专题11.3 期中期末专项复习之平面直角坐标系十六大必考点（解析版）

专题113 平面直角坐标系十六大必考点 【人版】 【考点1 有序数对表示位置或线路】.....................................................................................................................1 【考点2 求坐标系中点的坐标】.............................................................................................................................4 【考点3 判断点所在的象限】.................................................................................................................................6 【考点4 求点到坐标轴的距离】.............................................................................................................................8 【考点5 坐标系中描点求值】...............................................................................................................................10 【考点6 确定坐标系求坐标】...............................................................................................................................16 【考点7 坐标系中的对称】...................................................................................................................................18 【考点8 坐标系中的新定义】...............................................................................................................................20 【考点9 点的坐标与规律探究】...........................................................................................................................26 【考点10 坐标系的实际应用】..............................................................................................................................30 【考点11 用方位角与距离确定位置】.................................................................................................................. 33 【考点12 根据平移方式确定坐标】......................................................................................................................36 【考点13 根据平移前后的坐标确定平移方式】..................................................................................................37 【考点14 已知图形的平移求点的坐标】.............................................................................................................. 42 【考点15 平移作图及求坐标系中的图形面积】..................................................................................................44 【考点16 坐标与图形】.......................................................................................................................................... 52 【考点1 有序数对表示位置或线路】 【例1】（2022·山西阳泉·七年级期中）定义：平面内的直线l1与l2相交于点，对于该平面 内任意一点M，点M 到直线l1、l2的距离分别为、b，则称有序非负实数对(a,b)是点M 的 “距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为(2,1)的点的个数有（ ）． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】D 【分析】首先根据题意，可得距离坐标为（2，1）的点是到l1的距离为2，到l2的距离为1 的点；然后根据到l1的距离为2 的点是两条平行直线，到l2的距离为1 的点也是两条平行 直线，可得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4 个，据此解答即可． 【详解】解：如图1， 1 ， 到l1的距离为2 的点是两条平行于l1的直线l3、l4，到l2的距离为1 的点是两条平行于l2直 线l5、l6， ∵两组直线的交点一共有4 个：、B、、D， ∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4 个． 故选D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题 的关键是要明确：到l1的距离为2 的点是两条平行直线，到l2的距离为1 的点也是两条平 行直线． 