专题11.5 期末专项复习之二元一次方程组十四大必考点（解析版）

专题115 二元一次方程组十四大必考点 【人版】 【考点1 二元一次方程（组）的概念】................................................................................................................. 1 【考点2 二元一次方程组的解】.............................................................................................................................3 【考点3 解二元一次方程组】.................................................................................................................................5 【题型4 同解方程组】............................................................................................................................................. 8 【题型5 二元一次方程组的错解复原问题】.......................................................................................................11 【题型6 构造二元一次方程组求解】...................................................................................................................14 【考点7 二元一次方程的整数解】.......................................................................................................................16 【考点8 二元一次方程组的特殊解法】............................................................................................................... 20 【考点9 二元一次方程组的新定义问题】........................................................................................................... 23 【考点10 二元一次方程（组）的规律探究】......................................................................................................26 【考点11 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】...........................................................................................29 【考点12 二元一次方程（组）的应用】.............................................................................................................. 34 【考点13 三元一次方程组的解法】......................................................................................................................39 【考点14 三元一次方程组的应用】......................................................................................................................42 【考点1 二元一次方程（组）的概念】 【例1】（2022·浙江·义乌市稠州中学育集团七年级阶段练习）方程①2x 3 ﹣y＝1，②xy＝ ﹣2，③x 2−5 x＝5，④x﹣1 y +2＝0 中，为二元一次方程的是（ ） ．① B．② ．③ D．④ 【答】 【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2 个未知数，含未知数的项的次数是1 的整 式方程进行判断． 【详解】解：①2x 3 ﹣y＝1，符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； ②xy＝﹣2，含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程； ③x 2−5 x＝5，含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程； ④x﹣1 y +2＝0 不是整式方程，不是二元一次方程； 故选：． 【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2 个未知数，含未知数的项的次数是1 的整式方程． 【变式1-1】（2022·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（ ） 1 ①¿；②¿；③¿；④¿． ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高 次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3 个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条 件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都 是一次方程． 【变式1-2】（2022·全国·八年级单元测试）已知(a−2)x+a 2−3+ y=1是关于x，y的二 元一次方程，则a的值为________． 