30 等边三角形的存在性

等边三角形的存在性 方法点拨 一、两定一动 、确定点的位置 B、求解过程 二、两动一定 三、方法总结 例题演练 题组 1 ：两定一动 1．如图，已知抛物线1与x 轴交于（4，0），B（﹣1，0）两点，与y 轴交于点（0，2）． 将抛物线1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线2，2与x 轴交于D，E 两点（点D 在 点E 的左侧），与抛物线1在第一象限交于点M． （1）求抛物线1的解析式，并求出其对称轴； （2）①当m＝1 时，直接写出抛物线2的解析式； ②直接写出用含m 的代数式表示点M 的坐标． （3）连接DM，M．在抛物线1平移的过程中，是否存在△DM 是等边三角形的情况？若 存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线1的解析式为y＝x2+bx+（≠0）， 则 ， 解得 ， 抛物线1的解析式为 ，对称轴是直线 ； （2）①∵抛物线1的解析式为 ， 即y＝﹣ + ， ∴当m＝1 时，由抛物线的平移规律可得抛物线2解析式为： y＝﹣ + ＝ ； 即抛物线2解析式为y＝ ； ②由抛物线的平移规律可得：抛物线1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线2的解析 式为： y＝﹣ + ，其对称轴为：x＝ ， ∴交点M 的横坐标为： + ＝ ， 将其代入抛物线1的解析式可得：y＝ ， ∴点M 的坐标为 ； （3）存在m 值使△DM 是等边三角形，理由如下： 过点M 作M⊥D 于点， ∵ ， ∴ ， ， 若△DM 是等边三角形，则∠DM＝30°， ∴ ，即 ， 解得m＝4 ﹣5 或m＝5（不合题意，舍去）， ∴当 时，△DM 是等边三角形． 2．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F （0，1）作x 轴的平行线交二次函数的图象于M、两点． （1）求二次函数的表达式； （2）P 为平面内一点，当△PM 是等边三角形时，求点P 的坐标； （3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E 为圆心的圆过点F 和点，且与 直线y＝﹣1 相切．若存在，求出点E 的坐标，并求⊙E 的半径；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点， 故设二次函数表达式为：y＝x2，将（2，1）代入上式并解得：＝ ， 故二次函数表达式为：y＝ x2； （2）将y＝1 代入y＝ x2并解得：x＝±2，故点M、的坐标分别为（﹣2，1）、（2， 1）， 则M＝4， ∵△PM 是等边三角形， ∴点P 在y 轴上且PM＝4， ∴PF＝2 ； ∵点F（0，1）， ∴点P 的坐标为（0，1+2 ）或（0，1﹣2 ）； （3）假设二次函数的图象上存在一点E 满足条件， 设点Q 是F 的中点，则点Q（1，1）， 故点E 在F 的中垂线上． ∴点E 是F 的中垂线与y＝ x2图象的交点， ∴y＝ ×12＝ ，则点E（1， ）， E＝ ＝ ， 同理EF＝ ＝ ， 点E 到直线y＝﹣1 的距离为| ﹣（﹣1）|＝ ， 故存在点E，使得以点E 为圆心半径为 的圆过点F，且与直线y＝﹣1 相切． 3．如图，抛物线1：y＝x2+bx+经过原点，与x 轴的另一个交点为（2，0），将抛物线1向 右平移m（m＞0）个单位得到抛物线2，2交x 轴于，B 两点（点在点B 的左边），交y 轴于点． （1）求抛物线1的解析式及顶点坐标； （2）以为斜边向上作等腰直角三角形D，当点D 落在抛物线2的对称轴上时，求抛物线 2的解析式； （3）若抛物线2的对称轴存在点P，使△P 为等边三角形，求m 的值． 