九下专题11 圆的综合问题（教师版）

专题11 圆的综合问题 类型一、切线问题 例．如图，在 中，点是边BE 上一点，以B 为直径的 与E 相切于点D， ，点F 为与 的交点． (1)求证：B 是 的切线； (2)连接DB 与交于点G， ， ，求阴影部分面积． 【答】(1)证明见解析；(2) 【解析】(1)连接D，则D=，∴∠D=∠D， ， ， ， ∵在△D 和△B 中， ， ，∴∠B=∠D， ∵D 是切线，∴D⊥D，∴∠B=∠D=90°，∴B 是 的切线； (2)∵D、B 都是圆的切线， ∴D=B，垂直平分DB， 设圆的半径为r，则D=r，G=F-FG=r-2， ∵D2=G2+DG2，∴ ，解得r=4， ∴G=2，∴∠DG=30°，∴∠D=60°，∠DB=2∠D=120°， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵S 四边形DB ， S 扇形DB ， ∴S 阴影= S 四边形DB- S 扇形DB= ． 【变式训练1】如图，B 是⊙的直径，是弦，P 为B 延长线上一点，∠BP＝∠B，∠B 的平分 线交⊙于点D，交B 于点E， (1)求证：P 是⊙的切线； (2)若＋B＝2 时，求D 的长． 【答】(1)见解析；(2) 【解析】(1)连接， ∵B 为直径，∴∠B=90°，∴∠+∠B=90°， = ∵，∴∠B=∠， ∵∠BP＝∠B，∴∠BP=∠ ∠ ∴ BP +∠B=90°，即∠P=90°， ∴P 是⊙的切线； (2)连接BD，作 ，垂足为M，， ∵D 平分 ， ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴四边形 为矩形， ∵ ，∴矩形 为正方形，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【变式训练2】如图，线段B 经过 的圆心，交圆于点，， ，D 为 的弦，连接 BD， ，连接D 并延长交 于点E，连接BE 交 于点M． (1)求证：直线BD 是 的切线； (2)求线段BM 的长． 【答】(1)见解析；(2) 【解析】(1)证明：∵∠BD=2∠BD，∴ ， 又∵ ，∴ ，即 ， 又∵ 为 的半径，∴直线BD 是 的切线； (2)解：如图，连接DM， Rt△BD 中， ，∴ ， 又 ， ，∴ ，∴ ， ∵ 的直径，∴ ， ， 在Rt△BDE 中， ，∵ ，∴ ， 在Rt△BDM 中， ． 【变式训练3】如图，在平行四边形 中， 是对角线， ，以点 为圆 心，以 的长为半径作 ，交 边于点 ，交 于点 ，连接 ． (1)求证： 与 相切； (2)若 ， ，求 的长． 【答】(1)见解析；(2) ． 【解析】(1)解：连接E， ∵平行四边形 ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 在 和 中， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵E 是 的半径，∴ 与 相切； (2)连接EF，作EG⊥， 由(1)可知 ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， 又∵ ，∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∵EG⊥，∴ ，∴ ，∴ ， 在 中， ． 【变式训练4】如图，四边形B 是菱形，点D 在边B 上，以为圆心、D 为半径的圆切B 于 点D． (1)试判断直线B 与 的位置关系，并说明理由； (2)若 ，且点D 是B 的中点，求图中阴影部分的面积． 【答】(1) 与 相切，理由见解析(2) 【解析】(1)解：直线B 与⊙相切． 理由是：如图，过点作E⊥B，垂足为点E． ∵⊙与边B 相切于点D，∴D⊥B．∴∠D=∠E=90°， ∵四边形B 是菱形，∴∠=∠，=， ∴△D≌△E(S)，∴D=E，∴E 是⊙的半径．∴直线B 与⊙相切． (2)解：如图：标出四边形与圆的交点 ，由已知可得， 在Rt△D 中，=B=2，D= ， ∴由勾股定理可得D= ， ∴ ， ∵D= ，∴∠D=30°，∴∠=60°，∠=120°， ∴ ， ∴阴影部分的面积= ． 类型二、圆的面积问题 例．已知，在半圆 中，直径 ，点 ， 在半圆 上运动，(点 ， 可以与 ， 两点重合)，弦 ． (1)如图1，当 时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形； (2)如图2，若 时，求图中阴影部分(弦D、直径B、弧BD 围成的(图形)的面积； (3)如图3，取D 的中点 ，点 从点 开始运动到点 与点 重合时结束，在整个运动过 程中： ①点M 到B 的距离的最小值是______； ②直接写出点M 的运动路径长______． 