方程的解】 【例2】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）下列方程中，解是x＝2 的方程是（ ） ．2x＝5x+14 B．x 2−1=0 ．2（x 1 ﹣）＝1 D．2x 5 ﹣＝1 【答】B 【分析】将x＝2 分别代入选项，使方程成立的即为所求． 【详解】解：．将x＝2 代入2x＝5x+14，可得2×2≠5×2+4，故不符合题意； B．将x＝2 代入x 2 ﹣1＝0，可得2 2﹣1＝0，故B 符合题意； ．将x＝2 代入2（x 1 ﹣）＝1，可得 2×（2 1 ﹣）≠1，故不符合题意； D．将x＝2 代入2x 5 ﹣＝1，可得2×2 5≠1 ﹣ ，故D 不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的 关系是解题的关键． 【变式2-1】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级阶段练习）下列方程后 所列出的解不正确的是（ ） ．x 2−1=x , x=−2 B．2−x=1 2 +x , x= 3 4 ．−2 3 x=3 2 , x=−3 4 D．−x 2 + 2 3=1, x=−2 3 【答】 1 【分析】要知道所列出的解是不是前面方程的解，只需要代入验证是否能取等号． 【详解】解：．当x=−2时，方程左边¿ −2 2 −1=−2=x=¿右边，所以正确，不符合题意； B．当x= 3 4 时，方程左边¿2−3 4 = 5 4 ，右边¿ 1 2 + 3 4 = 5 4 ，左边=右边，所以B 正确，不符合 题意； ．当x=−3 4 时，方程左边¿−2 3 ×(−3 4 )=1 2 ≠3 2=¿右边，所以不正确，符合题意； D．当x=−2 3 时，方程左边¿−1 2 ×(−2 3 )+ 2 3=1=¿右边，所以D 正确，不符合题意． 故选． 【点睛】本题考查方程的根的概念，利用验证的方法比直接求解速度更快，效率更高，掌 握验根的方法是解题的关键． 【变式2-2】（2022·江苏扬州·七年级期末）整式mx+的值随x 的取值不同而不同，下表是 当x 取不同值时对应的整式的值： x 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 mx+ 12 ﹣ 8 ﹣ 4 ﹣ 0 4 则关于x 的方程﹣mx﹣＝8 的解为_____． 【答】-1 【分析】理解代数式的值是由x 确定的，计算的时候把m,当常数处理，将等式变形后，结 合表格的数据即可解题 【详解】﹣mx﹣＝8 变形为：mx+=-8， 查表可得：x=-1 【点睛】本题考查方程解的概念，当方程里面有多个字母时，要明确未知数是哪个字母， 这是解题关键． 【变式2-3】（2022·江西抚州·七年级期中）若方程3 x+a=b的解是x=1，则关于未知数y 的方程6 y−2b+18+2a=0的解是y=¿______． 【答】−2 【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得 a−b=−3，代入关于y的方程进而解方程即可求解． 【详解】解：把x=1代入3 x+a=b得：a−b=−3， ∴6 y−2b+18+2a=0， 6 y+(2a−2b)=−18， 1 6 y+2(a−b)=−18， 6 y−6=−18， 6 y=−12， y=−2． 故答为：−2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求得a−b=−3是解题的关键． 【考点3 同解方程】 【例3】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）方程3x＋6＝0 与关于 x 的方程3x＝2 2 ﹣m 的解相同，则m 的值为（ ） ．﹣2 B．2 ．3 D．4 【答】D 【分析】先求解关于x 的一元一次方程，然后代入求解即可． 【详解】解：3x+6=0， 解得：x=-2， 将x=-2 代入3x=2-2m 中，得， -6=2-2m， 解得：m=4， 故选：D． 【点睛】题目主要考查解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程是 解题关键． 【变式3-1】（2022·河南·西峡县城区二中七年级阶段练习）如果方程2 x−1=3 x的解也是 方程2−a−x 3 =0的解，那么a是（ ） ．1 B．3 ．5 D．7 【答】 【分析】求出第一个方程的解，代入第二个方程计算即可求出的值． 【详解】解：方程2x 1 ﹣＝3x， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1 代入得：2−a+1 3 =¿0， 解得：＝5， 故选：． 【点睛】此题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两 边相等的未知数的值． 1 【变式3-2】（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校七年级期中）已知关于x 的方程 2x=8 与x+2＝－k 的解相同，则代数式2−3|k| k 2 的值是（ ） ．－9 4 B．4 9 ．－4 9 D．