【解答】解：（1）∵抛物线1经过原点，与X 轴的另一个交点为（2，0）， ∴ ，解得 ， ∴抛物线1的解析式为y＝x2﹣2x， ∴抛物线1的顶点坐标（1，﹣1）， （2）如图1， ∵抛物线1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线2， ∴2的解析式为y＝（x﹣m﹣1）2﹣1， ∴（m，0），B（m+2，0），（0，m2+2m）， 过点作⊥对称轴DE，垂足为， ∵△D 为等腰直角三角形， ∴D＝D，∠D＝90°， ∴∠D+∠DE＝90° ∴∠D＝∠DE， ∵∠DE＝90°， ∴△D≌△DE， ∴E＝D＝1，＝DE＝m+1， ∴E＝D+DE＝1+m+1＝m+2， 由＝E 得m2+2m＝m+2，解得m1＝1，m2＝﹣2（舍去）， ∴抛物线2的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1． （3）如图2，连接B，BP， 由抛物线对称性可知P＝BP， ∵△P 为等边三角形， ∴P＝BP＝P，∠P＝60°， ∴，，B 三点在以点P 为圆心，P 为半径的圆上， ∴∠B＝ ∠P＝30°， ∴B＝2， ∴由勾股定理得B＝ ＝ ， ∴ （m2+2m）＝m+2， 解得m1＝ ，m2＝﹣2（舍去）， ∴m＝ ． 4．如图，抛物线y＝x2+ x+经过点（﹣1，0）和点（0，3）与x 轴的另一交点为点B，点 M 是直线B 上一动点，过点M 作MP∥y 轴，交抛物线于点P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△Q 是等边三角形？若存在，求出点Q 的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）以M 为圆心，MP 为半径作⊙M，当⊙M 与坐标轴相切时，求出⊙M 的半径． 【解答】解：（1）把点（﹣1，0）和点 （0，3）代入y＝x2+ x+得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+ x+3； （2）不存在，理由如下： ①当点Q 在y 轴右边时，如图1 所示： 假设△Q 为等边三角形， 过点Q 作Q⊥于， ∵点 （0，3）， ∴＝3， 则＝ ＝ ，t60°＝ ， ∴Q＝•t60°＝ × ＝ ， ∴Q（ ， ）， 把x＝ 代入y＝﹣ x2+ x+3， 得：y＝ ﹣ ≠ ， ∴假设不成立， ∴当点Q 在y 轴右边时，不存在△Q 为等边三角形； ②当点Q 在y 轴的左边时，如图2 所示： 假设△Q 为等边三角形， 过点Q 作QT⊥于T， ∵点 （0，3）， ∴＝3， 则T＝ ＝ ，t60°＝ ， ∴QT＝T•t60°＝ × ＝ ， ∴Q（﹣ ， ）， 把x＝﹣ 代入y＝﹣ x2+ x+3， 得：y＝﹣ ﹣ ≠ ， ∴假设不成立， ∴当点Q 在y 轴左边时，不存在△Q 为等边三角形； 综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得△Q 是等边三角形； （3）令﹣ x2+ x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴B（4，0）， 设B 直线的解析式为：y＝kx+b， 把B、的坐标代入则 ， 解得： ， ∴B 直线的解析式为：y＝﹣ x+3， 当M 在线段B 上，⊙M 与x 轴相切时，如图3 所示： 延长PM 交B 于点D， 则点D 为⊙M 与x 轴的切点，即PM＝MD， 设P（x，﹣ x2+ x+3），M（x，﹣ x+3）， 则PD＝﹣ x2+ x+3，MD＝﹣ x+3， ∴（﹣ x2+ x+3）﹣（﹣ x+3）＝﹣ x+3， 解得：x1＝1，x2＝4（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：MD＝﹣ +3＝ ； 当M 在线段B 上，⊙M 与y 轴相切时，如图4 所示： 延长PM 交B 