第05讲 方程组及不等式（含详解答案）-全国重点高中自主招生大揭秘

方程组及不等式 一、单选题 1．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）已知关于， 的方程组 ，其中 ，给出下列结论：① 是方程组的解；②若 ，则 ；③若 ．则 的最小值为 ；④若 时，则 ； 其中正确的有（ ） ．①② B．①③ ．①②③ D．①③④ 2．（2018·全国·七年级竞赛）和B 同学每人都有若干本课外读物．对B 说：“你若给我2 本书，我的书数 将是你的倍”；B 对说：“你若给我本书，我的书数将是你的2 倍”，其中为正整数，则的可能值的个数 是（ ） ．2 B．4 ．5 D．6 3．（2021·全国·九年级竞赛）若 ， ， ， ， 为互不相等的正奇数，满足 ，则 的末位数字是（ ） ．1 B．3 ．5 D．7 4．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）若关于x 的方程 的解为正数，且 使得关于y 的不等式组 恰有两个整数解，则所有满足条件的整数的值的和是（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 5．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知二次函数 的图象交x 轴于(x1，0)，B(x2，0)两点，交 y 轴于点(0，3)，若 ，且△B 的面积为3，则+b（ ） ．3 B．-5 ．-3 D．5 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升育 址：sp492842749tbm 6．（2021·全国·九年级竞赛）对于数，符号[ ]表示不大于的最大整数．例如，[314]=3，[-759]=-8，则 关于的方程 的整数根有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 7．（2021·全国·九年级竞赛）已知，b，，d 都是正实数，且 ，给出下列4 个不等式：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ） ．①③ B．①④ ．②④ D．②③ 二、填空题 8．（2021·全国·九年级竞赛）10 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并 把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出 来，若报出来的数如图所示，则报3 的人心里想的数是______． 9．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）若 ，且 ， ，设 ，则t 的取值范围为______． 10．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）已知实数，，满足 ， 且 有最大值，则 的值是__________． 11．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）已知两组数据3， ，5，与，4， 的平均数都是6，若 将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是________． 12．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）若关于x，y 的二元一次方程组 的 解为 ，则方程组 的解为____________． 13．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面 直角坐标系中，有两点 、 ，所连线段 的中点是M，则M 的坐标为 ， 如：点 、点 ，则线段B 的中点M 的坐标为 ，即 ．利用以上结论解决问题： 平面直角坐标系中，若 ， ，线段 的中点G 恰好位于y 轴上，且到x 轴的距离是， 则 的值等于___________． 14．（2022·福建·九年级统考竞赛）如果对任意的个不大于1 的非负实数 总有 成立，则正整数的最大值为______． 15．（2021·全国·九年级竞赛）若关于的不等式组 无解，则的取值范围是__________． 16．（2020 秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）若关于x 的方程 的解为整数，那么满 足条件的所有整数的和为______． 17．（2021·全国·九年级竞赛）实数， ，满足 ， ，则的最大值是______． 18．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）规定：用 表示大于 的最小整数，例如 ， ， 等；用 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， ，如果整数满足关系 式： ，则 __________ 19．（2021·全国·九年级竞赛）某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3 件，其余每人获奖品7 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升育 址：sp492842749tbm 件；初二获奖学生中，有一人获奖品4 件，其余每人获奖品9 件．如果两个年级获奖人数不等，但奖品数 目相等，且每个年级奖品数大于50 而不超过100，那么两个年级获奖学生共有_____人 三、解答题 20．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）解方程组： ． 21．（2021·全国·九年级竞赛）试求出所有正整数使得关于x 的二次方程 至少 有一个整数根． 22．（2021·全国·九年级竞赛）设m 是不小于－1 的实数，关于x 的方程 有两 个不相等的实数根 、 ， （1）若 ，求m 的值； （2）求 的最大值． 23．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）已知 （其中 是各项的系数， 是常数项），我们规定 的伴随多项式是 ，且 如 ，则它的伴随多项式 请根据上面的材料，完成下列问题： （1）已知 ，则它的伴随多项式 ____________ （2）已知 ，则它的伴随多项式 __________；若 ，求的值 （3）已知二次多项式 ，并且它的伴随多项式是 ，若关于的方程 有正整数解，求的整数值 24．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）解方程，（1） （2） 25．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形 容器（容器足够高），底面积之比为 ，用两个相同的管子在 高度处连通（即管子底部离容器底 ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高 ，如图所示 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水， 开始注水1 分钟，乙的水位上升 （1）开始注水1 分钟，丙的水位上升__________ ； （2）求出开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的高度之差是 ？ 26．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两辆公共汽车分别自、B 两地同时出发，相向而行．甲车行驶85 千 米后与乙车相遇，然后继续前进．两车到达对方的出发点等候30 分钟立即依原路返回．当甲车行驶65 千 米后又与乙车相遇，求、B 两地的距离． 27．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）已知关于x 的方程 只有一个实数根，求 实数的值． 28．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）某电器经营老板计划购进同种型号的空调和电风 扇，若购进8 台空调和20 台电风扇，需要资金17400 元，若购进10 台空调和30 台电风扇，需要资金 22500 元． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升育 址：sp492842749tbm (1)求空调和电风扇的采购价各是多少元？ (2)该老板计划购进这两种电器共70 台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000 元，根据市场行情， 销售一台这样的空调可获利200 元，销售一台这样的电风扇可获利30 元，该老板希望当这两种电器销售完 时，所获的利润不少于3500 元，试问老板有哪几种进货方？ (3)在所有的进货方中，哪种方获利最大？最大利润是多少？ 29．（2021·全国·九年级竞赛）如果 为定值，关于的方程 无论k 为何值时，它的根 总是1，求 的值． 30．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）如果关于的方程 的解比方程 的解大1，求式子 的值 参考答： 1．B 【分析】解方程组得 ，①当 时，解得t=0，符合 ；②当 时，得t=1，不符合题意；③当 时，得 ，可判断；④当 时， 得 ，可判断． 【详解】解：解方程组得 ， ①当 时，则 ，解得t=0，符合题意，故正确； ②当 时，(2t+1)-(t-1)=3，解得t=1，不符合题意，故错误； ③当 时，M=2t+3，∵ ，∴ ，符合题意，故正确； ④当 时， ，即 ，∴ ，不符合题意，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得 到方程组的解是解题的关键． 2．B 【分析】首先设同学有x 本课外读物，B 同学有y 本课外读物，x，y 均为非负整数，根据题 意可得方程组： ，消去x，可整理得： ，由为正整数分析， 即可求得结果． 【详解】解：设同学有x 本课外读物，B 同学有y 本课外读物，x，y 均为非负整数， 由题意可得方程组： ， 将 代入②中得，消去x 得： 即： ∵ 为正整数 ∴ 的值分别为1，3，5，15， ∴y 的值只能为4，5，6，11， ∴当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 综上可得：的值分别为8，3，2，1； 即的可能值有4 个． 故答选：B． 【点睛】本题考查了二元一次不定方程的运用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题 意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用． 3． 【分析】因为 ， ， ， ， 为互不相等的正奇数，所以 ， ， ， ， 为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为 ，所以这5 个偶数只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以 ， ， ， ， 分别等于2007，2003，2001，1999，2011，所以 的末 位数字是1 【详解】解：∵ ， ， ， ， 为互不相等的正奇数 ∴ ， ， ， ， 为互不相等的偶数，且 负数个数为偶数个 而将 分解为5 个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式： ∴ ， ， ， ， 分别等于2、 、4、 6、 ∴ ， ， ， ， 分别等于2007，2003，2001，1999，2011 又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1 ∴ 的末位数字是1． 故选． 【点睛】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解 是解题关键． 4．B 【分析】解方程 得 ，根据解为正数，得 ，根据关于y 的不 等式组 恰有两个整数解，得 ，进而根据为整数，即可求解． 【详解】解： 解得 关于x 的方程 的解为正数， 解得 解不等式①得： 解不等式②得： 关于y 的不等式组 有解， ∴不等式组的解集为： 关于y 的不等式组 恰有两个整数解， ， 解得 ， ， ， 为整数，则 ，其和为． 故选B 【点睛】本题考查了解一元一次方程，求一元一次不等式组的解集，求不等式组的整数解， 正确的计算是解题的关键． 5． 【分析】方法一：由根与系数的关系可得 ， ，再利用 列方程求解 ，再检验即可得到 答；方法二：不妨设 ，由三角形的面积先求解 ，结合 ， 再求解 再利用待定系数法求解 从而可得答 【详解】解：方法一：依题意 为方程 的两根，且 ． 所以 ， ． 所以 ， 所以 面积 ． 解得 ，经检验符合题意， ． 因为函数 的图象与轴有两个不同交点，因此 ， ， 符合要求． 所以 ． 方法二：不妨设 ，则 ，由 的面积为3，且 ，得 ． 所以 ，又 ， 解得： ， ． 因此 ． 将 代入，得 ，所以 ． 所以 ， 因此 ． 故选 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数与 x 轴的交点坐标的含义是解本题的关键 6．B 【分析】由 可得4≤ ＜5，解不等式组求出x 的整数解即可得答． 【详解】∵符号[x]表示不大于x 的最大整数， ， ∴4≤ ＜5， 去分母得：28≤3x+7＜35 解得：7≤x＜ ， ∴不等式组的整数解有7、8、9，共3 个， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，理解符号[x]的定义，正确列出不等式组是解 题关键． 7．D 【分析】由 ，、b、、d 都是正实数，根据不等式的性质不等式都乘以bd 得到d＜ b，然后两边都加上得到＋d＜＋b，即（＋d）＜（＋b），然后两边都除以（＋d）（＋b） 得到 ，可得①错误，②正确；同理可得 ，则③正确，④错误． 【详解】解：∵ ，、b、、d 都是正实数， ∴d＜b， ∴＋d＜＋b，即（＋d）＜（＋b）， ∴ ，即①错误，②正确； ∵d＜b， ∴bd＋d＜bd＋b，即d（＋b）＜b（＋d）， ∴ ，所以③正确，④错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不 改变；等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式两边都乘以或除 以同一个负数，不等号的方向改变． 8．-2 【分析】先设报3 的人心里想的数为，利用平均数的定义表示报5 的人心里想的数；报7 的人心里想的数；报9 的人心里想的数；报1 的人心里想的数，最后建立方程，解方程即 可． 【详解】解：设报3 的人心里想的数是 ∵报3 与报5 的两个人报的数的平均数是4， ∴报5 的人心里想的数应是 ， 报7 的人心里想的数是 ， 报9 的人心里想的数是 ， 报1 的人心里想的数是 ， ∵报1 的人与报3 的人心里想的数的平均数是2， ∴ ，解得 故答为： ． 【点睛】本题属于阅读理解和探索规律题，考查了平均数的相关计算及方程思想的运用． 解题关键是设未知数，将题中的等量关系展示出来，即可求出最终结果． 9． 【分析】由条件可得 先求解b 的取值范围，再把 化为 ，再 结合不等式的基本性质可得答． 【详解】解： ， ， ∴ 解得： 而 ， ∵ ， ∴ ∴t 的取值范围是： 故答为： 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解 及 是解本 题的关键． 10．8 【分析】把 变形得 ，故可求出 有最大值时，，b 的值，代 入 故可求解． 【详解】设 = ∴-2b=（m+）+(m-)b ∴ ，解得 ∴ = ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ 有最大值1 此时 ， 解得=1，b=0 ∴ =8 故答为：8． 【点睛】此题主要考查不等式组的应用与求解，解二元一次方程组，解题的关键是根据题 意把把 变形得 ，从而求解． 11．5 【分析】首先根据平均数的定义列二元一次方程组并求出 的值，即可确定两组数据的 值，再将数据合并，按从小到大的顺序排序，然后根据中位数的定义确定这组新数据的中 位数即可． 【详解】解：根据题意， 可得 ，解得 ， ∴这两组数据为3，12，5，4 与6，4，8， 将这两组数据合并后，按从小到大的顺序排序为3，4，4，5，6，8，12， ∴这组新数据的中位数是5． 故答为：5． 【点睛】本题主要考查了平均数、中位数以及二元一次方程组的应用，解题关键是根据题 意列二元一次方程组求出 的值． 12． 【分析】将第二个方程组变形成和第一个方程组形式一样，根据整体思想可得 ， 从而得出答． 【详解】解：方程组 整理得： ，即 ， ∵二元一次方程组 的解为 ， ∴ ， 解得： ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，对方程组进行整体换元是解题的关键． 13． 【分析】根据中点坐标公式求出点G 的坐标，根据线段EF 的中点G 恰好位于y 轴上，且 到x 轴的距离是，得到点G 的横坐标等于，纵坐标的绝对值为，列出方程组求解即可． 【详解】∵点 、 ，所连线段 的中点是M，则M 的坐标为 且 ， ， ∴ ， ∵线段 的中点G 恰好位于y 轴上，且到x 轴的距离是， ∴ ， 解得： ， ， ∵当 时， ， ， ，三点重合，不符合题意， ∴ ， ， ∴ ． 故答为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形、解二元一次方程组，熟练掌握坐标系中点的坐标是解决 问题的关键 14．7 【分析】取特殊值法进行判断即可． 【详解】当 时，取 ， ， 则 ． 当 时，取 ， ， 时， ， 则 ． 所以 ． 当 时，由 ， 得 ， ， ， ， ， ， 中至少有一个数为非负数．不妨 设 ，则 ． 所以 ． 于是 符合要求． 所以正整数的最大值为7， 故答为：7． 【点睛】本题主要考查不等式的应用，运用特殊值法是解答本题的关键． 15． 【分析】将不等式组解出来，根据不等式组 无解，求出的取值范围． 【详解】解：解 得 ， ∵ 无解， ∴≤1． 故答为：≤1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件 的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值． 16．36 【分析】先解方程求出用含的式子表示的方程的解，然后再根据方程解为整数确定出符合 条件的的值，再求和即可． 【详解】 ， 移项得： ， 合并同类项， ， 系数化为1，得 ， ∵方程的解为整数， 或 ， 解得 或26 或 或10， ． 故答为：36． 【点睛】本题考查一元一次方程的拓展题型,关键在于对整数这个条件的分析． 17． 【分析】把x，y 看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方 程，然后由判别式得到z 的取值范围，求出z 的最大值． 【详解】解：∵x＋y＝5−z，xy＝3−z(x＋y)＝3−z(5−z)＝z2−5z＋3， ∴x、y 是关于t 的一元二次方程t2−(5−z)t＋z2−5z＋3＝0 的两实根． △ ∵＝(5−z)2−4(z2−5z＋3)≥0，即3z2−10z−13≤0， (3z−13)(z＋1)≤0． ∴−1≤z≤ ， 当 x＝y＝ 时，z＝ ． 故z 的最大值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系列出一元二次 方程，然后由判别式求出z 的取值范围，确定z 的最大值． 18．6 【分析】根据题意当是整数时，{x}=x+1，[x]=x，于是可将 化为：2 （x+1）+3x=32，解方程即可 【详解】解：依题意，是整数， ∴{x}=x+1，[x]=x， ∵ ， ∴2（x+1）+3x=32， 解得：x=6 故答为：6 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键 19．25 【分析】分别设两个年级的人数为未知数，可得到每个年级奖品的总数目，让其相等可得 两个未知数的关系．关系式为：50＜每个年级的奖品数≤100，把相关数值代入求得适合的 整数解，相加即可． 【详解】设初一获奖人数为+1 人，初二获奖人数为m+1 人（≠m）．依题意有 3+7=4+9m，即7=9m+1① 由于50＜3+7≤100，50＜4+9m≤100．得 ＜≤ ， ＜m≤ ， ∴=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10． 但满足①式的解为唯一解：=13，m=10． ∴+1=14，m+1=11． ∴获奖人数共有14+11=25（人）． 故答为25． 【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用；得到各年级人的总数的关系式是解决本题的 关键；根据奖品总数之间的关系式得到各年级人数的准确值是解决本题的难点