专题21.5 期末专项复习之一次函数十七大必考点（解析版）

专题215 一次函数十六大必考点 【人版】 【考点1 （一次)函数的概念】................................................................................................................................ 1 【考点2 判断一次函数的图像】.............................................................................................................................3 【考点3 根据一次函数的性质求参数】................................................................................................................. 6 【考点4 一次函数图像上点的坐标特征】........................................................................................................... 10 【考点5 确定一次函数经过的象限】...................................................................................................................12 【考点6 根据一次函数的性质判断结论正误】...................................................................................................14 【考点6 根据一次函数的性质比较函数值大小】...............................................................................................17 【考点7 根据一次函数的性质比较自变量大小】...............................................................................................20 【考点8 根据一次函数性质确定参数取值范围】...............................................................................................22 【考点9 一次函数与坐标轴的交点与面积综合】...............................................................................................25 【考点10 一次函数的平移】..................................................................................................................................30 【考点11 确定一次函数解析式】.......................................................................................................................... 32 【考点12 一次函数性质的实际应用】..................................................................................................................35 【考点13 一次函数图像的实际运用】..................................................................................................................41 【考点14 一次函数的新定义问题】......................................................................................................................46 【考点15 一次函数的规律探究】..........................................................................................................................52 【考点1 （一次)函数的概念】 【例1】（上海市奉贤区联考2022-2023 学年八年级上学期期末考试数学试卷）下列所述不 属于函数关系的是（ ） ．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x+2与x 的关系 ．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答】D 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y，对于x 的每一个确定的 值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量，对各选项进行逐一分 析即可． 【详解】解：、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项正确， 不符合题意； B、x+2随x 的变化而变化，是函数关系，故本选项正确，不符合题意； 、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项正确，不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项错误，符合题意， 故选：D． 1 【点睛】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键． 【变式1-1】（2022·湖南·长沙市华益中学八年级期末）下列曲线中，能表示y 是x 的函数 的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而 变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】、部分自变量对应多个因变量，不是函数，不符合题意； B、是函数，符合题意； 、当x =0时，对应3 个y值，不是函数，不符合题意； D、部分自变量对应2 个因变量，不是函数，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2021·陕西安康·八年级期末）在①y＝﹣8x：②y＝﹣3 x ：③y＝❑ √x+1；④y ＝﹣5x2+1：⑤y＝05x 3 ﹣中，一次函数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】B 【分析】根据一次函数的定义，正比例函数属于一次函数；一次函数是形如 y=kx+b(k ≠0) 的形式，结合题中所给表达式，比照定义形式即可解答． 