专题8.5 二元一次方程组章末题型过关卷（解析版）

第8 章 二元一次方程组章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022 秋·山东日照·七年级统考期末）若等式2 x ¿m∨¿+(m−1) y=3¿，是关于x，y 的二元一次方程，则m的值是（ ） ．±1 B．1 ．−1 D．±2 【答】 【分析】根据二元一次方程的定义，得|m|=1，m-1≠0，计算判断即可． 【详解】∵等式2 x ¿m∨¿+(m−1) y=3¿，是关于x，y的二元一次方程， | ∴m|=1，m-1≠0， 解得m=-1， 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程即含有两个未知数且含未知数的项的次数为1 的整式方 程，熟练掌握定义是解题的关键． 2．（3 分）（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x，y 的二元一次方程组¿的解为¿，那 么代数式a−2b的值为( ） ．-2 B．2 ．3 D．- 3 【答】B 【分析】把方程组的解代入二元一次方程组得到关于、b 的方程组，两式相减得结论． 【详解】解：把¿代入¿得¿， ②-①，得a-2b=2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的意义是解决本题的关 键． 3．（3 分）（2022 秋·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）若¿ ¿是方程 mx+ny=6的两个解，则m−n的值为（ ） ．0 B．-2 ．-12 D．12 【答】 【分析】根据方程的解的定义，得m-2=6，-2m+=6，故m=-6，=-6，进而求得m-． 【详解】解：∵¿，¿是方程mx+y=6 的两个解， ∴m-2=6，-2m+=6． ∴m=-6，=-6． ∴m-=-6-（-6）=0． 1 故选：． 【点睛】本题主要考查方程的解的定义以及解二元一次方程组，熟练掌握方程的解的定义 以及解二元一次方程组是解决本题的关键． 4．（3 分）（2022 秋·广东东莞·七年级校考期中）小亮求得方程组¿的解为¿，由于不小心， 滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的 数分别为（ ） ．5，2 B．−8，2 ．8，−2 D．5，4 【答】 【分析】根据方程的解的定义，把x=5代入2 x−y=12，求得y的值，进而求出●的值， 即可得到答． 【详解】解：把x=5代入2 x−y=12，可得 10−y=12， 解得 y =−2， 把x=5，y =−2代入可得 2 x+ y=10−2=8， 则“●”“★”表示的数分别为8，−2． 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程 是解题的关键． 5．（3 分）（2022 秋·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x , y的二元一次方程组¿和¿有 相同的解，则a−b的值是（ ） ．13 B．9 ．−9 D．−13 【答】 【分析】先解方程组¿求出该方程组的解，然后把这个解分别代入ax+ y=7与3 x+by=−2 即可求出、b 的值，进一步即可求出答． 【详解】解方程组¿， 得¿， 把¿代入ax+ y=7， 得3a+1=7， 解得：=2， 把¿代入3 x+by=−2， 得9+b=−2， 解得：b= 11 ﹣ ， ∴－b=2－（﹣11）=13． 故选：． 1 【点睛】本题考查了同解方程组的知识，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方 法是解题关键． 6．（3 分）（2022 春·八年级课时练习）已知关于x、y 的二元一次方程 (m−2) x+(m−3) y+2m−3=0，当m 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个 公共解，这个公共解是（ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 【答】D 【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根据“当m 每取一个值时就有一 个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m 无关，得到关于x 和y 的二元 一次方程组，解之即可． 【详解】解：原方程可整理得： m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0， 根据题意得：¿ 解得¿． 故选D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方 程组是解题的关键． 7．（3 分）（2022 秋·重庆长寿·七年级统考期末）若实数x , y , z满足¿，则x+ y+6 z=¿ （ ） ．