【变式1-1】（2022·湖北恩施·七年级期中）如图，已知∠=30°，∠B=150°，D 平分∠B，若点 可表示为（2，30°），点B 可表示为（3，150°），则点D 可表示为（ ） ．（4，75°） B．（75°，4） ．（4，90°） D．（4，60°） 【答】 【分析】根据角平分线的性质得出∠D=∠BD=60°，进而得出∠D 的度数，利用，B 两点坐标 得出2，4 代表圆环上数字，角度是与边的夹角，根据∠D 的度数，以及所在圆环位置即可 得出答． 【详解】解：∵∠B=150°，∠=30°， ∴∠B=120°， ∵D 为∠B 的平分线， ∴∠D=∠BD=60°， ∴∠D=∠D+ =60°+30°=90° ∠ ， ∵点可表示为（2，30°），B 点可表示为（3，150°）， ∴D 点可表示为：（4，90°）． 故选： 【点睛】此题主要考查了点的坐标性质以及角平分线的性质，根据已知得出点，B 点所表 1 示的意义是解决问题的关键． 【变式1-2】（2022·福建·厦门一中七年级期末）小明从学校出发往东走300m，再往南走 200m即可到家，如果以学校位置为原点，以正北、正东为正方向，那么小明家的位置用 有序数对表示为（ ） ．(−300,−200) B．(300,200) ．(300,−200) D．(−300,200) 【答】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再确定位置即可． 【详解】解：学校大门所在的位置为原点，分别以正东、正北方向为x，y 轴正方向建立平 面直角坐标系， 所以学校大门的坐标是(0，0)，小明家的坐标是(300，-200)， 故选：． 【点睛】主要考查了直角坐标系的建立和运用，解决此类问题需要先确定原点的位置，再 求未知点的位置． 【变式1-3】（2022·全国·七年级课时练习）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若(2,1) 得到的数为1，(1,−2)得到的数为3，则(3,5)得到的数为（ ）． ．8 B．−2 ．2 D．−8 【答】B 【分析】由用有序数对表示点的平移，(2,1)得到的数为1，(1,−2)得到的数为3，可得平 移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个 数的绝对值，从而可得答 【详解】解：∵ 用有序数对表示点的平移，(2,1)得到的数为1，(1,−2)得到的数为3， ∴ 数轴上的数2向左边平移1个单位得到的数为1, 数轴上的数1向右边平移2个单位得到的数为3, ∴ (3,5)可表示数轴上的数3向左边平移5个单位得到的数是3−5=−2. 故选：B. 【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题 的关键 1 【考点2 求坐标系中点的坐标】 【例2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）若点P 是第二象限内的点，且点P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，则点P 的坐标是 （ ） ．（－4，3） B．（4，－3） ．（－3，4） D．（3，－4） 【答】 【分析】根据直角坐标系内的坐标特点即可求解． 【详解】∵点P 到x 轴的距离是4， ∴纵坐标为±4， ∵点P 到y 轴的距离是3， ∴横坐标为±3， P ∵是第二象限内的点 ∴P(−3,4), 故选． 【点睛】此题主要考查直角坐标系的坐标特点，解题的关键是熟知直角坐标系的点的坐标 特点． 【变式2-1】（2022·广东·八年级单元测试）如果点P(2a−1,2a)在坐标轴上，则P点的坐 标是________． 【答】(0,1)或(−1,0) 【分析】根据点P 在坐标轴上，即点在x 轴和y 轴两种情况，分别求出的值，即可得出答． 【详解】解：∵点P(2a−1,2a)在坐标轴上， ∴当点P在x轴上时，2a=0， 解得：a=0， 故2a−1=−1，此时P点坐标为：(−1,0)； 当点P在y轴上时，2a−1=0， 解得：a=1 2， 故2a=1，此时P点坐标为：(0,1)； 综上所述：P点坐标为：(0,1)或(−1,0)． 故答为：(0,1)或(−1,0)． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标轴上的点，掌握点在不同坐标轴上的坐标 特征是解题的关键． 【变式2-2】（2022·广东·东莞外国语学校七年级期中）已知点M (3,−2)与点N在同一条 平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离是4，则点N的坐标为( ) 1 ．(4 ,−2) B．(3,−4) ．(3,4)或(3,−4) D．(4 ,−2)或(−4 ,−2) 【答】D 【分析】根据平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相等求出b，再根据点到y 轴的距离等于横 坐标的绝对值求出a，然后写出点N的坐标即可． 【详解】解：∵点M (3,−2)与点N (a,b)在同一条平行于x 轴的直线上， ∴b=−2， ∵到y轴的距离等于4， ∴a=± 4， ∴点N的坐标为(4 ,−2)或(−4 ,−2)， 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于x轴的直线上点的坐标特征，点到y轴的 距离等于横坐标的绝对值． 【变式2-3】（2022·河南漯河·七年级期末）已知点（3＋6，＋4），B（﹣3，2），B∥x 轴， 点P 为直线B 上一点，且P＝2PB，则点P 的坐标为_____________． 【答】(−6,2)或(−2,2)##(−2,2)或(−6,2) 【分析】根据B∥x 轴，则A ,B的纵坐标相等，求得a的值，进而确定A的坐标，根据 PA=2 PB即可求解． 【详解】解：∵（3＋6，＋4），B（﹣3，2），B∥x 轴， ∴a+4=2， 解得a=−2， ∴3a+6=0， ∴A (0,2)， 设P (m,2)， ①当P在AB的延长线上时，PA=2 PB， 0−m=2 (−3−m)， 解得m=−6， ∴P (−6,2)， ②当P在线段AB上时，PA=2 PB， 0−m=2 (m+3)， 解得m=−2， ∴P (−2,2)， ③当P在BA的延长线上时，PA<PB，不符合题意， 1 综上所述，点P的坐标为P (−6,2)或P (−2,2)， 故答为：(−6,2)或(−2,2)． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合求得B点的坐标是解题的关键． 