于点D，过点M 作ME⊥y 轴于E， 则点E 为⊙M 与y 轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x， 设P（x，﹣ x2+ x+3），M（x，﹣ x+3）， 则PD＝﹣ x2+ x+3，MD＝﹣ x+3， ∴（﹣ x2+ x+3）﹣（﹣ x+3）＝x， 解得：x1＝ ，x2＝0（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：EM＝ ； 当M 在B 延长线，⊙M 与x 轴相切时，如图5 所示： 点P 与重合， ∴M 的横坐标为﹣1， ∴⊙M 的半径为：M 的纵坐标的值， 即：﹣ ×（﹣1）+3＝ ； 当M 在B 延长线，⊙M 与y 轴相切时，如图6 所示： 延长PM 交x 轴于D，过点M 作ME⊥y 轴于E， 则点E 为⊙M 与y 轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x， 设P（x，﹣ x2+ x+3），M（x，﹣ x+3）， 则PD＝ x2﹣ x﹣3，MD＝ x﹣3， ∴（ x2﹣ x﹣3）﹣（ x﹣3）＝x， 解得：x1＝ ，x2＝0（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：EM＝ ； 综上所述，⊙M 的半径为 或 或 或 ． 题组 2 ：两动一定 5．如图，抛物线y＝x2﹣2x+经过点（﹣2，5），与x 轴相交于B，两点，点B 在点的左边． （1）求抛物线的函数表达式与B，两点坐标； （2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BD 沿直线BD 翻折得到 △B′D，若点′恰好落在抛物线的对称轴上，求点′和点D 的坐标； （3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△PQ 为等 边三角形时，求直线BP 的函数表达式． 【解答】解：（1）由题意得：y＝x2﹣2x+过点（﹣2，5）， ∴＝﹣3， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3， ∵B、是抛物线y＝x2﹣2x﹣3 与x 轴的交点，x2﹣2x﹣3＝0， ∴B（﹣1，0），（3，0）； （2）∵抛物线与x 轴交于B（﹣1，0），（3，0）， ∴B＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1， 如图，设抛物线的对称轴与x 轴交于点，则点的坐标为（1，0）， B＝2， 由翻折得′B＝B＝4， 在Rt△B′中，由勾股定理，得′＝ ＝ ＝2 ， ∴点′的坐标为（1，2 ），t∠′B＝ ＝ ＝ ， ∴∠′B＝60°， 由翻折得∠DB＝ ∠′B＝30°， 在Rt△BD 中，D＝B•t∠DB＝2•t30°＝ ， ∴点D 的坐标为（1， ）； （3）取（2）中的点′、D，连接′， ∵B′＝B，∠′B＝60°， △′B 为等边三角形，分类讨论如下： ①当点P 在x 轴的上方时，点Q 在x 轴上方，连接BQ，′P， ∵△PQ，△′B 为等边三角形， ∴Q＝P，B＝′，∠PQ＝∠′B＝60°， ∴∠BQ＝∠′P， ∴△BQ≌′P（SS）， ∴BQ＝′P， ∵点Q 在抛物线的对称轴上， ∴BQ＝Q， ∴′P＝Q＝P， 又∵B′＝B， ∴BP 垂直平分′， ∴点D 在直线BP 上， 设直线BP 的函数表达式为y＝kx+b， 则 ， 解得 ， ∴直线BP 的函数表达式为y＝ x+ ； ②当点P 在x 轴下方时，点Q 在x 轴下方， ∵△PQ，△′B 为等边三角形， ∴P＝Q，B＝′，∠′B＝∠QP＝∠′B﹣60°， ∴∠BP＝∠′Q， ∴△BP≌△′Q（SS）， ∴∠BP＝∠′Q， ∵B′＝′，′⊥B， ∴∠′Q＝ ∠′B＝30°， ∴∠BP＝30°， 设BP 与x 轴相交于点E， 在Rt△BE 中，E＝B•t∠BP＝B•t30°＝1× ＝ ． ∴点E 的坐标为（0， ）． 设直线BP 的函数表达式为y＝mx+， 则 ， 解得 ， ∴直线BP 的函数表达式为y＝﹣ x﹣ ， 综上所述，直线BP 的函数表达式为y＝ x+ 或y＝﹣ x﹣ ． 6．如图，抛物线的解析式为y＝﹣ x+5，抛物线与x 轴交于、B 两点（点在B 点的左侧），与y 轴交于点，抛物线对称轴与直线B 交于点D． （1）E 点是线段B 上方抛物线上一点，过点E 作直线EF 平行于y 轴，交B 于点F，若 线段D 长度保持不变，沿直线B 移动得到'D'，当线段EF 最大时，求E'+'D'+ D'B 的最 小值； （2）Q 是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点P 是△PQ 为等边三角形， 若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由． 【解答】解：（1）因为y＝﹣ x2+ x+5＝﹣ （x﹣5 ）（x+ ）， ∴（﹣ ，0），B（5 ，0），（0，5），抛物线对称轴为x＝ ＝2 ， 由B、坐标可求得直线B 的解析式为y＝﹣ x+5， 令x＝2 ，则y＝﹣ ×2 +5＝3， ∴D（2 ，3）， ∴D＝'D'＝4． 设E（m，﹣ m2+ m+5），则F（m，﹣ m+5）， ∴EF＝yE﹣yF＝﹣ m2+ m+5+ m﹣5＝﹣ m2+ m＝﹣ （m﹣ ）2+ ， ∴当m＝ 时，EF 取得最大值 ，此时E（ ， ）． 如图1，作平行四边形E'D'E'，则E'＝E'D'，E'（ ， ）． 作D'G⊥B 于G，E'⊥B 于． ∵t∠B＝ ＝ ＝ ，所以∠B＝30°， ∴D'G＝ D'B， ∴E'+'D'+D'B＝'D'+E'D'+D'G≥'D'+E'， 当且仅当E'、D'、G 三点共线时， E'+'D'+ D'B 取得最小值'D'+E'＝4+ ＝ ． （2）①如图2，△PQ 是等边三角形，此时Q 与B 重合， ∴等边三角形的边长为Q＝B＝6 ． ②如图3，△PQ 是等边三角形，此时Q 与B 重合，P 在x 轴下方． ∴等边三角形的边长为Q＝B＝6 ． ③如图4，△PQ 是等边三角形，此时Q 与重合，P 在x 轴上方． ∴等边三角形的边长为Q＝＝2 ． ④如图5，△PQ 是等边三角形，此时Q 在第三象限，P 在x 轴下方． ∵P＝PB＝PQ，所以、Q、B 三点在以P 为圆心P 为半径为圆周上， ∴∠BQ＝ ∠PQ＝30°， ∴直线BQ 的解析式为y＝ x﹣5， 联立方程组 ， 解得 或 （舍）， ∴Q＝（﹣2 ，﹣7）， ∴Q＝2 ，即等边△PQ 的边长为2√ ． 综上所述，满足要求的等边三角形的边长可以是：6 、2 、2 ． 7．综合与探究 如图，抛物线y＝﹣ x2﹣ x+ 与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左侧），与y 轴交于点，直线l 经过B、两点，点M 从点出发以每秒1 个单位长度的速度向终点B 运 动，连接M，将线段M 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MD，连接D、BD．设点M 运 动的时间为t（t＞0），请解答下列问题： （1）求点的坐标与直线l 的表达式； （2）①请直接写出点D 的坐标（用含t 的式子表示），并求点D 落在直线l 上时t 的值； ②求点M 运动的过程中线段D 长度的最小值． 