± 4 9 【答】 【分析】解方程2 x=8可得x=4，把x=4代入x+2=−k可得k=−6，再把k=−6代入 2−3|k| k 2 即可求值 【详解】解：解方程2 x=8， 得x=4， ∵关于x 的方程2 x=8与x+2=−k的解相同， ∴4+2=−k， 解得k=−6， ∴2−3|k| k 2 =2−3×|−6| (−6) 2 =2−18 36 =−4 9 故选 【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义，根据方程2 x=8与x+2=−k的解相同求得k 的值是解决问题的关键 【变式3-3】（2022·广东惠州·七年级期末）若方程2 x−5=x−2与3a−x−a 2 =a−a−2 x 5 的解相同，求的值．（解方程要有详细步骤）． 【答】的值为1． 【分析】先求出第一个方程的解，把x=3 代入第二个方程，求出方程的解即可． 【详解】解：解方程2x−5=x−2， 移项得2x−x=−2+5， 解得x=3， 把x=3 代入方程：3a−x−a 2 =a−a−2 x 5 ， 得：3a−3−a 2 =a−a−6 5 ， 去分母得30−5（3−）=10−2（−6）， 去括号得30−15+5=10−2+12， 移项得30+5−10+2=12+15， 合并同类项得27=27， 1 系数化为1 得=1， ∴ 的值为1． 【点睛】本题考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于x 的方程，要正确理解方 程解的含义．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 为1． 【考点4 根据方程的解情况求值】 【例4】（2022·上海市奉贤区青溪中学八年级期末）如果关于x 的方程（+1）x＝a 2+1 无解， 那么的取值范围是（ ） ．＝−1 B．＞−1 ．≠−1 D．任意实数 【答】 【分析】根据一元一次方程无解，令未知数的系数为0，进而确定出的范围即可． 【详解】解：∵关于x 的方程（+1）x＝a 2+1 无解， +1 ∴ ＝0， 解得：＝﹣1． 故选：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的 值． 【变式4-1】（2022·全国·七年级专题练习）关于x 的方程2a( x−1)=(5−a)x+3b有无穷 多个解，则a−b=¿______． 【答】25 9 【分析】方程整理后，根据有无穷多个解，确定出与b 的值，即可求出所求． 【详解】解：方程整理得：（3 5 ﹣）x＝2+3b， ∵方程有无穷多个解， 3 5 ∴﹣＝0，2+3b＝0， 解得：＝5 3，b＝﹣10 9 ， 则﹣b＝5 3+10 9 ＝25 9 ． 故答为：25 9 ． 【点睛】此题考查一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知y=2 x+5 13 −3 x−2 17 −3 2 x+2．当x=1.5 1 时，y>0；当x=1.8时，y<0．则方程2 x+5 13 −3 x−2 17 −3 2 x+2=0的解可能是（ ） ．145 B．164 ．192 D．205 【答】B 【分析】由题意估算得出方程的解的取值范围在15 与18 之间，据此即可求解． 【详解】解：对于y=2 x+5 13 −3 x−2 17 −3 2 x+2来说， ∵当x=15 时，y=2 x+5 13 −3 x−2 17 −3 2 x+2＞0； 当x=18 时，y=2 x+5 13 −3 x−2 17 −3 2 x+2＜0； ∴方程2 x+5 13 −3 x−2 17 −3 2 x+2=0的解的取值范围在15 与18 之间， 观察四个选项，164 在此范围之内， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是根据题意得出方程 2 x+5 13 −3 x−2 17 −3 2 x+2=0的解的取值范围在15 与18 之间． 【变式4-3】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x 的方程mx=3−x的解为整数，则正 整数m 的值为______． 【答】2 【分析】先方程得x= 3 m+1，再由方程的解为整数，则有m+1=±3 或m+1=±1，求得m=2 或 m=-4 或m=0 或m=-2，根据题意，m 是正整数，即可求m 的值为2． 【详解】解：mx=3-x， 移项，合并同类项，得（m+1）x=3， 解得x= 3 m+1， ∵方程的解为整数， ∴m+1=±3 或m+1=±1， ∴m=2 或m=-4 或m=0 或m=-2， ∵m+1≠0， ∴m≠-1， ∵m 是正整数， ∴m=2， 故答为：2． 1 【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，根据m 值的限定条 件对m 的值进行取舍是解题的关键． 【考点5 方程遮挡问题】 【例5】（2022·重庆黔江·七年级期末）方程2 y−1 2=1 2 y−¿ 中被阴影盖住的是一个 常数．已知此方程的解是y=−4 3 ．则这个常数是( ) ．−5 2 B．5 2 ．−3 2 D．−3 2 【答】B 【分析】设这个常数为，将y 的值代入方程计算即可求出的值．