专题11.2 期中期末专项复习之实数十六大必考点（解析版）

专题112 实数十六大考点 【人版】 【考点1 求算术平方根、平方根、立方根】.........................................................................................................1 【考点2 利用算术平方根的非负性求值】............................................................................................................. 3 【考点3 估算算术平方根的取值范围】................................................................................................................. 5 【考点4 求算术平方根的整数部分或小数部分】..................................................................................................7 【考点5 与算术平方根有关的规律探究】............................................................................................................. 9 【考点6 已知平方根、算术平方根或立方根，求该数】....................................................................................11 【考点7 利用平方根、立方根解方程】............................................................................................................... 13 【考点8 已知平方根、算术平方根、立方根求参数】........................................................................................16 【考点9 平方根、算术平方根、立方根的实际应用】........................................................................................18 【考点9 实数、无理数的概念】...........................................................................................................................20 【考点10 实数的大小比较】..................................................................................................................................22 【考点11 实数与数轴】..........................................................................................................................................24 【考点12 程序框图中的实数运算】......................................................................................................................26 【考点13 新定义中的实数运算】..........................................................................................................................29 【考点14 实数的运算】.......................................................................................................................................... 32 【考点15 实数运算的规律探究】..........................................................................................................................35 【考点16 实数运算的应用】..................................................................................................................................37 【考点1 求算术平方根、平方根、立方根】 【例1】（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）016 的算术平方根是______，❑ √25的平 方根是______． 【答】 0.4 ± ❑ √5 【分析】根据求一个数的算术平方根与平方根进行计算即可求解． 【详解】016 的算术平方根是0.4，❑ √25=5，则❑ √25的平方根是± ❑ √5 故答为：0.4，± ❑ √5 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根与平方根，理解平方根与算术平方根的定义是 解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非 负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 立方根． 【变式1-1】（2022·云南·景洪市第三中学七年级期中）计算正确的是（ ） ．3 √1=±1 B．−❑ √0.81=0.9 ．❑ √9=±3 D．