【详解】解：①y＝﹣8x 是正比例函数，属于一次函数，符合题意； ②y=−3 x 不是一次函数，不符合题意； ③y=❑ √x+1不是一次函数，不符合题意； 1 ④y=−5 x 2+1中未知数次数是二次，不是一次函数，不符合题意； ⑤y＝05x 3 ﹣是一次函数，符合题意； ∴一次函数有①y＝﹣8x 和⑤y＝05x 3 ﹣， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义：一般地，形如 y=kx+b（k≠0，k、b 是常数）的函数，叫做一次函数． 【变式1-3】（2022·湖南·武冈市育科学研究所八年级期末）已知函数y = (m+1) x +m 2-1 是正比例函数，则m=_____________． 【答】1 【分析】根据函数是正比例函数，可知m+1≠0且m 2-1=0，综合条件即可得到m 的值． 【详解】解：∵y = (m+1) x +m 2-1是正比例函数 ∴m+1≠0且m 2-1=0 ∴m≠-1且m=±1 ∴m=1 故答为：1． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，形如y=kx（k ≠0）的函数叫正比例函数．易错点： 容易不考虑k ≠0． 【考点2 判断一次函数的图像】 【例2】（2022·安徽·金寨县天堂寨初级中学八年级阶段练习）一次函数 y=mx+n 与正比 例函数 y=mnx （m，为常数、且 mn≠0 ）在同一平面直角坐标系中的图可能是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m 的符号，然后根据 m、同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：、一次函数m＞0，＞0；正比例函数m＜0，矛盾； B、一次函数m＞0，＜0；正比例函数m＞0，矛盾； 、一次函数m＞0，＜0，正比例函数m＜0，成立； D、一次函数m＜0，＞0，正比例函数m＞0，矛盾， 故选：． 【点睛】此题主要考查了一次函数和正比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解 1 题．一次函数y＝kx＋b 的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0 时，经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0 时，经过第二、三、四象限． 【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级期末）如图，同一直角坐标系中，能表 示一次函数y=x+kb 和y=kx+b（k、b 为常数，且 k≠0）的图象是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由于无法直接辨识一次函数y=x+kb 和y=kx+b 的图象各是哪条直线，因此要根据选 项先得到b≠0，再根据k，b 的正负分类讨论得出答． 【详解】解：、一次函数y=kx+b 经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0，则kb＞0；而一 次函数y=x+kb 与y 轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0 与kb＜0 相矛盾，不符合题意； B、一次函数y=kx+b 经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数 y=x+kb 与y 轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0 与kb＜0 相矛盾，不符合题意； 、一次函数y=kx+b 经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y=x+kb 与y 轴交于负半轴，则kb＜0．kb＜0 与kb＜0 相一致，符合题意； D、一次函数y=kx+b 经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数 y=x+kb 与y 轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0 与kb＜0 相矛盾，不符合题意；故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数y=kx+b的图象有四 种情况：①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k>0，b<0， 函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经 过第一、二、四象限；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象． 1 【变式2-2】（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）若直线y=kx+b经过第一、二、四 象限，则函数y=bx−k的大致图像是( ) ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然 后根据一次函数的性质，即可得到一次函数y=bx−k图像经过哪几个象限，从而可以解答 本题． 【详解】∵一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、四象限， ∴k<0，b>0， ∴b>0，−k>0， ∴一次函数y=bx−k图像第一、二、三象限， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解 答． 【变式2-3】（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）直线y1=mx+n 2+1和y2=−mx−n的图象 可能是（ ） ． B． ． D． 1 【答】 【分析】首先设定一个为一次函数y1=mx+n 2+1的图象，再考虑另一条的m，的值，看看 是否矛盾即可． 【详解】解：∵n 2+1>0 ∴y1=mx+n 2+1的图像与y 轴的交点坐标在x 轴上方，故排除、B 选项 、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0；由y2的图象可知，m＜ 0，两结论不互相矛盾，故正确； D、如果过第一、二、三象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＞0；由y2的图象可知，m ＜0，两结论相矛盾，故错误． 