−3 B．0 ．3 D．不能确定值 【答】 【分析】方程①乘以3 得到方程③，方程②乘以2 得到方程④，③-④即可得答． 【详解】¿ ①×3 得：3 x−3 y+12 z=3③， ②×2 得：2 x−4 y+6 z=6④， ③-④得：x+ y+6 z=-3， 故选：． 【点睛】本题考查三元一次方程组，把两个方程正确变形是解题关键． 8．（3 分）（2022 秋·安徽芜湖·七年级统考期末）二元一次方程2x+3y＝18 的正整数解有 （ ） ．2 组 B．3 组 ．4 组 D．无数组 【答】 【分析】由方程变形得x＝9−3 2 y，根据x、y 都是正整数，且y 是2 的倍数确定y 的值，由 1 此得到x 的值，即得方程的正整数解的组数． 【详解】由2x+3y＝18，得x＝9−3 2 y． ∵x，y 都是正整数， ∴y＝2，4； 相应的x＝9，3； 故选：． 【点睛】此题主要考查了求二元一次方程的正整数解，解决问题的关键是熟练掌握把二元 一次方程变形为用一个未知数的代数式表示为另一个未知数，根据方程的解的要求赋值计 算． 9．（3 分）（2022 春·全国·八年级专题练习）某班学生分组搞活动，若每组7 人，则余下 4 人；若每组8 人，则有一组少3 人．设全班有学生x 人，分成y 个小组，则可得方程组（ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 【答】B 【分析】此题中的关键性的信息是：①若每组7人，则余下4人；②若每组8人，则有一组 少3人．据此即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：根据若每组7人，则余下4人，得方程7 y=x−4； 根据若每组8人，则有一组少3人，得方程8 y=x+3． 可列方程组为¿． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一 次方程组是解题的关键． 10．（3 分）（2022 秋·浙江舟山·七年级统考期末）若方程组¿的解是¿，则方程组¿的解是 （ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 【答】 【分析】将¿变形为¿，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可． 【详解】解：将¿变形为¿, 设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：¿， 因为方程组¿的解是¿， 所以¿，解得：¿， 所以方程组¿的解是¿， 故选：． 1 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组 的关系是解题的关键． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．（3 分）（2022 秋·广东湛江·七年级统考期末）把方程3 x−y=1写成用含x 的式子表 示y 的形式______． 【答】y=3 x−1##y=−1+3 x 【分析】对二元一次方程通过移项变形可得y＝3x 1 ﹣． 【详解】解：∵2x﹣y＝5， ∴﹣y＝1 3 ﹣x， ∴y＝3x 1 ﹣， 故答为：y＝3x 1 ﹣． 【点睛】本题考查了二元一次方程，正确的利用等式的性质进行变形是解题的关键． 12．（3 分）（2022 秋·湖北鄂州·七年级统考期末）已知关于x，y 的方程组¿，其中x，y 的值互为相反数，则的值为______． 【答】1 【分析】先根据二元一次方程组的解法求出x 和y，再根据x，y 的值互为相反数列出关于 的方程求解． 【详解】解：在¿中， 由②-①得−4 y=−3a−4+a， 解得y=1+ a 2， 把y=1+ a 2代入②得x=1−5 2 a． ∵x，y 的值互为相反数， ∴1+ a 2 +1−5 2 a=0， 解得a=1． 故答为：1． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解，求出方程组的解，利用x 与y 互为相反数列 出关于的方程是解答关键． 13．（3 分）（2022 秋·山东临沂·七年级校考期末）对x，y定义一种新运算“⋇”，规定： x⋇y=mx+ny（其中 m，n 均为非零常数），若 1⋇1=4，1⋇2=3．则 2⋇1 的值是_ ___． 【答】9 1 【分析】由已知条件，根据所给定义可得到关于m、的方程组，则可求得m、的值，再代 入计算即可． 【详解】解：∵1⋇1=4，1⋇2=3， ∴¿ 解得：¿ 则 x⋇y=5 x−y， ∴2⋇1=2×5−1=9， 故答为：9． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解 本题的关键． 14．（3 分）（2022 秋·河北张家口·七年级统考期末）在解方程组¿时，由于粗心，甲看错 了方程组中的，而得到解¿，乙看错了方程组中的b，而得到解为¿，则a+b的值为_______ ______． 【答】9 【分析】将¿ 代入方程4 x=by−2求b，将¿代入方程ax+5 y=15求a，从而求出代数式的 值． 