【考点3 判断点所在的象限】 【例3】（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）若点A( a b ,1)在第一象限，则点 B (ab,−a 2)在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】D 【分析】直接利用点A( a b ,1)在第一象限得出b＞0，≠0，即可得出点B 所在象限． 【详解】解：∵点A( a b ,1)在第一象限， ∴a b＞0， ∴b＞0，≠0， - ∴2＜0， 则点B (ab ,−a 2)在第四象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标的符号是解题关键． 【变式3-1】（2022·山东滨州·七年级期末）已知点A(a+1,4),B(3,2a+2), P(b,0)，若 直线AB∥x轴，点P 在x 轴的负半轴上，则点M (b−a,a−2)在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】 【分析】根据直线B∥x 轴可得点、B 的纵坐标相等可求出的值，根据点P 在x 轴的负半轴 1 上，得到b<0，然后判断点M 的横坐标与纵坐标的正负即可解答． 【详解】解：∵直线B∥x 轴， 2+2=4 ∴ ，解得：=1， ∵点P 在x 轴的负半轴上， ∴b<0， ∴b-=b-1<0，-2=1-2=-1<0， 点M 在第三象限． 故选：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，根据直线B∥x 轴可得点，B 的纵坐标相等是解 答本题的关键． 【变式3-2】（2022·河北保定·七年级期末）已知点Р 的坐标为(a,b)，其中，b 均为实数， 若，b 满足3a=2b+5，则称点Р 为“和谐点”，若点M (m−1,3m+2)是“和谐点”，则 点M 所在的象限是（ ） ．第四象限 B．第三象限 ．第二象限 D．第一象限 【答】B 【分析】根据“和谐点”的定义列出关于m的方程，然后求得m的值，进而确定Ｍ的坐标， 最后确定其所在的象限即可． 【详解】解：∵点M (m−1,3m+2)是“和谐点” 3 ∴（m-1）=2（3m+2）+5，解得m=-4 ∴M (−5,−10) ∴点M 在第三象限． 故选B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、点所在的象限等知识点，根据“和谐点”的定 义列出关于m的方程是解答本题的关键． 【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系 中， x 轴∥l1，y 轴∥l2，若点的坐标为(-1，2)，点B 的坐标为(2，-1)，则点在( ) 1 ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】 【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答． 【详解】解：∵点的坐标为(−1,2)，点B 的坐标为(2,−1)， 如图，依题意可画出直角坐标系， ∴点位于第四象限，点B 位于第二象限， ∴点位于第三象限． 故选：． 【点睛】考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观， 应用“数形结合”的数学思想是解题的关键． 【考点4 求点到坐标轴的距离】 【例4】（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）以方程组¿的解为坐标的点到x轴的距 离是（ ） ．3 B．-3 ．1 D．-1 【答】 【分析】先利用加减消元法求出x、y 的值，再根据点到x 轴的距离为纵坐标的绝对值求解 1 即可． 【详解】解：¿ 用①×3+②得：14 x =42，解得x =3， 把x =3代入到①得：9-2 y =11，解得y =-1， ∴点（3，-1）到x 轴的距离为|-1|=1， 故选． 【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，解二元一次方程组，正确求出二元一次方程 组的解是解题的关键． 【变式4-1】（2022·重庆实验外国语学校七年级阶段练习）若点M (a+3,2a−4 )到y 轴的 距离是到x 轴距离的2 倍，则的值为（ ） ．11 3 或1 B．11 3 ．5 2 D．5 2或11 3 【答】 【分析】根据点到x 轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y 轴的距离为横坐标的绝对值求解． 【详解】解：由题意得|+3|=2|2-4|， +3=2 ∴ （2-4）或+3=2（4-2）， 解得=11 3 或=1， 故选：． 【点睛】本题考查点的坐标，解题关键是根据点到x 轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y 轴的距离为横坐标的绝对值列等式． 【变式4-2】（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）已知点P (2−x ,3 x−4 )到两坐 标轴的距离相等，则x的值为__________． 【答】1或3 2 【分析】根据到两坐标轴的距离相等，可得方程，解方程即可得出答． 【详解】解：∵点P (2−x ,3 x−4 )到两坐标轴的距离相等， ∴点P的横、纵坐标可能相等也可能互为相反数， ∴2−x=3 x−4或2−x+3 x−4=0， 解得：x=3 2或x=1， 故答为：1或3 2． 【点睛】本题考查了点的坐标，利用到两坐标轴的距离相等得出方程是解题的关键． 【变式4-3】（2022·河南周口·七年级期末）点P (a,1−3a)是第二象限内的一个点，且点P 1 到两坐标轴的距离之和为5，则点P 的坐标是_______． 【答】(−1，4) 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x 轴的距离等于纵坐标 的长度，到y 轴的距离等于横坐标的相反数，列方程求出的值，再求解即可． 【详解】解：∵点P (a,1−3a)是第二象限内的一个点，点P 到两坐标轴的距离之和为5， ∴−+1−3=5， 解得=−1， 1 ∴−3=1−3×(−1)=1+3=4， 所以点P 的坐标为(−1，4)． 故答为(−1，4)． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． 【考点5 坐标系中描点求值】 【例5】（2022·河南新乡·八年级期中）现给出如下各点：A (0,4 )，B (−4,1)，C (−2,−3)， D (2,−3)，E (4,1)． (1)请你在给出的平面直角坐标系中描出上述各点，然后依次连接AB，BC，CD，DE， EA． (2)观察（1