专题21.1 期中期末专项复习之二次根式十六大必考点（解析版）

专题211 二次根式十六大必考点 【人版】 【考点1 二次根式的概念】......................................................................................................................................1 【考点2 二次根式有意义的条件】..........................................................................................................................3 【考点3 利用二次根式的性质化简】......................................................................................................................4 【考点4 同类二次根式的概念】..............................................................................................................................6 【考点5 最简二次根式】.........................................................................................................................................8 【考点6 比较二次根式的大小】...........................................................................................................................10 【考点7 求二次根式中的参数值】.......................................................................................................................12 【考点8 化简并估算二次根式的值】...................................................................................................................14 【考点9 二次根式中的规律探究】.......................................................................................................................16 【考点10 复合二次根式的化简】..........................................................................................................................20 【考点11 二次根式的混合运算】.......................................................................................................................... 24 【考点12 二次根式的化简求值】..........................................................................................................................28 【考点13 二次根式的应用】..................................................................................................................................30 【考点14 二次根式中的新定义问题】..................................................................................................................34 【考点15 利用分母有理化求值】..........................................................................................................................37 【考点16 二次根式中的阅读理解类问题】.......................................................................................................... 43 【考点1 二次根式的概念】 【例1】（2022·北京·人大附中八年级期末）下列式子中，是二次根式的是( ) ．❑ √2 B．3 √2 ．❑ √x D．x 【答】 【分析】一般地，我们把形如❑ √a（≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论． 【详解】解：、❑ √2是二次根式，符合题意； B、3 √2是三次根式，不合题意； 、当x＜0 时，❑ √x无意义，不合题意； D、x 属于整式，不合题意； 故选：． 【点睛】此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数． 【变式1-1】（2022·河北沧州·八年级期中）下列式子一定是二次根式的是 ( ) ．❑ √a 2 B．－❑ √a ．3 √a D．❑ √a 【答】 1 【分析】根据二次根式的定义，直接判断得结论． 【详解】解：、❑ √a 2的被开方数是非负数，是二次根式，故正确； B、a<0时，－❑ √a不是二次根式，故B 错误； 、3 √a是三次根式，故错误； D、a<0时，❑ √a不是二次根式，故D 错误； 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如❑ √a(a≥0)是二次根式，注意二次根式的被开方 数是非负数． 【变式1-2】（2022·全国·八年级课时练习）若=5，则下列各式是二次根式的是( ) ．❑ √3−a B．❑ √5−a ．a−5 2 D．( a−3 2 ) 2 【答】B 【分析】根据二次根式的定义进行判断． 【详解】、当=5 时，3-＜0，该式子不是二次根式，故本选项错误； B、当=5 时，5-=0，符合二次根式的定义，故本选项正确； 、该代数式不是二次根式，故本选项错误； D、该代数式不是二次根式，故本选项错误； 故选B． 【点睛】此题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如❑ √a（≥0）的式子叫做二次根 式． 【变式1-3】（2022·内蒙古·北京师范大学乌海附属学校八年级期中）是任意实数，下列各 式中：①❑ √a+2；②❑ √(−2a) 4；③❑ √a 2+3；④❑ √a 2+6a+9；⑤❑ √a 2−3，一定是二次根式 的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】∵二次根式❑ √a必须满足a≥0 ∴只有②③④可以确定被开方数非负 一定是二次根式的个数是3 个 故选 【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键． 【考点2 二次根式有意义的条件】 【例2】（2022·山东·日照山海天旅游度假区青岛路中学七年级期中）若，b 为实数，且 1 b= ❑ √a 2−1+ ❑ √1−a 2 a+7 +4，则+b 的值为（ ） ．±1 B．4 ．3 或5 D．5 【答】 【分析】首先根据题意，列出不等式组，即可解得a=1，b=4，即可得解． 【详解】根据题意，得 ¿ 解得a=±1 ∴b=4 ∴a+b=5或3 故答为． 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，熟练运用，即可解题． 【变式2-1】（2022·广东惠州·八年级期末）若式子❑ √x+6在实数范围内有意义，则x 的取 值范围是（ ） ．x≥－6 B．x≤－6 ．x>－6 D．x＜－6 【答】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，x+6≥0， 解得，x≥-6， 故选：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解 题的关键． 【变式2-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第三中学八年级期末）下列二次根式一定有意义的是 （ ） ．❑ √2 B．❑ √−2 ．❑ √a D．❑ √−a 【答】 【分析】二次根式有意义的条件是二次根式中的被开方数必须是非负数． 【详解】解：A．❑ √2是二次根式，被开方数大于0，有意义，故本选项符合题意； B．❑ √−2，被开方数小于0，无意义，故本选项不符合题意； ．❑ √a，a如果小于0时无意义，故本选项不符合题意； D．❑ √−a，−a如果小于0时无意义，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题 关键． 1 【变式2-3】（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）若 |1999−x|+❑ √x−2006=x，则x−1999 2=¿______． 【答】2006 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵❑ √x−2006有意义， ∴x−2006≥0， ∴原等式变形为x−1999+❑ √x−2006=x， 解得1999 2=x−2006， ∴x−1999 2=2006． 故答为：2006． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关 键． 【考点3 利用二次根式的性质化简】 【例3】（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）若＜0，b＞0，则化简2 ❑ √ 1 4 a 2−ab+b 2的结果为（ ） ．﹣2b B．2﹣b ．2b﹣ D．b 2 ﹣ 【答】 【分析】先将原式化简为2❑ √( 1 2 a−b) 2 ，再由＜0，b＞0 判断出1 2 a−b<0，即可求解； 【详解】解：原式=2❑ √( 1 2 a) 2 −ab+b 2 =2❑ √( 1 2 a−b) 2 ∵＜0，b＞0， ∴1 2 a−b<0， ∴2❑ √( 1 2 a−b) 2 =−2( 1 2 a−b)=2b−a， 故选：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，二次根式的定义，掌握相关知识并正确求解是解题 的关键． 【变式3-1】（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校八年级阶段练习）化简下列二次根式（字 母表示正数） 1 (1)2 ❑ √4 a 3b 2c； (2)❑ √16a 3+32a 2 【答】(1)4 ab ❑ √ac (2)4 a ❑ √a+2 【分析】（1）根据二次根式的化简运算法则化简即可； （2）先将根式中的式子提公因式(4 a) 2，再化简即可； （1） 解：原式=2 ❑ √(2ab) 2⋅ac =2 ❑ √(2ab) 2⋅❑ √ac =4 ab ❑ √ac （2） 解：原式=❑ √(4 a) 2⋅(a+2) =❑ √(4 a) 2⋅❑ √a+2 =4 a ❑ √a+2 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握相关运算法则是解题的关键 【变式3-2】（2022·云南·会泽县以礼中学校八年级阶段练习）已知实数，b 在数轴上的位 置如图所示，化简：❑ √a 2+❑ √b 2+ ❑ √(a−b) 2− ❑ √(a−1) 2． 【答】3﹣2b-1 【分析】根据数轴可知b＜﹣1＜0＜＜1，推出﹣b＞0，﹣1＜0，根据二次根式的性质得出 +（﹣b）+﹣b﹣（1﹣），求出即可． 【详解】解：根据数轴可知：b＜﹣1＜0＜＜1， 则﹣b＞0， ﹣1＜0， 则原式＝+（﹣b）+﹣b﹣（1﹣） ＝﹣b+﹣b﹣1+ ＝3﹣2b-1． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和数轴，注意：当≥0 时，❑ √a 2=¿，当≤0 时， ❑ √a 2=−¿． 【变式3-3】（2022·安徽·芜湖市第二十九中学八年级期中）化简：❑ √(x−3) 2−(❑ √2−x ) 2． 