专题16.7 期末专项复习之分式十六大必考点（解析版）

专题167 分式十六大必考点 【人版】 【考点1 分式有意义的条件】.................................................................................................................................1 【考点2 分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】......................................................................................3 【考点3 分式的值为整数】.....................................................................................................................................5 【考点4 分式的值为正数或负数】.........................................................................................................................7 【考点5 分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】..................................................................9 【考点6 分式的化简求值综合运算（不等式组）】............................................................................................11 【考点7 分式的混合运算（作差法比较大小）】...............................................................................................14 【考点8 分式的化简求值（裂项相消）】........................................................................................................... 17 【考点9 分式的化简求值综合运算（通分代入）】............................................................................................21 【考点10 分式的化简求值（倒数法）】.............................................................................................................. 23 【考点11 解分式方程的运用（增根问题）】.......................................................................................................27 【考点12 解分式方程的运用（无解问题）】......................................................................................................30 【考点13 分式的混合运算（规律问题）】.......................................................................................................... 32 【考点14 解分式方程与不等式组】......................................................................................................................36 【考点15 解分式方程的运用（新定义问题）】..................................................................................................39 【考点16 分式方程的应用】..................................................................................................................................43 【考点1 分式有意义的条件】 【例1】（2022·湖南邵阳·八年级期末）下列各式中，无论x 为何实数，分式都有意义的是： （ ） ． 1 2 x+1 B．x+1 x 2+1 ．3 x+1 x 2 D．x 2−1 x−1 【答】B 【分析】根据分母为零,求x 的值，求得解的，都是无意义的，继而判断即可． 【详解】∵2x+1=0， ∴x=−1 2 ， 故x=−1 2 时，分式无意义，不符合题意； ∵x 2+1恒大于0， 故分式恒意义，B 符合题意； ∵x=0 时，分式无意义， 1 故不符合题意； ∵x=1 时，分式无意义， 故D 不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【变式1-1】（2022·山东临沂·八年级期末）已知对任意实数x，式子 x−2 x 2−4 x+m都有意义， 则实数m的取值范围是（ ） ．m>4 B．m<4 ．m⩾4 D．m⩽4 【答】 【分析】把分母配方为( x−2) 2+m−4，根据对任意实数x，式子 x−2 x 2−4 x+m都有意义， 列出不等式m−4>0即可． 【详解】解：∵x 2−4 x+m=( x−2) 2+m−4， ∵( x−2) 2⩾0，对任意实数x，式子 x−2 x 2−4 x+m都有意义， ∴m−4>0， 解得m>4． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件、配方法，解题关键是运用配方法把分母变形，再 根据题意，列出不等式求解． 【变式1-2】（2022·浙江温州·七年级期末）当x=3时，分式x−b x+2b没有意义，则b 的值为 （ ） ．−3 B．−3 2 ．3 2 D．3 【答】B 【分析】先将x=3代入分式x−b x+2b，再根据分母等于0 时分式没有意义即可得到答． 【详解】解：当x=3，x−b x+2b= 3−b 3+2b ， ∵分式3−b 3+2b没有意义， ∴3+2b=0， ∴b=−3 2 ， 1 故选：B． 【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知分式2 x+n x−m （m，n为常数）满足表格中 的信息，则下列结论中错误的是（ ） x的取值 －2 2 p q 分式的值 无意义 0 1 2 ．n=2 B．m=−2 ．p=6 D．q的值不存在 【答】 【分析】根据分式有意义的条件可得m，的值，进而可知p，q 的值，选出符合要求的选项 即可． 【详解】解：∵x 为﹣2 时方程无意义， ∴x－m=0，解得：m= 2 ﹣，故B 正确， 故分式为：2 x+n x+2 ， 当x=2 时，分式的值为0， 故2×2＋=0，= 4 ﹣，故错误， 故分式为：2 x−4 x+2 ， 当分式值为1 时，2x－4=x+2，解得：x=6， 故p=6，故正确， 当2 x−4 x+2 =2时，2x－4=2x＋4，此等式不成立，则q 的值不存在，故D 正确， 故选：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决 本题的关键． 【考点2 分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】 【例2】（2022·浙江宁波·七年级期末）将分式x+ y x 2+ y 2中x 与y 的值同时扩大为原来的3 倍， 分式的值（ ） ．扩大3 倍 B．缩小3 倍 ．不变 D．无法确定 【答】B 【分析】根据分式的基本性质对扩大后得到的分式进行化简即可求出答． 1 【详解】解：将分式x+ y x 2+ y 2中x 与y 的值同时扩大为原来的3 倍， 得： 3 x+3 y (3 x ) 2+(3 y ) 2= 3 x+3 y 9 x 2+9 y 2= 3 (x+ y ) 9(x 2+ y 2) =1 3 ⋅x+ y x 2+ y 2， 即分式的值缩小3 倍， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题 首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【变式2-1】（2022·四川凉山·八年级期末）若把分式3ab 2a+b中的、b 都缩小为原来的1 3 ， 则分式的值（ ） ．缩小为原来的1 3 B．扩大为原来的6 倍 ．缩小为原来的1 9 D．不变 【答】 【分析】把分式3ab 2a+b中的用1 3 a、b 用1 3 b代换，利用分式的基本性质计算即可求解． 【详解】把分式3ab 2a+b 中的、b 都缩小为原来的1 3 ， 则分式变为 3× 1 3 a× 1 3 b 2× 1 3 a+ 1 3 b ， 则： 3× 1 3 a× 1 3 b 2× 1 3 a+ 1 3 b =1 3 × 3ab 2a+b ， 所以把分式3ab 2a+b中的、b 都缩小为原来的1 3时分式的值也缩小为原来的1 3． 故选：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的 整式，分式的值不变． 【变式2-2】（2022·贵州毕节·八年级期末）若把分式10 x x+ y 中的x 和y 同时扩大为原来的10 倍，则分式的值（ ） ．扩大到原来的10 倍 B．扩大到原来的100 倍 1 ．缩小为原来的1 10 D．不变 【答】D 【分析】把x，y 分别换为10x，10y，计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：将原式中x，y 分别换为10x，10y， 得：10⋅10 x 10 x+10 y = 10 x x+ y ∴分式的值不变， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后 约分，再与原式比较，最终得出结论． 【变式2-3】（2022·山东滨州·八年级期末）关于分式2m−6n 3m−4 n，下列说法正确的是（ ） ．分子、分母中的m、均扩大2 倍，分式的值也扩大2 倍 B．分子、分母的中m 扩大2 倍，不变，分式的值扩大2 倍 ．分子、分母的中扩大2 倍，m 不变，分式的值不变 D．分子、分母中的m、均扩大2 倍，分式的值不变 【答】D 【分析】根据分式的基本性质即可求出答． 【详解】解：、2×2m−2×6n 2×3m−2×4 n = 2×(2m−6n) 2×(3m−4 n)= 2m−6n 3m−4 n，故分子、分母中的m、均 扩大2 倍，分式的值不变，故该说法不符合题意； B、2×2m−6n 2×3m−4 n = 2m−3n 3m−2n，故分子、分母的中m 扩大2 倍，不变，分式的值没有扩大2 倍，故该说法不符合题意； 、2m−2×6n 3m−2×4 n = 2m−12n 3m−8n ，故分子、分母的中扩大2 倍，m 不变，分式的值发生变化， 故该说法不符合题意； D、2×2m−2×6n 2×3m−2×4 n = 2×(2m−6n) 2×(3m−4 n)= 2m−6n 3m−4 n，故分子、分母中的m、均扩大2 倍，分 式的值不变，此说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基 础题型． 1 【考点3 分式的值为整数】 【例3】（2022·山东省日照第二中学八年级期末）使分式4 x+1 2 x−1的值为整数的所有整数x 的和是（ ） ．3 B．2 ．0 D．-2 【答】B 【分析】由整除的性质可知，2 x−1是4 x+1的约数，分别求得符合题意的x 值，再求和即 可． 【详解】解：∵4 x+1 2 x−1=2 (2 x−1)+3 2 x−1 =2+ 3 2 x−1， ∵ 3 2 x−1是整数， ∴2 x−1=±1或±3， 解得x=0或1 或2 或−1， 所以所有整数x 的和为：0+1+2−1=2，故B 正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考 查，比较简单． 