【答】a≠2 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程可得a−2≠0，再解即可． 【详解】解：依题意得：a−2≠0， 解得a≠2． 故答是：a≠2． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义．熟记二元一次方程的定义是解题的关键． 【变式1-3】（2022·浙江·杭州市大关中学七年级期末）关于x，y 的二元一次方程x+by= （，b，是常数），b=+1，=b+1，对于任意一个满足条件的，此二元一次方程都有一个公共 解，这个公共解为_________． 【答】¿ 【分析】由x+by=，b=+1，=b+1，得x+y+y=+2，由对于任意一个满足条件的，此二元一次 方程都有一个公共解即可求解； 【详解】解：∵x+by=，b=+1，=b+1， ∴x+y+y=+2 ∵对于任意一个满足条件的，此二元一次方程都有一个公共解 ∴令=0，则y=2；把y=2 代入x+y+y=+2 得：x=-， 1 ∴x=-1， ∴公共解为¿． 【点睛】本题主要考查二元一次方程，由b=+1，=b+1 得到x+y+y=+2 是解题的关键． 【考点2 二元一次方程组的解】 【例2】（2022·浙江·华东师范大学附属杭州学校七年级期末）方程组¿的解为¿，则被遮盖 的两个数▲和■分别为( ) ．1，2 B．5，1 ．2，3 D．2，4 【答】B 【分析】将x=2代入x+ y=3中求出y的值，将x，y的值代入2 x+ y求值即可得出答． 【详解】解：将x=2代入x+ y=3中得：y=1， 2 x+ y=2×2+1=5， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是方程组两个方程的 公共解是解题的关键． 【变式2-1】（2022·陕西·商洛市山阳信毅九年制学校七年级阶段练习）乐乐，果果两人同 解方程组¿时，乐乐看错了方程①中的，解得¿，果果看错了方程②中的b，解得¿，求 a 2021+( −b 10 ) 2022 的值． 【答】0 【分析】把¿代入②得出−12=−b−2可求出b，把¿代入①得出5a+20=15可求出a，然 后再代入求代数式的值即可． 【详解】解：∵甲、乙两人同解方程组¿时，甲看错了方程①中的a，解得¿，乙看错了方 程②中的b，解得¿， ∴把¿代入②，得−12=−b−2，解得：b=10， 把¿代入①，得5a+20=15，解得：a=−1， ∴a 2021+(−b 10 ) 2022 ¿(−1) 2021+(−10 10 ) 2022 ¿−1+1 ¿0． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程和代数式求值等知识点，解 题的关键是列出关于a、b的一元一次方程求得a、b的值． 【变式2-2】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）若¿和¿是某二元一次方程的解， 1 则这个方程为（ ） ．x+2y= -3 B．2 x−y=0 ．y=3 x−5 D．x−3= y 【答】D 【分析】根据二元一次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、当x=−1，y=−4时，x+2y=-9≠-3, 故¿不是方程x+2y= -3 的解，不符合题意； B、当x=1，y=−2时，2x-y=2+2≠-3, 故¿不是方程2 x−y=0的解，不符合题意； 、当x=−1，y=−4时，y=3 x−5=−8≠−4， 故¿不是方程y=3 x−5的解，不符合题意； D、当¿和¿时，方程x−y=3都成立， 故¿和¿是方程x−y=3的解，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二元一次方程解的概念，使方程左右两边相等的一组未知数的值即 为该方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键． 【变式2-3】（2022·陕西汉中·七年级期末）已知关于x、y的方程组¿，则下列结论中正确 的有( ) ①当a=1时，方程组的解也是方程x+ y=2的解； ②当x= y时，a=−5 3 ； ③不论a取什么数，2 x+ y的值始终不变． ．0个 B．1个 ．2个 D．3个 【答】 【分析】将已知代入二元一次方程组后进行判断，可知①②是否正确；用代入消元法解二 元一次方程组，然后再求2 x+ y即可判断③是否正确． 【详解】解：当a=1时，x+ y=0， 故①不符合题意； 当x= y时，3a+5=0， ∴a=−5 3 ， 故②符合题意； ¿， ①+②得，x=a+3， 将x=a+3代入①得，y=−2−2a， 1 ∴2 x+ y=2a+6−2−2a=4， ∴2 x+ y的值始终不变， 故③符合题意； 故选： 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组 的关系，会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【考点3 解二元一次方程组】 【例3】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期末）关于x，y方程组¿满足x，y的和 为2，则m 2−2m+1的值为______． 【答】9 【分析】先求出方程组的解，然后结合x+ y=2，求出m 的值，再代入计算，即可求出答． 【详解】解：∵¿， 解方程组，得¿， ∵x+ y=2， ∴2m−6−m+4=2， 解得m=4， ∴m 2−2m+1=(m−1) 2=(4−1) 2=9； 故答为：9 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，求代数式的值，解题的关键是正确 的求出方程组的解，从而求出m 的值． 【变式3-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组¿的解也是方程组¿ 的解求a,b的值． 【答】a=5,b=−1 【分析】根据题意可知两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方 程组，再根据二元一次方程组解的定义，即可求出答． 【详解】3 x+ y =5① 4 x−5 y=−6②，①×（-5）－②得，-19 x=−19，解得x=1， 把x=1代入①得，3+ y =5，解得y =2， 所以方程组¿的解是¿， 把¿代入方程组¿，得¿，解得¿， 故答为：a=5,b=−1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组解的定义及二元一次方程组的解法，解答此题的关键 是要弄清题意，两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组． 【变式3-2】（2022·山东·聊城市东昌府区水城双语学校七年级阶段练习）解方程组 1 (1)¿ (2)¿ 【答】(1)¿ (2)¿ 【分析】（1）用代入法求解即可； （2）先化简方程，再用加减法求解即可． （1） 解：¿， 把①代入②得：3x+2x 4 ﹣＝1， 解得：x＝1， 把x＝1 代入①得：y＝﹣2， 则方程组的解为¿； （2） 解：方程组整理得：¿， ①×2+②得：15y＝11， 解得：y＝11 15， ②×7 ① ﹣ 得：15x＝17， 解得：x＝17 15， 则方程组的解为¿． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握根据方程组的特征，恰当选择代入消元法 和加减消元法求解是解题的关键． 【变式3-3】（2022·江苏泰州·七年级期末）在等式y＝x2＋bx＋1 中，当x＝－1 时，y＝6； 当x＝2 时，y＝11． （1）求，b 的值； （2）当x＝－3 时，求y 的值． 【答】（1）=10 3 ，b=-5 3；（2）36 【分析】（1）把x、y 的值分别代入y=x2+bx+1，得出关于、b 的方程组，再求出方程组的 解即可； （2）把x=-3 代入（1）中所求的结果，即可求出y． 【详解】解：（1）根据题意，得¿， ①×2+②，得6+3=23， 1 解得：=10 3 ， 把=10 3 代入①，得10 3 -b+1=6， 解得：b=-5 3； （2）y=10 3 x 2−5 3 x+1， 当x=-3 时，y=10 3 ×(−3) 2−5 3 ×(−3)+1=36． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能得出关于、b 的方程组是解此题的关键． 【题型4 同解方程组】 【例4】（2022·山东济宁·七年级期末）已知方程组¿和方程组¿有相同的解，则a，b的值分 别为（ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 【答】 【分析】先根据方程组¿，求出x=3，y=−1再代入ax+ y=b和x+by=a中，得到关于、 b 的方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：¿， 由①+②得：5 x=15， 解得：x=3， 把x=3代入①得：6−y=7， 解得：y=−1， 把x=3，y=−1代入ax+ y=b和x+by=a中得： ¿，解得：¿． 故选： 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，遇到有关二元一次方程组的解的问题时，将解 代入原方程组，这种方法主要用在求方程组中的字母系数． 【变式4-1】（2022·湖北武汉·七年级期末）已知方程组¿与¿有相同的解，则m+n=¿_____ __． 【答】29 2 【分析】根据两个方程组解相同，可先求出x、y 的值，再将x、y 的值代入其余两个方程 即可求出m、的值． 【详解】解：根据题意，得¿， 1 解得¿， 把x、y 的值代入方程组¿， 可得¿， 解得¿． ∴m+=29 2 ． 故答为：29 2 ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是先求出x、y 的值． 【变式4-2】（2022·黑龙江·大庆市高新区学校七年级期末）关于x，y 的两个方程组¿和¿有 相同的解，则a b 的值是（ ） ．2 3 B．3 2 ．−2 3 D．1 2 【答】 【分析】由题意知，可重新组成两个关于x，y 的两个方程组¿和¿，先计算不含参的二元一 次方程组¿，得x , y的值，然后代入含参的二元一次方程组¿，求a,b的值，然后代入求解 即可． 【详解】解：∵两个方程组同解 ∴可知关于x，y 的两个方程组¿和¿有相同的解 解方程组¿ ②−¿①得x=4 将x=4代入①式得2×4−y=7 解得y=1 ∴方程组的解为¿ 将¿代入方程组¿得¿ 解关于a,b的方程组¿ ③×3−¿④得−b=−3 解得b=3 将b=3代入③式得4 a−2×3=2 解得a=2 ∴方程组的解为¿ ∴a b=2 3 故选． 1 【点睛】本题考查了同解方程组，解二元一次方程．解题的关键在于将两个方程组重新组 成新的方程组求解． 【变式4-3】（2022·陕西安康·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组¿和¿的解相同， 求a+b的值． 【答】5 【分析】先联立¿，求出x 和y 的值，代入¿，求出和b 的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组¿和¿的解相同， ∴联立¿， 解方程组，得¿， 将¿代入¿得¿， 解方程组，得¿， + ∴b＝2+3＝5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，联立两个已知的方程求出 x 和y 的值是解题的关键． 【题型5 二元一次方程组的错解复原问题】 【例5】（2021·山东滨州·七年级期末）解方程组¿时，一学生把c看错而得到¿，而正确的 解是¿，那么a+b+c的值为（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【答】D 【分析】先将两组解代入方程组中的第一个方程可得关于a,b的方程组，解方程组可得a,b 的值，再将¿代入方程组中的第二个方程可得c的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：由题意，将¿和¿代入方程ax+by=2得：¿， 解得¿， 将¿代入cx−7 y=8得：3c+14=8，解得c=−2， 则a+b+c=4+5+(−2)=7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程 组的方法是解题关键． 【变式5-1】（2022·四川巴中·七年级期末）甲、乙两人解关于x、y 的方程组¿时，甲因看 错得到方程组的解为¿，乙将方程②中的b 写成了它的相反数得到方程组的解为¿． (1)求、b 的值； (2)求原方程组的解． 【答】(1)a=7，b=2 1 (2)¿ 【分析】（1）将¿代入¿算出b，将¿代入¿算出a即可； （2）将a b的值代入二元一次方程组中，解出即可． (1) 解：甲看错方程组中的 ¿的，得到方程组的解为¿． ∴将¿代入①得：3−2b=−1， ∴b=2 ∵乙把方程②中的b 看成了它的相反数，得到方程组的解¿， ∴将¿代入ax−by=−5中 得：a=7； (2) 解：将¿代入¿中得：¿ ， 解得¿ ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟知方程组的解即为能使 方程组中两方程成立的未知数的