故选． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数 y=kx+b 的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0 时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0 时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限． 【考点3 根据一次函数的性质求参数】 【例3】（2022·河北·晋州市第七中学八年级期末）已知正比例函数y=(1−m)x的图像上 一点(a,b)，且ab<0，则m 的值可能是（ ） ．-05 B．0 ．1 D．15 【答】D 【分析】根据ab<0可知，a，b异号，点(a,b)应该在第二象限或第四象限，所以正比例 函数应该过二四象限，即可推出m的取值范围． 【详解】解：由ab<0得： a，b异号，点(a,b)应该在第二象限或第四象限 ∵点在正比例函数的图像上 ∴图像过二四象限 ∴1−m＜0，m＞1 故选D． 【点睛】本题考查正比例函数的图像和性质，根据点所在的象限，判断出图像所过象限是 解题的关键． 【变式3-1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知一次函数y=kx+b，当x=−1时，y<0； 当0≤x ≤2时，−1≤y ≤3．则k=¿________． 1 【答】2 【分析】当x=−1时，y<0；0≤x ≤2时，−1≤y ≤3，可得y随x的增大而增大，再利用 待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：当x=−1时，y<0；0≤x ≤2时，−1≤y ≤3， 所以y随x的增大而增大， 所以当x=0, y=−1, x=2, y=3, ∴{ b=−1 2k+b=3 解得：{ k=2 b=−1, 故答为：2 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，一次函数的增减性，利用待定系数法求解一次函 数的解析式，掌握“一次函数的增减性的判断方法”是解本题的关键． 【变式3-2】（2022·湖北·嘉鱼县学研究室八年级期末）已知函数y=(2m+1)x+m−3（m 为常数）． (1)当m 满足条件__________时，变量y 是变量x 的一次函数； (2)当m 满足条件__________时，函数图象经过点(1,4)； (3)当m 满足条件__________时，y 随x 的增大而减小． (4)当m 满足条件__________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴的上方； 【答】(1)m≠−1 2 (2)m=2 (3)m←1 2 (4)m>3 【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解； （2）将(1,4)代入y=(2m+1)x+m−3即可； （3）根据一次函数的增减性，当k>0 时，y 随x 的增大而增大；当k<0 时，y 随x 的增大而 减小； （4）将x=0 代入函数表达式，即可求出该函数与y 轴的交点坐标，由于函数图象与y 轴的 交点在x 轴的上方，只需要纵坐标大于0 即可． （1） ∵变量y 是变量x 的一次函数； 2 ∴m+1≠0， 1 解得：m≠−1 2 故答为：m≠−1 2； （2） 将(1,4)代入y=(2m+1)x+m−3得：4=（2m+1）×1+m-3 解得：m=2， 故答为：m=2； （3） ∵y 随x 的增大而减小， 2 ∴m+1<0， 解得：m←1 2， 故答为：m←1 2； （4） 当x=0 时，y=m-3， ∴该函数与y 轴的交点为（0，m-3）， ∵函数图象与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴m-3>0， 解得：m>3； 故答为：m>3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练地掌握一次函数的增减性以及一次函数与 坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【变式3-3】（2022·安徽·八年级期末）在平面直角坐标系中，点（0，0），（5，3），B （4，0），直线y＝mx 5 ﹣m+3 将△B 分成面积相等的两部分，则m 的值为（ ） ．1 B．2 ．3 D．﹣1 【答】 【分析】设点为线段B 的中点，则点的坐标为（2，0），利用一次函数图象上点的坐标特 征可得出直线y=mx-5m+3 过三角形的顶点（5，3），结合直线y=mx-5m+3 过点（2，0）， 再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m 的值． 【详解】解：设点为线段B 的中点，则点的坐标为（2，0），如图所示． ∵y＝mx 5 ﹣m+3＝（x 5 ﹣）m+3， ∴当x＝5 时，y＝（5 5 ﹣）m+3＝3， ∴直线y＝mx 5 ﹣m+3 过三角形的顶点（5，3）． 1 ∵直线y＝mx 5 ﹣m+3 将△B 分成面积相等的的两部分， ∴直线y＝mx 5 ﹣m+3 过点（2，0）， 0 ∴＝2m 5 ﹣m+3， ∴m＝1． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数上点的坐标特征，找出 关于m 的一元一次方程是解题的关键． 【考点4 一次函数图像上点的坐标特征】 【例4】（2022·广东湛江·八年级期末）已知正比例函数y=kx，当x=2时，y=6，则下列 各点在该函数图像上的是（ ） ．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） ．（3，1） D．（﹣3，1） 【答】 【分析】先求出正比例函数y=3 x，再将点坐标逐个代入，即可得答． 【详解】解：∵正比例函数y=kx，当x=2时，y=6， ∴6=2k，解得k=3， ∴正比例函数为y=3 x， 在正比例函数y=3 x中， 若x=−1，则y=3×(−1)=−3，（﹣1，﹣3）在函数图像上，故选项符合题意，选项B 不符合题意； 若x=3，则y=3×3=9，（3，1）不在函数图像上，故选项不符合题意； 若x=−3，则y=3×(−3)=−9，（﹣3，1）不在函数图像上，故选项D 不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及函数图像上点的坐标的特征，理解函 数图像上的点，其坐标需满足解析式是解本题的关键． 【变式4-1】（2022·重庆市璧山中学校八年级期末）直线y=−x+2经过点（1，），则=__ _______． 1 【答】1 【分析】直接将点（1，）代入直线y=−x+2，即可得出＝1． 【详解】解：∵直