专题05 勾股定理与几何图形的折叠问题全攻略（教师版）

专题05 勾股定理与几何图形的折叠问题全 攻略 类型一、三角形中的折叠问题 例．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ， ．现将直角边 沿 直线 折叠，使它落在斜边 上，且与 重合，则 的大小为( ) ．2m B．3m ．48m D．5m 【答】B 【详解】解：由折叠的性质可得，=E=6，D=DE，∠D=∠ED=∠DEB=90°， 在Rt△B 中，B2=2+B2=62+82=102，∴B=10，∴BE=B-E=10-6=4， 设D=DE=x，则DB=B-D=8-x， 在Rt△DEB 中，由勾股定理，得x2+42=(8-x)2， 解得x=3，即D=3m， 故选：B． 【变式训练1】如图，在Rt△B 中，∠＝90°，＝6，∠B＝30°，点F 在边上，并且F＝2，点 E 为边B 上的动点，将△EF 沿直线EF 翻折，点落在点P 处，则点P 到边B 距离的最小值 是 _____． 【答】 【详解】解:如图，延长FP 交B 于M，当FP⊥B 时，点P 到B 的距离最小． =6 ∵ ，F=2， ∴F=-F=4， ∵∠B＝30°，∠B=90° =60° ∴∠ ∵∠MF=90°， ∴∠FM=30°， ∴M= F=2， ∴FM= =2 ， ∵FP=F=2， ∴PM=MF-PF=2 -2， ∴点P 到边B 距离的最小值是2 -2． 故答为: 2 -2． 【变式训练2】如图，有一块直角三角形纸片，直角边＝3m，B＝4m，将直角边沿D 所在 的直线折叠，使点落在斜边B 上的点E 处，则D 的长为___________m． 【答】 【详解】解： ， ， ， ， 由折叠的性质得： ， ， ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， 即 ，解得： ， ，故答为 ． 【变式训练3】如图，在 中，点D 在B 边上， ，且 ，将 沿D 折叠，点落在点 处，连接 ，若 ，则B 的长为______． 【答】 【详解】解：∵ ，将 沿D 折叠，点落在点 处， ∴ 设 ，则 ，由 ，可得 ， 在 中， ， ，即 ，解得 (负值舍去) 故答为： 类型二、四边形中的折叠问题 例．如图，将矩形纸片BD 沿EF 折叠，使点恰好与点重合，点B 的对应点为点B′，若D＝ 4，F＝5，则B 的长为( ) ． B． ．10 D．8 【答】D 【详解】解：由折叠得：F＝F＝5， ∵四边形BD 是矩形，D＝4，∴△DF 是直角三角形， ∴DF＝ =3，∴B＝D＝F+DF＝8；故选：D． 【变式训练1】如图，在平行四边形BD 中，将△B 沿着所在的直线折叠得到△B′，B′交D 于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠B＝45°，＝ ，则B′D 的长是( ) ．1 B． ． D． 【答】B 【详解】∵四边形BD 是平行四边形，∴D∥B，B∥D，∠D=60°，∴∠E=∠B=45° ∵将△B 沿翻折至△B’，∴∠B’=∠B=60° ∴∠E=180°-∠E-∠B’=90°，∴E=E= = ， ∴∠E=90°，∠B’=60°，∠D=60°， ∴∠B’D=30°，∠DE=30°， ∴B’E=DE=1， ∴B’D= = 故选：B． 【变式训练2】如图．在长方形纸片BD 中，B=12，D=20，所示，折叠纸片，使点落在B 边上的′处，折痕为PQ，当点′在B 边上移动时，折痕的端点P、Q 也随之移动．点P，Q 分 别在边B、D 上移动，则点′在B 边上可移动的最大距离为( ) ．8 B．10 ．12 D．16 【答】 【详解】解：①在长方形纸片BD 中，B=12，D=20，∴B=D=20， 当p 与B 重合时，B = ′ B=12，′=B-B =20-12=8 ′ ， ②当Q 与D 重合时， 由折叠得′D=D=20， 由勾股定理，得′= =16， ′最远是16，′最近是8，点′在B 边上可移动的最大距离为16-8=8， 故选：． 【变式训练3】如图，菱形BD 中，∠BD = 60°，B = 6，点E，F 分别在边B，D 上，将△EF 沿EF 翻折得到△GEF，若点G 恰好为D 边的中点，则E 的长为( ) ． B． ． D．3 【答】B 【详解】解：过点D 作 ，垂足为点，连接BD 和BG，如下图所示： 四边形BD 是菱形， ， ， ， 与 是等边三角形， 且点G 恰好为D 边的中点， 平分B， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， 由勾股定理可知： ， ， 由折叠可知： ，故有 ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理可知： ， 即 ，解得 ， 故选：B． 【变式训练4】如图，四边形 是边长为9 的正方形纸片，将其沿 折叠，使点 落 在 边上的点 处，点 的对应点为点 ， ，则 的长为( ) ．18 B．2 ．23 D． 【答】B 【详解】解：连接BM，MB′， 设M=x， 在Rt△BM 中，B2+M2=BM2， 在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2， ∵折叠，∴MB=MB′， ∴B2+M2= MD2+DB′2，即92+x2=(9-x)2+(9-3)2， 解得x=2，即M=2，故选：B． 课后训练 1．如图，已知长方形BD 中，D=3m，B=9m，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕 为EF，则△DE 的面积为_______m2． 