【答】(1) ； ；(2) ；(3)① ，② 【解析】(1)证明：∵ ，∴∠D=∠DB， ∵∠DB=∠B，∴=BD，∠D+∠DB=∠DB+∠B，即∠B=∠DB， 在△B 和△DB 中， ，∴△B≌△DB(SS)； ∵∠DB=∠B，∠DB=∠DB，∠B=∠D，∴∠D=∠DB， 在△D 和△DB 中， ，∴△D≌△DB(S)； (2)解：过 作 于 ，如图： ∵半圆中，直径 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ， ，∴ ； 答：阴影部分面积是 ； (3)① ，② ， 解：①连接、D、M，过M 作ME⊥B 于E，如图： ∵直径B=6，弦D=3，∴=D=D=3， ∴△D 是等边三角形， ∵M 是D 的中点，∴M = ，M⊥D， ∴M= ，∴ME= ， ∴当E 最大时，ME 最小， 而当与重合(或D 与B 重合)时，E 最大，如图： ∵△D 是等边三角形，M 是D 的中点，∴∠M=30°，∴ME= ， 即点M 到B 的距离的最小值是 ，故答为： ； ②如图， 由①知：M ，M 的轨迹是以为圆心， 为半径的弧， 当与重合时，∠M=30°， 同理，当D 与B 重合时，∠BM '=30°，∴∠MM '=120°， ∴点M 的运动路径长为 ，故答为： ． 【变式训练1】如图，B 为 的直径，点E 在弦的延长线上，过点E 作 ，ED 与 相切于点D． (1)求证：D 平分 ． (2)若 ， ，求E 和DE 的长． 【答】(1)见解析；(2) ， 【解析】(1)证明：如图，连接D． ∵ED 与 相切于点D，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ，即D 平分 ． (2)如图，连接B 交D 于点G． ∵B 为 的直径，∴ ． 又∵ ，∴ ，∴ ， ∴G 为B 的中点，∴ ． ∵ ， ，∴ ， ∵点点G 分别为B、B 的中点，∴ ， ，∴ ， ∵ ， ， ，∴四边形EDG 是矩形， ∴ ， ． 【变式训练2】小颖复习尺规作图时， 进行如下操作(如图)： ①以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交B 于点Q，交B 于点P，再分别以点P，Q 为圆 心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点，作射线B； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，交B 于点M，交于点，再分别以点M，为圆心，大 于 的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线G 交射线B 于点； ③作射线交B 于点D，且 ，以点为圆心，D 为半径作 ，交于点E，交B 于 点F，构成如图所示的阴影部分． (1)求证： 是等腰直角三角形； (2)若 ，求图中阴影部分的面积． 【答】(1)证明过程见解析；(2) 【解析】(1)证明：由题意尺规作图知， 、 分别是 和 的角平分线， 点 是 的内心， 平分 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 是等腰三角形， 又 ， 是等腰直角三角形． (2)连接 ， ，如图所示， 由(1)得点 是 的内心，且 ， 是 的半径， 为 的内切圆， ， ， 均与 相切， ， ，且 ， ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， 设 得半径为，由(1)知 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，解得 ， ， 又 ， ， 图中阴影部分的面积为 ． 【变式训练3】如图， 是 的直径，点在 上， ，点D 是 的中点，连 结 ，交于点E，连结 ． (1)求 的度数．(2)求证： ．(3)若 ，求 的面积． 【答】(1)225°；(2)证明见解析；(3) 【解析】(1)解：如下图所示，连接D． ∵ ，∴⊥B．∴∠B=90°． ∵点D 是 的中点，∴ ．∴ ． = ∵B，∴垂直平分B．∴E=BE．∴∠EB=∠EB=225°． (2)证明：∵B 是 的直径， ∴∠DB=90°．∴ ． ∵∠EB=225°，∴∠DB=180°-∠DB-∠EB=675°． ∵∠EB=225°，∴∠DBE=∠DB-∠EB=45°． ∴∠DEB=180°-∠DB-∠DBE=45°．∴∠DBE=∠DEB．∴BD=DE． ∴ ．∴ ．∴ ． (3)解：∵DE=1，∴BD=DE=1． ∴ ．∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ．