专题5.1 期中期末专项复习之有理数十六大必考点（解析版）

专题51 有理数十六大必考点 【人版】 【考点1 相反意义的量】.........................................................................................................................................1 【考点2 有理数的概念及分类】.............................................................................................................................3 【考点3 相反数】..................................................................................................................................................... 5 【考点4 绝对值】..................................................................................................................................................... 6 【考点5 根据数轴化简绝对值】.............................................................................................................................8 【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】............................................................................................................... 11 【考点7 有理数的混合运算】...............................................................................................................................12 【考点8 新定义中的有理数运算】.......................................................................................................................16 【考点9 科学计数法】........................................................................................................................................... 18 【考点10 有理数乘方的应用】..............................................................................................................................19 【考点11 有理数的大小比较】..............................................................................................................................21 【考点12 阅读材料中的有理数运算】..................................................................................................................24 【考点13 有理数的实际应用】..............................................................................................................................29 【考点14 正负数的实际应用】..............................................................................................................................31 【考点15 有理数中的规律探究】..........................................................................................................................36 【考点16 数轴与绝对值、动点的综合探究】......................................................................................................40 【考点1 相反意义的量】 【例1】（河北省保定市新秀学校2022-2023 学年七年级上学期期中考试数学试题）在我国 古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100 元记作+100 元，则-50 元表示（ ） ．支出50 元 B．收入50 元 ．支出60 元 D．收入60 元 【答】 【分析】根据正负数的相反意义即可得出答． 【详解】解：收入100 元记作+100 元，则−50 元表示支出50 元， 故选：． 【点睛】此题考查了正负数表示一对相反意义的量，正确理解正负数的意义是解题的关键． 【变式1-1】（重庆市育才中学校2022-2023 学年七年级上学期期中数学试题）如果水库的 水位高于正常水位4m 时，记作+4m，那么低于正常水位5m 时，应记作( ) ．5m B．-5m ．+1 5m D．-1 5m 【答】B 1 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此 可求解． 【详解】解：如果水库的水位高于正常水位4m 时，记作+4m，那么低于正常水位5m 时， 应记作-5m． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看 清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 【变式1-2】（山西省吕梁市交城县2022-2023 学年七年级上学期期中数学试题）如果电梯 上升5米，记作+5 米，那么-3 米表示 _______________________________ ． 【答】电梯下降3 米 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对， ∵电梯上升5 米，记作+5 米， -3 ∴ 表示电梯下降3 米． 故答为：电梯下降3 米． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具 有相反意义的量． 【变式1-3】（2022·全国·七年级上学期期中数学试题文具店、书店和玩具店依次坐落在一 条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店西边100米处，小明从 书店沿街向东走了40米，接着又向西走了60米，此时小明的位置在（ ） ．文具店 B．玩具店 ．文具店西边40米 D．玩具店西边60米 【答】 【分析】根据题意以书店为原点，向东方向为正方，10 米为单位长度，画出数轴，根据数 轴分析即可得出答． 【详解】如图，根据题意一书店为原点，向东方向为正方，10 米为单位长度，画出数轴， 则文具店表式的数是−20，玩具店所表示的数是−100，依题意，40−60=−20 故此时小明的位置在文具店 故选 【点睛】本题考查了数轴的应用，具有相反意义的量，有理数的加减的应用，根据数轴分 析是解题的关键． 1 【考点2 有理数的概念及分类】 【例2】（2022·湖北·公安县学研究中心七年级上学期期中数学试题）把下列有理数填入它 所属于的集合圈内． −3 4 ，1，35，0，−2，4 【答】见解析 【分析】利用负数、分数、正整数和非负数的定义即可区分作答． 【详解】解： 【点睛】本题考查了负数、分数、正整数和非负数的的定义，理解相关定义是解答本题的 关键．注意：有限小数和无限循环小数都属于分数即他们都是有理数． 【变式2-1】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级上学期期中数学试题）在2 3，−4.3， 025，0，123，101001000100001…，π 2 中，非负有理数的数有___________________． 【答】2 3，025，0，123 【分析】根据有理数的定义及分类：整数与分数统称为有理数，逐个判定即可得到结论． 【详解】解根据有理数的定义及分类可知，2 3符合题意；−4.3是负数，不合题意；0.25符 合题意；0 符合题意；123 符合题意；101001000100001…是无理数，不合题意；π 2 是无理 数，不合题意； 故答为：2 3，0.25，0，1.23． 【点睛】本题考查有理数的定义及分类，掌握有理数的分类是解决问题的关键． 【变式2-2】（2022·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校期中）在下列数中：−¿−3∨¿， 023，(−2) 2，0，(−3) 3，−(−2006 2)，−1 5 ，−( −1 0.2)，该正整数的个数为m，非负数的 个数为n，则m−n的值为________． 【答】−2 1 【分析】根据正整数的概念知所给数中(−2) 2，−(−2006 2)，−( −1 0.2)为正整数，得到 m=3；根据非负数的概念知所给数中023，(−2) 2，0，−(−2006 2)，−( −1 0.2)为非负数， 得到n=5，代入求值即可． 【详解】解：−¿−3∨¿−3，023，(−2) 2=4，0，(−3) 3=−27，−(−2006 2)=2006 2， −1 5 ，−( −1 0.2)=5， ∴正整数有：(−2) 2，−(−2006 2)，−( −1 0.2)，即m=3， 非负数有：中023，(−2) 2，0，−(−2006 2)，−( −1 0.2)，即n=5， ∴m−n=3−5=−2， 故答为：−2． 【点睛】本题考查代数式求值，掌握有理数概念及分类是解决问题的关键． 【变式2-3】（2022·陕西·白水县田家炳实验中学七年级上学期期中数学试题）把下列各数 填入它所属的集合内： 15，−1 9 ，﹣5，2 15，0，﹣532，2.3 · ，π，80%，5． (1)分数集合{ …}； (2)自然数集合{ …}； (3)非正整数集合{ …}； (4)非负有理数集合{ …}． 【答】(1)﹣1 9，2 15，﹣532，2. ˙ 3，80% (2)15，0，5 (3)﹣5，0 (4)15，2 15，0，2. ˙ 3，80%，5 【分析】根据有理数的相关定义及分类方法解答即可． （1） 解：分数集合{﹣1 9，2 15，﹣532，2. ˙ 3，80%}； 故答为：﹣1 9，2 15，﹣532，2. ˙ 3，80%； 1 （2） 解：自然数集合{15，0，5}； 故答为：15，0，5； （3） 解：非正整数集合{﹣5，0}； 故答为﹣5，0； （4） 解：非负有理数集合{15，2 15，0，2. ˙ 3，80%，5}； 故答为：15，2 15，0，2. ˙ 3，80%，5． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟记有理数的分类方法是解题的关键． 【考点3 相反数】 【例3】（2022·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ） ．2 与1 2 B．（﹣1）2与1 ．﹣1 与（﹣1）2 D．2 与| 2| ﹣ 【答】 【分析】两数互为相反数，它们的和为0，可对四个选项进行一一分析，看选项中的两个 数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数． 【详解】解：、2+1 2＝5 2； B、（﹣1）2+1＝2； 、﹣1+（﹣1）2＝0； D、2+| 2| ﹣ ＝4． 故选：． 【点睛】此题考查相反数的定义及性质：互为相反数的两个数的和为0,以及有理数的加法 计算法则． 【变式3-1】（2022·河北保定·七年级期中）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是 _____． 【答】和． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答． 