【详解】解：解：将¿代入方程4 x=by−2，得：8=b−2， ∴b=10， 将¿代入方程ax+5 y=15，得：5a+20=15， ∴a=−1， ∴a+b=−1+10=9． 故答为：9 ． 【点睛】本题考查了方程组的解和解一元一次方程．解题的关键是将所求出的解代准确代 入对应的方程中． 15．（3 分）（2022 春·全国·八年级专题练习）我国的经济总量己居世界第二，人民富裕了， 很多家庭都拥有多种车型．小明家有、B、三种车型，已知3 辆型车的载重量与4 辆B 型车 的载重量之和刚好等于2 辆型车的载重量；4 辆B 型车的载重量与1 辆型车的载重量之和刚 好等于6 辆型车的载重量．现有一批货物，原计划用1 辆型车5 次可全部运完，由于型车 另有运输任务，现在安排1 辆型车单独装运9 次，余下的货物由1 辆B 型车单独装运刚好 可以全部运完，则B 型车需单独装运____次(每辆车每次都满载重量)． 【答】8． 【分析】设每辆型车满载重量为，设每辆B 型车满载重量为b，设每辆型车满载重量为， 原计划用型车5 次可全部运完，由于型车另有运输任务，现在安排型车单独装运9 次，余 1 下的货物由B 型车单独装运刚好可以全部运完，则B 型车需单独装运x 次，根据题意列出 方程组解得x 便可． 【详解】解：设每辆型车满载重量为，设每辆B 型车满载重量为b，设每辆型车满载重量 为，原计划用型车5 次可全部运完，由于型车另有运输任务，现在安排型车单独装运9 次， 余下的货物由B 型车单独装运刚好可以全部运完，则B 型车需单独装运x 次，根据题意得， ¿， ② ① ﹣ ，得9＝3， ∴＝1 3 ， 把＝1 3 代入②，得b＝1 4 ， 把＝1 3 ，b＝1 4 ，代入③得， 3+1 4 x 5=0 ﹣ ， ∴x＝8， ≠0 ∵ ， ∴x＝8． 故答为8． 【点睛】本题考查方程组的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适 的等量关系，列出正确的方程组并求解． 16．（3 分）（2022 秋·福建龙岩·七年级统考期末）甲、乙两人玩摸球游戏，从放有足够多 球的箱子中摸球，规定每人最多两种取法，甲每次摸4 个或（3－k）个，乙每次摸5 个或 （5－k）个(k 是常数，且0＜k＜3)；经统计，甲共摸了16 次，乙共摸了17 次，并且乙至 少摸了两次5 个球，最终两人所摸出的球的总个数恰好相等，那么箱子中至少有球_______ ___个 【答】110 【详解】设甲取了x 次4 个球，取了（16-x）次（3-k）个球，乙取了y 次5 个球，取了 （17-y）次（5-k）个球，依题意k=1，2， 当k=1 时，甲总共取球的个数为4x+2（16-x）=2x+32，乙总共取球的个数为5y+4（17-y） =y+68， 当k=2 时，甲总共取球的个数为4x+（16-x）=3x+16，乙总共取球的个数为5y+3（17-y） =2y+51，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等可得： ①2x+32=y+68，即y=2x-34，由x≤16，2≤y≤17 且x、y 为正整数，不合题意，舍去； ②2x+32=2y+51，即2x+2y=19，因x≤16，2≤y≤17 且x、y 为正整数，不合题意，舍去； 1 ③3x+16=y+68，即y=3x-52，因x≤16，2≤y≤17 且x、y 为正整数，不合题意，舍去； ④3x+16=2y+51，即x=2 y+35 3 ，因x≤16，2≤y≤17 且x、y 为正整数，可得x=13，y=2 或 x=15，y=5；所以当x=13，y=2，球的个数为3×13+16+2×2+51=110 个；当x=15，y=5，球的 个数为3×15+16+2×5+51=122 个，所以箱子中至少有球110 个 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的整数解，解题时根据实际情况先确定k 的值，然 后表示出甲取得球的数目和乙取得球的数目，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等 列出二元一次方程，求整数解即可，注意分4 种情况 三．解答题（共7 小题，满分52 分） 17．（6 分）（2022 秋·广东惠州·七年级惠州市第九中学校考期末）解方程组： (1){ x−2 y=−8 1 2 x+ y=9 ； (2){ 3 x+2 y−z=11① x+ y+z=6② 2 x−y+z=2③ ． 【答】(1){ x=5 y=13 2 (2){ x=2 y=3 z=1 【分析】（1）先把方程组整理为{x−2 y=−8① x+2 y=18②，再利用加减消元法解方程组即可； （2）先消去未知数z，得到4 x+3 y=17④，5 x+ y=13⑤，再利用加减消元法解方程组 即可． （1） 解：∵{ x−2 y=−8 1 2 x+ y=9 ， 整理得：{x−2 y=−8① x+2 y=18② ， ①+②得：x=5, ②-①得：y=13 2 , ∴方程组的解为：{ x=5 y=13 2 . 1 （2） { 3 x+2 y−z=11① x+ y+z=6② 2 x−y+z=2③ ①+②得：4 x+3 y=17④ ①+③得：5 x+ y=13⑤ ⑤×3−④得：x=2, 把x=2代入⑤得：y=3, 把x=2, y=3代入③得：z=1, ∴方程组的解为：{ x=2 y=3 z=1 . 【点睛】本题考查的是二元一次方程组，三元一次方程组的解法，掌握“方程组的解法” 是解本题的关键． 18．（6 分）（2022 秋·广西玉林·七年级统考期末）已知关于x，y 的二元一次方程组¿． （1）解该方程组； （2）若上述方程组的解是关于x，y 的二元一次方程x+by＝2 的一组解，求代数式2b 4 ﹣的 值． 【答】（1）¿；（2）−4. 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）结合（1）把x＝2，y＝﹣1 代入方程x+by＝2，可得2﹣b＝2，然后两边乘以﹣2 即可 求代数式2b 4 ﹣的值． 【详解】解：（1）{2 x+3 y=1 ① x−2 y=4 ②， ②×2 ① ﹣ 得， 7y＝﹣7， y＝﹣1， 把y＝﹣1 代入②，得 x＝2， ∴原方程组的解为{ x=2 y=−1． （2）∵上述方程组的解是关于x，y 的二元一次方程x+by＝2 的一组解， ∴把x＝2，y＝﹣1 代入，得 2﹣b＝2， 4+2 ∴﹣ b＝﹣4， 则代数式2b 4 ﹣的值为﹣4． 1 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决 本题的关键是掌握二元一次方程组的解法． 19．（8 分）（2022 秋·河北秦皇岛·七年级校联考期末）有关于x，y的方程kx−y=k−1． （1）当k=1和k=2时，所得方程组成的方程组是¿，它的解是______； （2）当k=−1和k=−2时，所得方程组成的方程组是______它的解是______； （3）猜想：无论k取何值，关于x，y的方程kx−y=k−1一定有一个解是______． （4）猜想：无论k取何值，关于x，y的方程kx−y=3k−4一定有一个解是______． 【答】（1）¿；（2）¿，¿；（3）¿；（4）¿． 【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可； （2）将k=−1和k=−2分别代入方程kx−y=k−1，得打方程组，再利用加减消元法进行 求解即可； （3）将含有k 的项合并，得到k (x−1)= y−1，当x=1 时，一定有y=1； （4）同（3），将含有k 的项合并，得到k (x−3)= y−4，当x=3 时，一定有y=4 【详解】有关于x，y的方程kx−y=k−1． （1）当k=1和k=2时，所得方程组成的方程组是¿，它的解是¿； （2）当k=−1和k=−2时，所得方程组成的方程组是¿，它的解是¿； （3）kx−y=k−1，变形整理得k (x−1)= y−1， 当x=1 时，y=1， 则方程kx−y=k−1一定有一个解是¿； （4）kx−y=3k−4，变形整理得k (x−3)= y−4， 当x=3 时，y=4， 则方程kx−y=3k−4一定有一个解是¿． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程（组），解此题的关键在于熟练掌握加减消元法或 代入消元法 20．（8 分）（2022 春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）随着“低碳生活，绿色出行” 理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批 新能源汽车尝试进行销售，据了解2 辆型汽车、3 辆B 型汽车的进价共计80 万元；3 辆型 汽车、2 辆B 型汽车的进价共计95 万元． (1)求、B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用100 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购 买），请问、B 两种型号的汽车各购买多少辆？ 【答】(1)、B 两种型号的汽车每辆进价分别为25 万元、10 万元； (2)种型号的汽车购买2 辆，B 种型号的汽车购买5 辆； 1 【分析】（1）根据2 辆型汽车、3 辆B 型汽车的进价共计80 万元；3 辆型汽车、2 辆B 型 汽车的进价共计95 万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和该公司计划正好用100 万元购进以上两种型号的新能源汽车 （两种型号的汽车均购买），可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可； （1） 解：（1）设种型号的汽车每辆进价为万元，B 种型号的汽车每辆进价为b 万元， 由题意可得 ¿， 解得¿， 答：、B 两种型号的汽车每辆进价分别为25 万元、10 万元； （2） 解：设购买型号的汽车m 辆，B 种型号的汽车辆，, 由题意可得2