【解答】解：（1）当y＝0 时， ， 解得x1＝1，x2＝﹣3， ∵点在点B 的左侧， ∴（﹣3，0），B（1，0）， 当x＝0 时，y＝ ，即（0， ）， 设直线l 的表达式为y＝kx+b， 将B，两点坐标代入得， ， 解得， ， 则直线l 的表达式为y＝﹣ x+ ； （2）①如图1，当点M 在上运动时，过点D 作D⊥x 轴于， 由题意可知，M＝t，M＝3﹣t，M⊥MD， 则∠DM+∠M＝90°，∠M+∠M＝90°， ∴∠M＝∠DM， 在△M 与△DM 中， ， ∴△M≌△DM（S）， ∴M＝＝ ，D＝M＝3﹣t， ∴D（t﹣3+ ，t﹣3）； 同理，如图2，当点M 在B 上运动时， 点D 的坐标为：D（﹣3+t+ ，t﹣3） 将D 点坐标代入直线B 的解析式y＝﹣ x+ 得，t﹣3＝﹣ ×（﹣3+t+ ）+ ， t＝6﹣2 ，即点D 落在直线l 上时，t＝6﹣2 ； ②∵△D 是等腰直角三角形， ∴M＝MD， ∴线段M 最小时，线段D 长度的最小， ∵M 在B 上运动， ∴当M⊥B 时，M 最短，D 最短，即M＝＝ ， 根据勾股定理得，D 的最小值为 ． 题组 3 ：三动点 8．如图1，抛物线1：y＝x2﹣2x+（＜0）与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点．已知点的坐 标为（﹣1，0），点为坐标原点，＝3，抛物线1的顶点为G． （1）求出抛物线1的解析式，并写出点G 的坐标； （2）如图2，将抛物线1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线2，设2与x 轴的交点 为′、B′，顶点为G′，当△′B′G′是等边三角形时，求k 的值： （3）在（2）的条件下，如图3，设点M 为x 轴正半轴上一动点，过点M 作x 轴的垂线 分别交抛物线1、2于P、Q 两点，试探究在直线y＝﹣1 上是否存在点，使得以P、Q、 为顶点的三角形与△Q 全等，若存在，直接写出点M，的坐标：若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵点的坐标为（﹣1，0）， ∴＝1， ∴＝3， ∴点的坐标为（0，3）， 将、坐标代入y＝x2﹣2x+，得： ， 解得： ， ∴抛物线1的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 所以点G 的坐标为（1，4）． （2）设抛物线2的解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣k，即y＝﹣（x﹣1）2+4﹣k， 过点G′作G′D⊥x 轴于点D，设BD′＝m， ∵△′B′G′为等边三角形， ∴G′D＝ B′D＝ m， 则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1， m）， 将点B′、G′的坐标代入y＝﹣（x﹣1）2+4﹣k，得： ， 解得： （舍）， ， ∴k＝1； （3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2）， ∴PQ＝＝1， ∵∠Q、∠PQ 均为钝角， ∴△Q≌△PQ， 如图2，延长PQ 交直线y＝﹣1 于点， 则∠Q＝∠MQ＝90°， 又∵△Q≌△PQ， ∴Q＝Q，∠Q＝∠PQ， ∴∠MQ＝∠Q， ∴△QM≌△Q（S）， ∴M＝Q，即x＝﹣x2+2x+2， 解得：x＝ （负值舍去）， 当x＝ 时，＝QM＝﹣x2+2x+2＝ ，点M（ ，0）， ∴点坐标为（ + ，﹣1），即（ ，﹣1）； 或（ ﹣ ，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3， 同理可得△QM≌△P， ∴M＝P，即x＝﹣（﹣x2+2x+3）﹣1， 解得：x＝﹣1（舍）或x＝4， 当x＝4 时，点M 的坐标为（4，0），＝QM＝﹣（﹣x2+2x+2）＝6， ∴点的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）； 综上点M1（ ，0）、1（ ，﹣1）；M2（ ，0）、2（1，﹣1）； M3（4，0）、3（10，﹣1）；M4（4，0）、4（﹣2，﹣1）．