❑ √(−3) 2=3 【答】D 1 【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义分别分析得出答 【详解】解： 、3 √1=1，故本选项不符合题意； B、−❑ √0.81=−0.9，故本选项不符合题意； 、❑ √9=3，故本选项不符合题意； D、❑ √(−3) 2=3，故本选项符合题意 故选：D 【点睛】此题主要考查了立方根及算术平方根，正确把握相关定义是解题关键． 【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）若m 是169 的正的平方根，是121 的负的平方 根，求： (1)m＋的值； (2)（m＋n） 2的平方根． 【答】(1)2 (2)±2 【分析】（1）根据平方根的定义求出m、的值，然后代入计算即可求解； （2）先求出（m＋n） 2的值，然后再根据平方根的定义进行求解． （1） ∵(±13) 2=169，m 是169 的正的平方根， ∴m＝13， ∵（±11） 2＝121，是121 的负的平方根， ∴＝﹣11， ∴m+＝13+（﹣11）＝2； （2） ∵m+＝2 ∴（m+n） 2＝4＝（±2） 2， ∴（m+n） 2的平方根是±2． 【点睛】本题考查了平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方 根是0；负数没有平方根，熟记一些常用的平方数是解题的关键． 【变式1-3】（2022·湖南·八年级单元测试）－27 的立方根与9 的平方根之和为（ ） ．0 B．6 ．0 或－6 D．0 或6 【答】 【分析】依据平方根和立方根求得这两个数，然后利用加法法则计算即可． 1 【详解】解：-27 的立方根是-3，9 的平方根是±3， -3+3=0，-3+（-3）=-6． 故选：． 【点睛】本题主要考查的是立方根和平方根，熟练掌握立方根和平方根的意义是解题的关 键． 【考点2 利用算术平方根的非负性求值】 【例2】（2022·全国·八年级专题练习）已知实数，b，满足( 2) ﹣ 2+|2b+6|+❑ √5−c＝0． (1)求实数，b，的值； (2)求❑ √a−3b+c的平方根． 【答】(1)＝2，b＝﹣3，＝5 (2)❑ √a−3b+c的平方根为±2 【分析】（1）根据非负性可知，( 2) ﹣ 2=0，|2b+6|=0，❑ √5−c＝0，求出，b，的值； （2）由（1）得＝2，b＝﹣3，＝5，将，b，代入求解即可． （1） 解：∵（﹣2）2+|2b+6|+❑ √5−c＝0， ( 2) ∴﹣ 2=0，|2b+6|=0，❑ √5−c=0， 2 ∴﹣＝0，2b+6＝0，5﹣＝0， 解得＝2，b＝﹣3，＝5； （2） 解：由（1）知＝2，b＝﹣3，＝5， 则❑ √a−3b+c＝❑ √2−3×(−3)+5＝4，而± ❑ √4=±2， 故❑ √a−3b+c的平方根为±2． 【点睛】本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，以及求一 个数的平方根，熟练地运用以上知识是解决问题的关键． 【变式2-1】（2022·全国·七年级）若y＝❑ √2 x−1﹣❑ √1−2 x+6x，则❑ √2 x+2 y−3的值为 _ ____． 【答】2 【分析】根据被开方数非负性即可求出x、y 的值，再代入计算即可． 【详解】∵y＝❑ √2 x−1﹣❑ √1−2 x+6x， ∴¿，解得x=1 2 ∴y=3 1 ∴❑ √2 x+2 y−3=❑ √2× 1 2 +2×3−3=❑ √4=2 故答为：2． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性以及求一个数的算术平方根，熟记被开方数非负性 是解题的关键． 【变式2-2】（2022·上海·九年级专题练习）若❑ √x−2+¿ y+7∨+( z−7) 2=0，则x−y+z 的平方根为（ ） ．±2 B．4 ．2 D．±4 【答】D 【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可； 【详解】∵❑ √x−2+¿ y+7∨+( z−7) 2=0， ∴¿， 解得¿， ∴x−y+z=2−(−7)+7=16， ∴± ❑ √16=± 4； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关 键． 【变式2-3】（2022·广东湛江·八年级期末）已知|2020﹣m|+❑ √m−2021＝m，求m 2020 ﹣ 2 的值． 【答】m 2020 ﹣ 2＝2021 【分析】根据算术平方根的非负性确定的范围，进而化简绝对值，再根据平方根的定义求 得代数式的值． 【详解】解：∵m 2021≥0 ﹣ ， ∴m≥2021， 2020 ∴ ﹣m≤0， ∴原方程可化为：m 2020+ ﹣ ❑ √m−2021＝m， ∴❑ √m−2021＝2020， ∴m 2021 ﹣ ＝20202， ∴m 2020 ﹣ 2＝2021． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根 的非负性确定的范围化简绝对值是解题的关键． 1 【考点3 估算算术平方根的取值范围】 【例3】（2022·全国·八年级专题练习）如图，用边长为3 的两个小正方形拼成一个面积为 18 的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【答】 【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答． 【详解】解：∵用边长为3 的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为：9+9=18， 则大正方形的边长为：❑ √18， ∵❑ √16<❑ √18< ❑ √4.5 2， 4 ∴＜❑ √18＜45， ∴大正方形的边长最接近的整数是4． 故选：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键． 【变式3-1】（2022·全国·七年级专题练习）数轴上表示下列各数的点，能落在，B 两个点 之间的是（ ） ．−❑ √3 B．❑ √7 ．❑ √11 D．❑ √13 【答】B 【分析】首先确定，B 对应的数，再分别估算四个选项的数值进行判断即可． 【详解】解：由数轴得，点对应的数是1，B 点对应的数是3， -2＜−❑ √3＜-1，不符合题意； B2＜❑ √7＜3，符合题意； 、3＜❑ √11＜4，不符合题意； D 3＜❑ √13＜4，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了对无理数的估算． 1 【变式3-2】（2022·天津·九年级期末）估计❑ √7−2的值在（ ） ．0 到1 之间 B．1 到2 之间 ．2 到3 之间 D．3 至4 之间 【答】 【分析】先判断❑ √7的取值范围，从而得出❑ √7−2的取值范围． 【详解】∵2 2<(❑ √7) 2<3 2 ∴2<❑ √7<3， ∴0<❑ √7−2<1， 即❑ √7−2在0 到1 之间， 故选． 【点睛】本题考查二次根式的估算，常见方法有2 种：平方法去根号比较、将整数转化到 根号内比较． 【变式3-3】（2022·重庆·八年级期中）估计 ❑ √13+1 2 的值在（ ） ．1 到2 之间 B．2 到3 之间 ．3 到4 之间 D．4 到5 之间 【答】B 【分析】根据二次根式值的估算办法，可得结果 【详解】解：∵3<❑ √13<4, 4< ∴ ❑ √13+1<5, ∴2< ❑ √13+1 2 < 5 2, 故 ❑ √13+1 2 的值在2 到3 之间，选B 【点睛】本题考查了实数的估计大小，掌握放缩法估计实数的大小是解题的关键 【考点4 求算术平方根的整数部分或小数部分】 【例4】（2022·上海徐汇·七年级阶段练习）❑ √11的整数部分是______．小数部分是______ _． 【答】 3 ❑ √11−3 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵9<11<16， ∴3<❑ √11<4， ∴❑ √11的整数部分为3， ∴❑ √11的小数部分为❑ √11−3； 故答为3，❑ √11−3． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是 1 解题的关键． 【变式4-1】（2022·浙江·七年级阶段练习）6−❑ √11的小数部分为，7+❑ √11的小数部分为 b，则(a+b) 2018=¿__________ 【答】1 【分析】先分析❑ √11介于哪两个整数之间，再分别求出6−❑ √11和7+❑ √11介于哪两个整数 之间，即可求出6−❑ √11和7+❑ √11的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到 a 和b，代入即可 【详解】解：∵3<❑ √11<4 ∴10<7+❑ √11<11，−3>−❑ √11>−4 ∴3>6−❑ √11>2 ∴7+❑ √11的整数部分为10，6−❑ √11的整数部分为2， = ∴6−❑ √11−2=4−❑ √11 b=7+❑ √11−10=❑ √11−3 代入得： (a+b) 2018=(4−❑ √11+❑ √11−3) 2018 =12018 =1 【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法 【变式4-2】（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学七年级期中）已知❑ √2a−1＝3，3 ﹣b+1 的平方根是±4，是❑ √113的整数部分，求+b+2 的平方根． 【答】±5 【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出、b、的值，即可求出 +b+2 的值，根据平方根的意义即可求解． 【详解】解：∵❑ √2a−1＝3， 2 1 ∴﹣＝9， 解得：＝5， 3 ∵﹣b+1 的平方根是±4， 15 ∴ ﹣b+1＝16， 解得：b＝0， ∵❑ √100<❑ √113<❑ √121， 10 ∴ ＜❑ √113＜11， ∴＝10， + ∴b+2＝5+0+2×10＝25， 1 + ∴b+2 的平方根为± ❑ √25＝±5． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方 根的意义是解题关键． 【变式4-3】（2022·江苏·八年级）设2+❑ √6的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y 的值与x-1 的算术平方根． 【答】❑ √3． 【详解】试题分析：先找到❑ √6介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数 减去整数部分，然后代入求值即可． 试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜❑ √6＜3， 即❑ √6的整数部分是2， 所以2+❑ √6的整数部分是4，小数部分是2+❑ √6-4=❑ √6-2， 即x=4，y=❑ √6-2，所以❑ √x−1=❑ √4−1=❑ √3． 考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根． 【考点5 与算术平方根有关的规律探究】 【例5】（2022·山东菏泽·八年级期中）将一组数❑ √3，❑ √6，3，❑ √12，❑ √15，……，❑ √228 按下面的方法进行排列： ❑ √3 ❑ √6 3 ❑ √12 ❑ √15 ❑ √18 ❑ √21 ❑ √24 ❑ √27 ❑ √30 …… 若❑ √12的位置记为(1,4 )，❑ √24的位置记为(2,3)，则这组数中最大的有理数的位置记为（ ） ．(14,4 ) B．(14,5) ．(15,5) D．(16,1) 【答】 【分析】依据每组数的排列规律，设an=❑ √3n，这列数中最大的有理数为❑ √225=❑ √3×75， 从而得出n=75，根据每行5 个数进一步求解即可． 【详解】解：设an=❑ √3n， ∵该列数中，最大的有理数为❑ √225， ∴3n=225，即n=75， ∵每行5 个数， ∴❑ √225在第15 行第5 列， ∴这组数中最大的有理数的位置记为：(15,5)， 故选：． 【点睛】本题主要考查了数字的规律探索，正确找出相应规律是解题关键． 【变式5-1】（2022·全国·八年级专题练习）阅该下列材料： 1 （1）求下列各数的算术平方根： ❑ √0.000004＝0002，❑ √0.0004＝002，❑ √0.04＝02，❑ √4＝2，❑ √400＝20， 根据以上材料填空：❑ √40000＝__，❑ √4000000＝__． （2）已知❑ √2≈1414，直接写出：❑ √0.02≈______，❑ √200≈_____，❑ √20000≈______． 【答】 200 2000 01414 1414 1414 【分析】（1） 观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解； （2） 根据 （1） 中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，