【答】1 1 【分析】运用二次根式的性质进行化简，再合并即可． 【详解】由题意可知2−x ≥0， ∴x ≤2， ∴x−3<0， ∴原式¿3−x−2+x =1 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 【考点4 同类二次根式的概念】 【例4】（2022·全国·八年级单元测试）下列二次根式中，化简后可以合并的是 （ ） ．❑ √a 2b与❑ √a B．❑ √xy与❑ √ x y ．❑ √50与❑ √5 D．❑ √a+b与❑ √a 2+b 2 【答】B 【分析】先化简，然后根据同类二次根式的定义分别进行判断即可． 【详解】、❑ √a 2b=a ❑ √b ，所以选项错误； B、❑ √ x y = ❑ √xy y ，与❑ √xy 是同类二次根式，所以B 选项正确； 、❑ √50=5 ❑ √2，所以选项错误； D、 ❑ √a+b与❑ √a 2+b 2不是同类二次根式，所以D 选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同， 那么这样的二次根式叫同类二次根式 【变式4-1】（2022·全国·八年级单元测试）下面二次根式：①❑ √48；②❑ √2 3；③❑ √27；④ ❑ √ 2 3 化简后与❑ √3可以合并的是（ ） ．①② B．②③ ．①③ D．③④ 【答】 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答． 【详解】①❑ √48=4❑ √3，②❑ √2 3=2❑ √2，③❑ √27=3❑ √3；④❑ √ 2 3 = ❑ √6 3 ，化简后与❑ √3被开方数 相同的是：①③． 故选． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 1 【变式4-2】（2022·甘肃·民勤县第六中学八年级期中）若最简二次根式 ❑ √2 x+ y−5 ❑ 3 x−10 和 ❑ √x−3 y+11能合并，则❑ √x 2+ y 2＝__． 【答】5 【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y 的二元一次方程组，解方程 组求出x、y 的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式 ❑ √2 x+ y−5 ❑ 3 x−10 和❑ √x−3 y+11能合并， ∴最简二次根式 ❑ √2 x+ y−5 ❑ 3 x−10 和❑ √x−3 y+11是同类二次根式， ∴¿， ∴¿， ∴❑ √x 2+ y 2= ❑ √3 2+4 2=❑ √25=5， 故答为：5． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简， 解二元一次方程组，正确得到¿是解题的关键． 【变式4-3】（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）如果最简二次根式❑ √4 a−5与 ❑ √13−2a是同类二次根式． (1)求出的值； (2)若≤x≤2，化简：❑ √x 2−4 x+4+ ❑ √x 2−12 x+36 【答】(1)3 (2)4 【分析】(1)根据同类二次根式的被开方数相等可列出方程，解出即可； (2)根据(1)可得3≤x≤6，再根据完全平方公式及去绝对值符号法则进行运算，即可求得结果． （1） 解：∵最简二次根式❑ √4 a−5与❑ √13−2a是同类二次根式， 4-5=13-2 ∴ ， 解得=3； （2） 解：∵≤x≤2，=3， 3≤ ∴ x≤6， ∴❑ √x 2−4 x+4+ ❑ √x 2−12 x+36 ¿ ❑ √(x−2) 2+ ❑ √(x−6) 2 ¿|x−2|+|x−6| 1 ¿ x−2+6−x =4． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，去绝对值符合号法 则，熟练掌握和运用各定义和法则是解决本题的关键． 【考点5 最简二次根式】 【例5】（2022 春·山东淄博·九年级校考期中）下列各式①❑ √8；②❑ √0.3；③❑ √30；④ ❑ √x 2+ y 2；⑤❑ √a 2+1；其中一定是最简二次根式的有（ ）． ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】B 【分析】根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可． 【详解】①❑ √8=2❑ √2，②❑ √0.3=❑ √ 3 10= ❑ √30 10 这两个不是最简二次根式， ③❑ √30、④❑ √x 2+ y 2、⑤❑ √a 2+1这三个均为最简二次根式； 故选：B． 【点睛】此题考查最简二次根式，熟记最简二次根式满足的条件即可正确解题． 【变式5-1】下列各根式是最简二次根式的是（ ） ．❑ √56 B．❑ √ x y ．❑ √m 2+n 2 D．❑ √18 x 【答】 【分析】根据最简二次根式定义逐个判断即可得到答． 【详解】解：由题意可得， ❑ √56=2❑ √14，故选项不符合题意； ❑ √ x y = ❑ √xy |y| ，故B 选项不符合题意； ❑ √m 2+n 2是最简二次根式，故选项符合题意； ❑ √18 x=3 ❑ √2 x，故D 选项不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查最简二次根式定义，不含开得尽方的数，根号下不含分母或分母中不带 根号． 【变式5-2】（2022 秋·河北邯郸·八年级统考期末）若a−1 √2a+5与❑ √3b+a是被开方数相同 的最简二次根式，求❑ √ab的值． 【答】2❑ √2 【分析】根据最简二次根式的定义列出，b 的方程求出，再代入❑ √ab计算求值 1 【详解】解：∵ a−1 √2a+5与❑ √3b+a是被开方数相同的最简二次根式 ∴¿ 解得：¿ ∵2a+5=11>0 ∴¿符合题意 ∴❑ √ab=❑ √3× 8 3=2❑ √2 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不 含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出， b 后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 【变式5-3】（2022 春·浙江杭州·八年级校考期中）我们把形如❑ √x+b（，b 为有理数，❑ √x 为最简二次根式）的数叫做❑ √x型无理数，如3❑