【答】6 【详解】解： 将此长方形折叠，使点 与点 重合， ． ． ，根据勾股定理可知： ． ．解得： ． 的面积为： ． 故答为：． 2．如图，四边形BD 是边长为9 的正方形纸片，将其沿M 折叠，使点B 落在D 边上的 处，点对应点为 ，且 ＝3，则B＝______，M＝______． 【答】 5 2 【详解】解：由翻折的性质可知：B=B′， 设B=x，∵四边形BD 是正方形，∴B=D=9，∠=∠D=90°， ∵B′2=B′2+2，∴x2=(9-x)2+32，解得x=5，∴B=5； 设M=y，连接BM，MB′， 在Rt△BM 中，B2+M2=BM2， 在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2， ∵MB=MB′，∴B2+M2=BM2=B′M2=MD2+DB′2， 即92+y2=(9-y)2+(9-3)2，解得y=2，即M=2， 故答为：5；2． 3．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为 的正方形纸片 ，沿着 边上一点 与点 的连线折叠，点 是点 的对应点，延长 交 于点 ，经测量 ， ，则 的面积为______ ． 【答】 【详解】解： 折叠， ， ， ， ∵四边形 是正方形，∴ 中 ． ． 故答为： 4．如图，在长方形BD 中， ， ，P 为D 上一点，将 沿BP 翻折至 ，PE 与D 相交于点，且 ，则P 的长为______． 【答】 【详解】解： 四边形 是矩形， ， ， ， 由折叠的性质可知 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， 根据勾股定理得： ， 即 ，解得： ， ， 故答为： ． 6．如图，已知长方形BD 纸片，B＝8，B＝4，若将纸片沿折叠，点D 落在 ，则重叠部 分的图形的周长为___． 【答】 【详解】解：由于折叠可得：D = ′ B，∠D = ′ ∠B， 又∵∠FD = ′ ∠FB，∴△FD′ △ ≌FB(S)， ∴D′F＝BF， 设D′F＝x，则F＝8−x， 在Rt△FD′中，(8−x)2＝x2＋42，解得：x＝3， ∴F＝B−FB＝8−3＝5， 在 中, ∴重叠部分的图形的周长为 故答为： 7．如图，三角形纸片 中， ， ， ． 是 边上一点，连接 ，把 沿 翻折，点 恰好落在 延长线上的点 处，则 的长为__________． 【答】 【详解】解：∵∠B=90°，B=3，B=5，∴= =4， 由折叠可知：B=B =5 ′ ，BD=B′D，∴B = ′ B -=1 ′ ， 设D=x，则BD=B′D=3-x， 在△B′D 中， ， 即 ，解得：x= ，即D= ， 故答为： ． 8．如图，在正方形BD 中， ，M 是D 边上的一点， ．将△BM 沿BM 对折至△BM，连接D，则D 的长是________． 【答】 【详解】解：如图，连接交BM 于点，过点作⊥D 于点， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠BD=90°，B=D， ∵ ， ． ∴M=3，DM=6，∴ ， ∵将△BM 沿BM 对折至△BM，∴⊥BM，=，M=M=3， ∵ ，∴ ，∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ，即 ，解得： ， ∴ ， ，∴ ，∴ ． 故答为： 9．如图，在长方形BD 中， ， ，点E 是B 边上一点，连接E，把 沿E 折叠， 使点B 落在点 处．当 为直角三角形时，BE 的长为______． 【答】 或3 【详解】解：如图1 中，当 ， ， 共线时， ． 四边形 是矩形， ， ， ， ，设 ，则 ， 在 中， ， ， ， 如图2 中，当点 落在 上时， ， 此时四边形 是正方形， ，综上所述，满足条件的 的值为 或3． 故答是： 或3． 10．如图，在△B 中，∠＝90°，＝12m，B＝16m，D、E 分别是边B、B 上的任意一点，把 △B 沿着直线DE 折叠，顶点B 的对应点是B′，如果点B′和顶点重合，则D＝______m． 【答】 【详解】解：设D＝xm，则BD＝(16﹣x)m，由折叠得：D＝BD＝16﹣x， 在Rt△D 中，由勾股定理得：D2+2＝D2， ∴x2+122＝(16﹣x)2，解得：x＝ ，即D＝ (m)． 故答为： ． 11．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝60°，B＝ ，E 为的中点，F 为B 上一点，将△EF 沿EF 折叠得到△DEF，DE 交B 于点G，若∠BFD＝30°，则G＝_____． 【答】2 【详解】解： ， ， ， ， ， 为 的中点， ， 将 沿 折叠得到 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ，解得 ， ． 故答为：2． 12．在长方形BD 中，B＝8，B＝10，P 是边D 上一点，将△BP 沿着直线BP 翻折得到 △'BP． (1)如图1，当'在B 上时，连接'，求'的长； (2)如图2，当P＝6 时，连接'D，求'D 的长． 【答】(1) ；(2) 【解析】(1)解：根据题意得： ， ∴ ； (2)解：如图，过点 作 于点M，延长 交B 于点， 根据题意得：D∥B，B⊥D，B⊥B， ，D=B=10， ∴DP=4， ∵ ，∴M⊥B，∴M=B=8，M=B， 设 ，则 ， ， 在 中，由勾股定理得 ，即 ， 在 中，由勾股定理得 ，即 ， 由①②联立得： ， 把 代入②得： 或 (舍去)， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ．