九上专题03 反比例函数与几何图形综合（教师版）

专题03 反比例函数几何图形综合 例1．(等腰三角形)已知反比例函数 (m 为常数)的图象在第一、三象限． (1)求m 的取值范围； (2)如图，若该反比例函数的图象经过▱BD 的顶点D，点，B 的坐标分别为(0，4)，( 3 ﹣， 0)． ①求出函数解析式； ②【分类讨论思想】设点P 是该反比例函数图象上的一点，若以D，，P 为顶点的三角形 是等腰三角形，则满足条件的点P 的个数为______个． 【答】(1)m＜1 (2)①y＝ ；②4 【解析】(1) 解：∵反比例函数 (m 为常数)的图象在第一、三象限． 1 ∴﹣m＞0， ∴m＜1； (2) 解：∵B( 3 ﹣，0)， ∴B＝3， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴D B，D＝B＝3， (0 ∵ ，4)， ∴D(3，4)， ①∵点D 是反比例函数y＝ 的图象上， 1 ∴﹣m＝3×4＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝ ； ②∵以D，，P 为顶点的三角形是等腰三角形， ∴Ⅰ、当D＝DP 时，如图，点 和 ； Ⅱ、当D＝P 时，如图中， 和点 ； Ⅲ、当P＝DP 时，则点P 在D 的垂直平分线上，即此种情况不存在； 故答为：4． 例2．(直角三角形)如图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交于点 与 ，点 是 轴上一点，连接 ，且 ， 是线段 上一点，反比例函 数 的图象经过点 ． (1)求 的值． (2)求线段 所在直线的函数表达式． (3)延长 ，与反比例函数 的图象在第三象限交于点 ， 是 轴上的一点，当以 、 、 三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出 点的坐标． 【答】(1) (2) (3)点 的坐标为 或 或 或 【解析】(1) 将 代入 ，得 ，解得 ， ∴ ． 将 代入 中，得 ，故 为 ． ∵ 的图象经过点 ， ∴ ． (2) ∵ 与 轴交于点 ，∴ ． ∵ ，∴ ， ． 设直线 的函数表达式为 ，将 ， 代入，得 ，解得 ， ∴直线 的函数表达式为 ． (3) ∵ ，延长 ，与反比例函数在第三象限交于点 ，∴ ，∴ ． 设 ，则 ， ， ①以 为斜边时， ， ∴ ，解得 ，∴ 或 ． ②以 为斜边时， ， ∴ ，解得 ，∴ ． ③以 为斜边时， ， ∴ ，解得 ，∴ ． 综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ． 例3．(平行四边形)如图，四边形B 是矩形，＝2，B＝6，反比例函数 的图象过点． (1)求k 的值． (2)点P 为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线，PE⊥x 轴，当四边形PDE 是正方形时， 求点P 的坐标． (3)点G 为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以、B、Q、G 为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)12 (2)点P 坐标为( +1， ﹣1)或(1﹣ ，﹣1﹣ ) (3)存在，点G 的坐标为( 4 ﹣，﹣2)或( 8 ﹣，﹣2)或( ，14)或(﹣ ，14)或(8，14)或( ， ﹣2) 【解析】(1) =2 ∵ ，B=6， ∴点(2，0)，点B(0，6)，点(2，6)， ∵反比例函数 的图象过点， ∴k=2×6=12； (2) ∵k=12， ∴反比例函数解析式为： ， 设 ， ∵四边形PDE 是正方形， ∴PD=PE， 当点P 在第一象限时， ∴ ， 解得 (舍去) ∴ 当点P 在第三象限， ∴ 解得： (舍去) ∴ ， 综上所述， 或 (3) 设点 的坐标为 若B 为边， ∵以、B、Q、G 为顶点组成的平行四边形面积为16， ∴ ，解得： 或 ，∴ 或 ， ∵以、B、Q、G 为顶点组成的四边形是平行四边形，∴B=QG=2，B∥QG， ∴ 或 或 或 ， 若B 为对角线，设点G(x,y)， ∵以、B、Q、G 为顶点组成的四边形是平行四边形，∴B 与QG 互相平分， ∵以、B、Q、G 为顶点组成的平行四边形面积为16， 或 ， ∴ 或 解得 或 ∴ 或 综上所述， 或 或 或 或 或 例4．