【详解】解：由题意得：点表示的数为：2，点B 表示的数为：1，点表示的数为：-2，点 1 D 表示的数为：-3， 则与互为相反数， 故答为：和． 【点睛】本题考查了数轴和相反数的定义，知道数轴上某点表示的数，并熟练掌握相反数 的定义即可． 【变式3-2】（2022·宁夏·银川市第三中学七年级期中）下列各组数中：①﹣32与32；② （﹣3）2与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）；④（﹣3）3与﹣33；⑤﹣23与32，其中互为相反 数的共有（ ） ．4 对 B．3 对 ．2 对 D．1 对 【答】 【分析】两数互为相反数，它们的和为0．本题可对各选项进行一一分析，看选项中的两 个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数． 【详解】解：根据相反数的定义可知：①﹣32与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）互为相反数． 故选：． 【点睛】此题考查相反数的概念．解题的关键是掌握相反数的概念，明确两数互为相反数， 它们的和为0． 【变式3-3】（2022·山东威海·期中）若m，互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数 的是（ ） ．﹣m 和﹣ B．m+1 和+1 ．m+1 和﹣1 D．5m 和5 【答】B 【详解】分析：直接利用互为相反数的定义分析得出答． 详解：、∵m，互为相反数， -m ∴ 和-也是互为相反数，故此选项错误； B、∵m，互为相反数， m+1 ∴ 和+1 不是互为相反数，故此选项正确； 、∵m，互为相反数， m+1 ∴ 和-1 是互为相反数，故此选项正确； D、∵m，互为相反数， 5m ∴ 和5 也是互为相反数，故此选项错误； 故选B． 点睛：此题主要考查了互为相反数，正确把握定义是解题关键． 【考点4 绝对值】 【例4】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）若¿a∨¿ 1 2，且a<0，则a+1=¿__ 1 _____． 【答】1 2##05 【分析】根据绝对值的定义和a<0确定的值，代入+1 计算即可． 【详解】解：∵¿a∨¿ 1 2， ∴a=± 1 2， ∵a<0， ∴a=−1 2 ， ∴a+1=−1 2 +1=1 2， 故答为：1 2． 【点睛】本题考查绝对值的定义和代数式求值，正确求出的值是解题的关键． 【变式4-1】（2022·黑龙江·兰西县红星乡第一中学校期中）已知|x|＝8，|y|＝5，且xy＜ 0，则x+y 的值等于 _____． 【答】±3 【分析】根据绝对值的意义，求得x , y的值，进而根据xy＜0，确定x , y的值，进而求得代 数式的值． 【详解】解：∵|x|＝8，|y|＝5， ∴x＝±8，y＝±5， 又∵xy＜0， ∴x＝8，y＝﹣5 或x＝﹣8，y＝5， 当x＝8，y＝﹣5 时，原式＝8+（﹣5）＝3， 当x＝﹣8，y＝5 时，原式＝﹣8+5＝﹣3， 综上，x+y 的值为±3， 故答为：±3． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，注意分类讨论是解题的关键． 【变式4-2】（2022·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）绝对值小于3 的正整数有________． 【答】1，2##2,1 【分析】根据绝对值的性质，即可解答． 【详解】绝对值小于3 的正整数有1，2， 故答为：1，2． 1 【点睛】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负 数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 【变式4-3】（2022·辽宁本溪·七年级期中）化简：|3−π|−|4−π|=¿____________． 【答】2π−7 【分析】根据绝对值的定义即可得． 【详解】解：|3−π|−|4−π|=π−3−4+π=2π−7； 故答为：2π−7 【点睛】此题考查了绝对值，掌握绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数 的绝对值是解题的关键． 【考点5 根据数轴化简绝对值】 【例5】（2022·四川广安·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： −|b|−|c+b|+|b−a|=¿________． 【答】a+b+c 【分析】根据数轴得出a>0，b<0，c<0，据此将绝对值化简即可得到答． 【详解】由图知：a>0，b<0，c<0， ∴c+b<0,b−a<0， ∴−|b|−|c+b|+|b−a|=b+c+b−b+a=a+b+c． 故答为：a+b+c． 【点睛】本题考查数轴的点的大小关系与绝对值的性质，属于基础题． 【变式5-1】（2022·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点和B 表示的数分别为和 b，若是绝对值最小的数，d 是最大的负整数． （1）在数轴上表示＝ ，d＝ ． （2）若|x+3|＝2，则x 的值是多少？ （3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+|+|﹣x|． 【答】（1）0，−1；（2）−1或−5；（3）b−a−3 x 【分析】（1）根据是绝对值最小的数，d 是最大的负整数，即可得到c=0，d=1； （2）由|x+3|=2，则x+3=±2，由此求解即可； （3）根据数轴上的位置可得−1<a<0=c<1<b，则x−b<0，x+a<0，c−x>0，由此 进行化简即可． 1 【详解】解：（1）∵是绝对值最小的数，d 是最大的负整数， ∴c=0，d=−1， 故答为：0，−1； （2）∵|x+3|=2， ∴x+3=±2， ∴x=−3+2=−1或x=−3−2=−5； （3）根据数轴上的位置可得−1<a<0=c<1<b， ∵−1<x<0， ∴x−b<0，x+a<0，c−x>0， ∴|x−b|+|x+a|+|c−x| ¿|x−b|+|x+a|+|−x| ¿b−x−(x+a)−x ¿b−a−3 x． 【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置化简绝对值，解绝对值方程，解题的关键在 于能够熟练掌握化简绝对值的相关方法． 【变式5-2】（2022·山东德州·七年级期中）有理数，b，在数轴上的位置如图，解答下列 问题： （1）若＝2，