【变式3-1】（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级阶段练习）若x (x−1) (x+2) x+1 的值为 0，则x的值一定不是（ ） ．−1 B．−2 ．0 D．1 【答】 【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答． 【详解】∵x (x−1) (x+2) x+1 的值为0， ∴x (x−1) (x+2)=0且x+1≠0， 解得：x=0或x=−2或x=1． 故x的值一定不是−1． 故选：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的分母不为零是解题关键． 【变式3-2】（2022·江苏无锡·七年级期末）若3 a−1表示一个整数，则整数可取的值共有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 1 【答】 【分析】根据3 的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可． 【详解】解：由题意可知：﹣1＝±1 或±3， ∴＝0 或2 或﹣2 或4， 故选：． 【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题 的关键． 【变式3-3】（2022·河南漯河·八年级期末）对于非负整数x，使得x 2+3 x+3 是一个正整数，则 符合条件x的个数有（ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【答】B 【分析】将x+3看作一个整体，把代数式中的分子x 2+3运用完全平方公式进行变形，再根 据正整数的特性即可得． 【详解】解：x 2+3 x+3 =( x+3) 2−6 x−6 x+3 ， ¿ ( x+3) 2−6( x+3)+12 x+3 ， ¿ x+3−6+ 12 x+3， ¿ x−3+ 12 x+3， ∵x为非负整数，x 2+3 x+3 是一个正整数， ∴x的所有可能取值为0,1,3,9， 即符合条件x的个数有4 个， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 【考点4 分式的值为正数或负数】 【例4】（2022·辽宁·丹东市第五中学八年级期末）若分式 x+2 x 2−2 x+1的值为正数，则x 的 取值范围是（ ） ．x>-2 B．x<1 ．x>-2 且x≠1 D．x>1 【答】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0 和两数相除，同号得正，异号得负，并把 1 绝对值相除即可得出答． 【详解】解：原式= x+2 (x−1) 2， 当x≠1 时，（x-1）2＞0， 当x+2＞0 时，分式的值为正数， ∴x＞-2 且x≠1． 故选：． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是 解题的关键． 【变式4-1】（2022·新疆·克拉玛依市白碱滩区育局八年级期末）分式2 3-4 x 的值为负数， 则实数x的取值范围是______ 【答】x>3 4 ##x>0.75 【分析】根据题意易得3-4 x <0，然后问题可求解． 【详解】解：由分式2 3-4 x 的值为负数，可知：3-4 x <0， ∴x>3 4 ； 故答为x>3 4 ． 【点睛】本题主要考查分式的值及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式的值及一元一次 不等式的解法是解题的关键． 【变式4-2】（2022·上海·七年级期末）若分式 a 2a−1的值总是正数，则a的取值范围是 （ ） ．a>0 B．a> 1 2 ．0<a< 1 2 D．a<0或a> 1 2 【答】D 【分析】分两种情况分析:当a>0时2a−1>0;或当a≺0时,2a−1≺0,再分别解不等式可得． 【详解】若分式 a 2a−1的值总是正数： 当a>0时，2a−1>0，解得a> 1 2; 当a≺0时，2a−1≺0，解得a< 1 2，此时的取值范围是a≺0; 1 所以a的取值范围是a<0或a> 1 2 故选：D． 【点睛】考核知识点：分式值的正负理解分式取值的条件是解的关键点：分式分子和分母 的值同号，分式的值为正数． 【变式4-3】（2022·广东·金道中学八年级期末）如果x 2+1 6−x 的值为负数，则 x 的取值范围 是_____________． 【答】x>6 【分析】根据分式的值为负数，分子的最小值为1，得出分母小于0 列出关于x 的不等式， 求出不等式的解集即可得到x 的范围． 【详解】∵x 2+1 6−x <0，x 2+1≥1， ∴6−x<0， 解得x>6 故答为x>6 【点睛】本题考查分式的值分式的值要为负，那么分母和分子必须异号，在本题中分子已 经为正，那么分母只能为负 【考点5 分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】 【例5】（2022·广西·柳州二十五中八年级期末）已知x 2−10 x+25与|y−3|互为相反数， 求( y 2 x−y) 2 ⋅x 2+ y 2−2 xy y 3 ÷ x 2−y 2 x+ y 的值． 【答】3 2 【分析】先化简分式，再由x 2−10 x+25与|y−3|互为相反数得x、y 的值，代入即可求解； 【详解】解：原式= y 4 (x−y ) 2 ⋅ (x−y ) 2 y 3 ⋅ x+ y (x+ y ) (x−y ) = y x−y ∵x 2−10 x+25与|y−3|互为相反数， ∴x 2−10 x+25+|y−3|=0， ∴(x−5) 2+|y−3|=0， ∴x=5，y=3， ∴原式= 3 5−3=3 2． 1 【点睛】本题主要考查分式的化简求值、相反数的应用，掌握相关运算法则是解本题的关 键． 【变式5-1】（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）已知实数x、y 满足 |x−3|+ y 2−4 y+4=0，求代数式x 2−y 2 xy · 1 x 2−2 xy+ y 2 ÷ x x 2 y−x y 2的值． 【答】5 3 【分析】根据分式的乘除法法则把