(菱形)如图，直线y＝x＋b 与反比例函数y＝ (x＜0)的图象相交于点、点B，与x 轴 交于点，其中点的坐标为(-2，6)，点B 的横坐标为-6， (1)试确定反比例函数的关系式； (2)求点的坐标； (3)点M 是x 轴上的一个动点． ①若点M 在线段上，且△MB 的面积为8，求点M 的坐标； ②点是平面直角坐标系中的一点，当以、B、M、四点为顶点的四边形是菱形时，请直接 写出点的坐标， 【答】(1)反比例函数的关系式为：y=- ；(2)(-8，0)； (3)①M(-4，0)；②点的坐标为：(2 ，4)或( ，4)或(-8，8)． 【解析】(1) 解：∵点的坐标为(-2，6)，∴k=-2×6=-12，∴反比例函数的关系式为：y=- ； (2) 解：当x=-6 时，y=- =2，∴B(-6，2)， 把点(-2，6)和B(-6，2)代入y=x+b 得： ， 解得： ，∴y=x+8， 当y=0 时，x+8=0，x=-8，∴(-8，0)； (3) 解：①设M(x，0)， ∵D(0，8)，∴D=8， ∵ =8，∴ =8， ∴ ×8×6- •(x+8)×2- ×6(-x) =8，x=-4，∴M(-4，0)； ②如图2，过作E y 轴，过B 作BE x 轴， (-2 ∵ ，6)，B(-6，2)，∴E=BE=4，∴B=4 ， 过B 作BF⊥x 轴于F，如图2，则BF=2， 分两种情况：①以B 为边，当M 在F 的右侧时， ∵FM= =2 ，∴M=2 -6，∴点M(2 -6，0)， 根据“点B 向右平移4 个单位，向上平移4 个单位得到点”的平移规律，可得的坐标为(2 -6+4，0+4)， (2 ∴ ，4)； 当M 在F 的左侧时， 同理求得FM=2 ，∴M=-2 -6，∴点M(-2 -6，0)，同理由平移的性质得( ， 4)； ②以B 为对角线时，如图3，此时因为、B 对称，所以M 与重合， ∵B 的解析式为：y=x+8，∴D==8，(-8，0)，D(0，8)， ∴△D 是等腰直角三角形， ∵四边形BM 是菱形，∴B⊥M，∴点G 是D 的中点，也是M 的中点， ∴点G(-4，4)，∴点(-8，8)； 综上所述，点的坐标为：(2 ，4)或( ，4)或(-8，8)． 【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△B 的两直角边、B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，(8，0)，B(0，6)，点从原点出发，沿边向点运动，速度为每秒1 个单位长 度，点D 从点出发，沿边B 向点B 运动，速度为每秒2 个单位长度．设两点同时出发，运 动时间为t 秒(0 < t < 5) (1)当t= 时，D B； (2)当△D 的面积为9 时，求t 的值； (3)在(2)的条件下； ①作射线B，若M 是射线B 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以、B、M、P 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ② 过点作直线⊥x 轴，过点B 作直线 ⊥y 轴，直线与直线 交于点P，反比例函数 (k>0，x>0)的图像与直线、 分别交于点E、F，连接EF，在y 轴上是否存在点Q， 使得△PEF 和△QEF 全等，若存在，请直接写出相应的k 的值；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) (3)① ；②存在， 【解析】(1) 解：∵(8，0)，B(0，6)， ∴ ， ∴ ， 依题意， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ； (2) 解：过点 作 轴于点 ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵△D 的面积为9， ∴ ，解得 或 ， 0 < ∵ t < 5，∴ ， (3) ①如图，当 为矩形的对角线时，过点 作 轴于点 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， 又 ， ， ∴ ， 由(2)可知 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ， , ， ∴ ； 当以 为边时，四边形 为矩形，则 ， 在 中, ∴ , ∴ 又 ∴ ∴ 解得 ， ∵四边形 为矩形，则 ， ∴ ， ∵ ∴ 又 ∴ ∴ 解得 , 则 ， 在 中， ∴ ②如图，∵ , ∴ ， 又 ， 根据题意，只能是 ， ∴ ∵ 在 上， 则 ， ∵ ∴ , ， 如图，过点 作 轴于点 ，则 又 ∴ ∴ 又 ， 整理得 ∴ 解得 【变式训练2】如图，已知矩形B 中，＝6，B＝8，双曲线 (k＞0)与矩形两边B，B 分 别交于点D，E，且BD＝2D． (1)求k 的值和点E 的坐标； (2)点P 是线段上的一个动点，是否存在点P，使∠PE＝90°？