专题5.3 期中期末专项复习之一元一次方程十六大必考点（原卷版）

专题53 一元一次方程十六大考点 【人版】 【考点1 方程、一元一次方程的概念】................................................................................................................. 1 【考点2 方程、一元一次方程的解】.....................................................................................................................2 【考点3 同解方程】................................................................................................................................................. 2 【考点4 根据方程的解情况求值】.........................................................................................................................3 【考点5 方程遮挡问题】.........................................................................................................................................3 【考点6 判断方程解的情况】.................................................................................................................................3 【考点7 等式的基本性质】.....................................................................................................................................4 【考点8 一元一次方程的解法】.............................................................................................................................5 【考点9 换元法、整体代入法解一元一次方程】..................................................................................................5 【考点10 一元一次方程中的错看问题】................................................................................................................ 5 【考点11 一元一次方程中的新定义问题】.............................................................................................................6 【考点12 一元一次方程中的动点问题】................................................................................................................ 6 【考点13 绝对值方程】............................................................................................................................................ 7 【考点14 列一元一次方程并求解】........................................................................................................................8 【考点15 一元一次方程的应用】............................................................................................................................8 【考点16 一元一次方程中的数形结合问题】........................................................................................................9 【考点1 方程、一元一次方程的概念】 【例1】（2022·湖南·七年级单元测试）下列方程中，一元一次方程共有（ ）个 ①4x 3 ﹣＝5x 2 ﹣；②3x 4 ﹣y；③3x＋1＝1 x ；④3 x−1 4 ＋1 5＝0； ⑤x 2＋3 x＋1＝0；⑥ x 1 ﹣＝12 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式1-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）若方程2 x a−2+a=5是关于x的 一元一次方程，则这个方程的解是（ ） ．1 B．-1 ．3 D．-3 【变式1-2】（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学阶段练习）下列式子中：①5 x+3 y=0， ②6 x 2−5 x，③3 x<5，④x 2+1=3，⑤x 5 +2=3 x，⑥x+ 1 x +2=5，⑦x 2=1是方程的有_ ________，是一元一次方程的有________（填序号）． 【变式1-3】（2022·湖北·公安县学研究中心七年级期中）关于x 的方程-3x=bx+2 是一元一 次方程，则b 的取值情况是（ ） 1 ．b≠-3 B．b=-3 ．b=-2 D．b 为任意数 【考点2 方程、一元一次方程的解】 【例2】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）下列方程中，解是x＝2 的方程是（ ） ．