若存在，求出此时点P 的坐标， 若不存在，请说明理由． 【答】(1)k=16；E(8，2)； (2)存在要求的点P，点P 的坐标为(2，0)或(6，0)． 【解析】(1) 解：∵B=8，BD=2D， ∴B=D+BD=D+2D=3D=8， ∴D= ， 又∵=6， ∴D( ，6)， ∵点D 在双曲线y= 上， ∴k= ×6=16； ∵四边形B 为矩形， ∴B==8， ∴点E 的横坐标为8． 把x=8 代入y= 中，得y=2， ∴E(8，2)； (2) 解：假设存在要求的点P 坐标为(m，0)，P=m，P=8-m． ∵∠PE=90°， ∴∠P+∠EP=90°， 又∵∠P+∠P=90°， ∴∠EP=∠P， 又∵∠P=∠PE=90°， ∴△P∽△PE， ∴ ， ∴ ， 解得：m=2 或m=6， 经检验，m=2 或m=6 都是原方程的解，且符合题意， ∴存在要求的点P，点P 的坐标为(2，0)或(6，0)． 【变式训练3】如图，抛物线L： (常数 )与x 轴从左到右的交点 为B，，过线段 的中点M 作 轴，交双曲线 ( ， )于点P，且 ． (1)求k 的值． (2)当t=1 时，求 的长，并求直线 与L 的对称轴之间的距离． (3)把L 在直线 左侧部分的图像(含与直线 的交点)记为G，用t 表示图像G 最高点的 坐标． (4)设L 与y 轴的交点为，当 时，在x 轴上是否存在一点Q，使 与 相似， 若存在，求出Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2)直线 与L 对称轴之间的距离为 (3) ( )， ( ) (4)Q 的坐标为 或 或 或 【解析】(1) 解：设 ，则 ， ∵M 为 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； (2) 解：当 ， 时， ，解得 或 ∴ 、 ， ∴ ； ∴抛物线L 的对称轴为直线 ， ∵ ， ∴ 为直线 ， ∴直线 与L 对称轴之间的距离为 ； (3) 解：二次函数的对称轴为： 点M 的坐标为：( ，0) ①当 ，即 时：MP 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∴G 的坐标为： ②当 ，即 时：MP 在对称轴的右侧，G 点为抛物线的顶点， ∴G： ； (4) 解：存在，设Q：(m，0)， 当 ， ， ∴ 时， ，解得 ， ∴ 、 ， ∴ 、 ∴ ， ， ， ① 时： ：即 ， 时： ， (舍)； 时： ， ； 时： ， ； ② 时： 时：即 ， 时： ，解得： (舍)； 时： ，无解； 时： ，解得： ； 综上：当Q 的坐标为 或 或 或 【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在反比例函数 和 的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 是线段 的中点， ， ． (1)求反比例函数 的表达式； (2)连接 ， ， ，求 的面积； (3) 是线段 上的一个动点， 是线段 上的一个动点，试探究是否存在点 ，使得 是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2)5 (3)存在， 或 或 【解析】(1) 解：由题意可知 ， ∵点 在反比例函数 的图象上， ∴ ， ∵ 是线段 的中点，∴ ， ∵ ， ∴点 的坐标为 ， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为 ； (2) 解：∵ ， ， ， ∴ ； (3) 解：存在 分三种情况，∵ ， ∴直线 的表达式为 ． ①如图1，当 ， 时， 设点 ，则 ∵ ∴ 平分 ． ∴ ，解得 ∴ ∴ ； ②如图2，当 ， 时，设点 ． ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ； ③如图3，当 ， 时，点 与点 重合， ∴ ，∴ ，∴ ， 综上所述，存在点 使得 是等腰直角三角形，其坐标为 或 或 ．