2x＝5x+14 B．x 2−1=0 ．2（x 1 ﹣）＝1 D．2x 5 ﹣＝1 【变式2-1】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级阶段练习）下列方程后 所列出的解不正确的是（ ） ．x 2−1=x , x=−2 B．2−x=1 2 +x , x= 3 4 ．−2 3 x=3 2 , x=−3 4 D．−x 2 + 2 3=1, x=−2 3 【变式2-2】（2022·江苏扬州·七年级期末）整式mx+的值随x 的取值不同而不同，下表是 当x 取不同值时对应的整式的值： x 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 mx+ 12 ﹣ 8 ﹣ 4 ﹣ 0 4 则关于x 的方程﹣mx﹣＝8 的解为_____． 【变式2-3】（2022·江西抚州·七年级期中）若方程3 x+a=b的解是x=1，则关于未知数y 的方程6 y−2b+18+2a=0的解是y=¿______． 【考点3 同解方程】 【例3】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）方程3x＋6＝0 与关于 x 的方程3x＝2 2 ﹣m 的解相同，则m 的值为（ ） ．﹣2 B．2 ．3 D．4 【变式3-2】（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校七年级期中）已知关于x 的方程 2x=8 与x+2＝－k 的解相同，则代数式2−3|k| k 2 的值是（ ） ．－9 4 B．4 9 ．－4 9 D．± 4 9 【变式3-3】（2022·广东惠州·七年级期末）若方程2 x−5=x−2与3a−x−a 2 =a−a−2 x 5 的解相同，求的值．（解方程要有详细步骤）． 1 【考点4 根据方程的解情况求值】 【例4】（2022·上海市奉贤区青溪中学八年级期末）如果关于x 的方程（+1）x＝a 2+1 无解， 那么的取值范围是（ ） ．＝−1 B．＞−1 ．≠−1 D．任意实数 【变式4-1】（2022·全国·七年级专题练习）关于x 的方程2a( x−1)=(5−a)x+3b有无穷 多个解，则a−b=¿______． 【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知y=2 x+5 13 −3 x−2 17 −3 2 x+2．当x=1.5 时，y>0；当x=1.8时，y<0．则方程2 x+5 13 −3 x−2 17 −3 2 x+2=0的解可能是（ ） ．145 B．164 ．192 D．205 【变式4-3】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x 的方程mx=3−x的解为整数，则正 整数m 的值为______． 【考点5 方程遮挡问题】 【例5】（2022·重庆黔江·七年级期末）方程2 y−1 2=1 2 y−¿ 中被阴影盖住的是一个 常数．已知此方程的解是y=−4 3 ．则这个常数是( ) ．−5 2 B．5 2 ．−3 2 D．−3 2 【变式5-1】（2022·河南开封·七年级期末）某书中一道方程题2+⊕x 3 +1=x，⊕处印刷 时被墨盖住了，查后面答，这道题的解为x=−25，那么⊕处的数字为______． 【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）小磊在解方程3 2(1−�−x 3 )=x−1 3时，墨水 把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答知道这个方程的解为x=2 3，于是他推算确定被 染了的数字“■”应该是________． 【变式5-3】（2022·浙江杭州·中考真题）计算：(−6)×( 2 3−■)−2 3．圆圆在做作业时，发 现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是1 2，请计算(−6)×( 2 3−1 2)−2 3． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【考点6 判断方程解的情况】 【例6】（2022·江西抚州·七年级期中）若a+b=0，则方程ax+b=0的解有（ ） 1 ．只有一个解 B．只有一个解或无解 ．只有一个解或无数个解 D．无解 【变式6-1】（2022 春•嵩县期中）当＝1 时，方程（﹣1）x+b＝0（其中x 是未知数，b 是 已知数（ ） ．有且只有一个解 B．无解 ．有无限多个解 D．无解或有无限多个解 【变式6-2】（2022•顺德区模拟）已知关于x 的方程（﹣2）x＝b+3． （1）若原方程只有一个解，则 ，b ． （2）若原方程无解，则 ，b ． （3）若原方程有无数多个解，则 ，b ． 【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）若m、是有理数，关于x 的方程3m（2x 1 ﹣） ﹣＝3（2﹣）x 有至少两个不同的解，则另一个关于x 的方程（m+）x+3＝4x+m 的解的情况 是（ ） ．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 ．只有一个解 D．无解 【考点7 等式的基本性质】 【例7】（2022·辽宁·葫芦岛市实验中学七年级阶段练习）下列各式运用等式的性质变形， 错误的是（ ） ．若−a=−b，则a=b B．若a c =b c ，则a=b ．若ac=bc，则a=b D．若(m 2+1)a=(m 2+1)b，则a=b 【变式7-1】（2022·河南·西峡县城区二中七年级阶段练习）a、b、c为有理数，下列变形 不正确的是（ ） ．如果a=b，那么a+2=b+2； B．如果a=b，那么2−a=2−b； ．如果a=b，那么ac=bc； D．如果a=b，那么a c =b c ． 【变式7-2】（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如图是方程 1−3 x−1 4 =3+x 2 的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有（ ） 1 ．①②③ B．①②④ ．①③⑤ D．①④⑤ 【变式7-3】（2022·广东广州·七年级期末）四个数、x、y、z 满足x－2021＝y+2022＝z－ 2023＝+2024，那么其中最小的数是_____，最大的数是______． 【考点8 一元一次方程的解法】 【例8】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）解方程： (1)05x-07=65-13x； (2)5(x+6)=6(2x-7)+9； (3)1−2 x−5 6 =3−x 4 ； (4) x−1 0.2 =1+ x−1 0.5 ． 【变式8-1】（2022·上海市罗南中学阶段练习）解方程：14%x 9% ﹣ （x+10）＝7%x 02 ﹣ ． 【变式8-2】（2022·湖南·邵阳市第十六中学七年级期末）解下列方程： (1)2 x−2=1 2 x+1 (2)1−2 x+1 5 = x+3 10 【考点9 换元法、整体代入法解一元一次方程】 【例9】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知关于x的一元一次方程 x 2019 +5=2019 x+m的解为x=2018，那么关于y的一元一次方程 5−y 2019−5=2019(5−y)−m的解为（ ） ．2013 B．−2013 ．2023 D．−2023 【变式9-1】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）当x＝1 时，式子x3+bx+1 的值是 2，则方程ax+1 2 + 2bx−3 4 = x 4 的解是 _____． 【变式9-2】（2022·山东德州·七年级阶段练习）用整体思想解方程 1 3（2x－3）- 1 3（3－2x）=5（3－2x）+1 2（2x－3） 【变式9-3】（2022·浙江杭州·七年级期末）已知关于x的一元一次方程 1 2016 x+3=2 x+b 的解为x=5，那么关于y的一元一次方程 1 2016 ( y+1)+3=2( y+1)+b的解为________． 【考点10 一元一次方程中的错看问题】 【例10】（2022·全国·七年级专题练习）某同学解方程4 x−3=□x+1时，把“□”处的系 数看错了，解得x=4，他把“□”处的系数看成了（ ） ．3 B．−3 ．4 D．−4 【变式10-1】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）小李在解方程3a−x=13（x 为未 知数）时，误将−x看作+x，解得方程的解x=−2，则＝________，原方程的解为_______ _． 【变式10-2】（2023·河北·九年级专题练习）已知关于x 的方程2 x−1 3 = x−a 2 −1的解为 x=−10，则的值为______；嘉琪在解该方程去分母时等式右边的-1 忘记乘6，则嘉琪解得 方程的解为x=¿______． 【变式10-3】（2022·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）嘉淇解方程2 x−6 5 +1＝ x+a 2 时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1 没有乘以10，由此得到方程的解为x ＝﹣1． (1)试求的值； (2)求原方程的解． 【考点11 一元一次方程中的新定义问题】 【例11】（2022·全国·七年级专题练习）对于两个不相等的有理数，b，我们规定符号m{， b}表示、b 两数中较小的数，例如m{2，-4}＝-4，则方程m{x，-x}＝3x＋4 的解为（ ） ．x＝－1 B．x＝－2 ．x＝－1 或x＝－2 D．x＝1 或x＝2 【变式11-1】（2022·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学七年级阶段练习）已知，对于任意的有 理数、b、、d，我们规定了一种运算：¿a b c d∨¿＝d﹣b，例如¿ 1 0 2 −2∨¿＝1×（﹣2）﹣0×2 ＝﹣2，那么当¿2 x+1 −4 x−1 3 ∨¿＝19 时，求x 的值． 【考点12 一元一次方程中的动点问题】 【变式12-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，BC=26m，射线 AG∥BC，动点E 从点出发沿射线的G 方向以每秒2m 的速度运动，点E 出发1 秒后，动 1 点F 从点B 出发在线段B 上以每秒4m 的速度向点运动．当点F 运动到点时，点E 随之停 止运动．连接F，E．设点E 的运动时间为t（秒），当△AEC的面积等于△AFC的面积 时，t 的值为______（秒） 【变式12-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在长方形BD 中，B＝4m，B＝3m，E 为D 的中点，动点P 从点出发，以每秒1m 的速度沿→B→→E 运动，最终到达点E．若点 P 运动的时间为x 秒，则当△PE 的面积为5m2时，x 的值为__________． 【变式12-3】（2022·上海理工大学附属初级中学期中）已知：△ABC中，BC=a， AC=b，AB=c，a是最小的合数，b、c满足等式：|b−5|+(c−6) 2=0，点P是△ABC 的边上一动点，点P从点B开始沿着△ABC的边按BA →AC →CB顺序顺时针移动一周， 回到点B后停止，移动的路径为S，移动的速度为每秒3 个单位长度．如图1 所示． (1)试求出△ABC的周长； (2)当点P移动到AC边上时，化简：|S−4|+|3 S−6|+|4 S−45|； (3)如图2 所示，若点Q是△ABC边上一动点，P、Q两点分别从B、C同时出发，即当点P 开始移动的时候，点Q从点C开始沿着△ABC的边顺时针移动，移动的速度为每秒5 个单 位，试问：当t为何值时，P， Q两点的路径(在三角形边上的距离）相差3？此时点P在 △ABC哪条边上？ 1 【考点13 绝对值方程】 【例13】（2022·四川·安岳县九韶初级中学七年级阶段练习）方程|x−k|=1 2的解是x=2， 那么k=¿______． 【变式13-1】（2022·全国·七年级专题练习）已知方程(m+1)x ¿m∨¿−8=0¿是关于x 的一元一 次方程． (1)求代数式5 x 2−2( xm+2 x 2)−( xm+6)的值； (2)求关于y 的方程m|y－2|＝x 的解． 【变式13-2】（2022·江苏·南通市新桥中学七年级阶段练习）有些含绝对值的方程，可以 通过讨论去掉绝对值号，转化为一元一次方程求解． 例如：解方程x+2|x|＝3． 解：当x≥0 时，原方程可化为x+2x＝3，解得x＝1，符合题意； 当x＜0 时，原方程可化为x-2x＝3，解得x＝-3，符合题意． 所以，原方程的解为x＝1 或x＝-3． 仿照上面的解法，解方程|x−4| 3 - 8＝－x+2 2 ． 【变式13-3】（2022·全国·七年级专题练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去