专题13.7 轴对称章末题型过关卷（解析版）

第13 章 轴对称章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（2022•红花岗区模拟）观察下面，B，，D 四幅图，其中与如图成轴对称的是（ ） ． B． ． D． 【分析】根据轴对称的定义判定即可． 【详解】解：与已知图形成轴对称的图形是选项： ． 故选：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解轴对称的性质，属于中考常考题型． 2．（2022 春•柯桥区期末）在△B 中，已知D 为直线B 上一点，若∠B＝α，∠BD＝β，且B ＝＝D，则β 与α 之间不可能存在的关系式是（ ） ．β＝90°−3 2 α B．β＝180°−3 2 α ．β¿ 3 2 α−90° D．β＝120°−3 2 α 【分析】分点D 在线段B 上，在B 延长线上，在B 延长线上讨论，根据外角和等于不相 邻的两个内角和及三角形内角和定理可求β 与α 的等量关系式． 【详解】解：当点D 在线段B 上， ∵∠B＝α，＝B， ∴∠＝∠B＝α， ∵D＝， 1 ∴∠D＝∠D¿ 180°−∠C 2 =¿90°−1 2 α， ∵∠D＝∠B+∠BD， 90° ∴ −1 2 α＝α+β， 即β＝90°−3 2 α； 当点D 在线段B 的延长线上， 同理可得：β＝180°−3 2 α； 当点D 在线段B 的延长线上， 同理可得：β¿ 3 2α 90° ﹣ ． 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．注意分类思想的 应用是解此题的关键． 3．（2022•南昌）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子， 我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次 称为一步，已知点为乙方一枚棋子，欲将棋子跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳 行的最少步数为（ ） 1 ．2 步 B．3 步 ．4 步 D．5 步 【分析】根据题意，结合图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：观察图形可知：先向右跳行，在向左，最后沿着对称的方法即可跳到对方 那个区域，所以最少是3 步． 故选B． 【点睛】此题考查轴对称的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线．通过对称 的性质找到最短的路线是解题的关键． 4．（2022 春•龙岗区期末）如图，△B 中，＝D＝3，BD 垂直∠B 的角平分线于D，E 为的中 点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ） ．6 B．45 ．3 D．2 【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△D，当D⊥时，△D 的面积最大． 【详解】解：延长BD，相交于点．设D 交BE 于点． 1 ∵D⊥B， ∴∠DB＝∠D＝90°， ∴∠BD+∠BD＝90°，∠+∠D＝90°， ∵∠BD＝∠D， ∴∠BD＝∠， ∴B＝， ∵D⊥B， ∴BD＝D， ∵D＝， ∴∠D＝∠D， ∵∠D+∠＝90°，∠D+∠D＝90°， ∴∠D＝∠， ∴D＝＝， ∵E＝E， ∴S△BE¿ 1 4 S△B，S△D¿ 1 4 S△B， ∵S△BD﹣S△E＝S△DB﹣S△BE＝S△D﹣S△D＝S△D， ∵＝D＝3， ∴当D⊥时，△D 的面积最大，最大面积为1 2 ×3×3¿ 9 2． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是 学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 5．（2022 秋•兴业县期末）如图，∠B＝120°，P 平分∠B，且P＝2．若点M，分别在，B 上，且△PM 为等边三角形，则满足上述条件的△PM 有（ ） 1 ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．无数个 【分析】如图在、B 上截取E＝F＝P，作∠MP＝60°，只要证明△PEM≌△P 即可推出△PM 是等边三角形，由此即可得结论 【详解】解：如图在、B 上截取E＝F＝P，作∠MP＝60°． ∵P 平分∠B， ∴∠EP＝∠PF＝60°， ∵P＝E＝F， ∴△PE，△PF 是等边三角形， ∴EP＝P，∠EP＝∠EP＝∠P＝∠MP＝60°， ∴∠EPM＝∠P， 在△PEM 和△P 中， { ∠PEM=∠PON PE=PO ∠EPM=∠OPN ， ∴△PEM≌△P（S）． ∴PM＝P，∵∠MP＝60°， ∴△PM 是等边三角形， ∴只要∠MP＝60°，△PM 就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定 义等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 6．（2022 秋•望城区期末）如图，△B 中，B＝，D⊥B 于点D，DE⊥B 于点E，BF⊥于点 F，DE＝4，则BF 的长为（ ） 1 ．5 B．6 ．7 D．8 【分析】由等腰三角形的性质得到△B 是△BD 的面积的两倍，然后用等面积法求得DE 和BF 的关系，进而得到BF 的长． 【详解】解：∵△B 中，B＝，D⊥B， ∴D 是△B 的中线， ∴S△B＝2S△BD＝2× 1 2 ×DE•B＝DE•B， ∵S△B¿ 1 2•BF， ∴1 2•BF＝DE•B， ∵＝B， ∴1 2BF＝DE， ∵DE＝4， ∴BF＝8， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解题的关键是熟练应用等面积法求高． 7．（2022 秋•平邑县期中）已知：点（m 1 ﹣，3）与点B（2，﹣1）关于x 轴对称，则 （m+）的值为（ ） ．0 B．1 ．﹣1 D．3 【分析】利用关于x 轴对称点的性质得出m，的值，进而求出即可． 【详解】解：∵点（m 1 ﹣，3）与点B（2，﹣1）关于x 轴对称， ∴m 1 ﹣＝2，﹣1＝﹣3， 解得：m＝3，＝﹣2， 则m+＝1． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，利用横纵坐标关系得出是解题关键． 8．（2022 秋•思明区校级期末）如图，边长为的等边△B 中，BF 是上中线且BF＝b，点D 在BF 上，连接D，在D 的右侧作等边△DE，连接EF，则△EF 周长的最小值是（ ） 1 ．1 2 a+ 2 3 b B．1 2 a+b ．+1 2 b D．3 2 【分析】首先证明点E 在射线E 上运动（∠E＝30°），作点关于直线E 的对称点M，连 接FM 交E 于E′，此时E′+FE′的值最小． 【详解】解：如图，∵△B，△DE 都是等边三角形， ∴B＝＝，D＝E，∠B＝∠DE＝∠B＝60°， ∴∠BD＝∠E， ∴△BD≌△E（SS）， ∴∠BD＝∠E， ∵F＝F¿ 1 2，BF＝b， ∴∠BD＝∠BD＝∠E＝30°，BF⊥， ∴点E 在射线E 上运动（∠E＝30°）， 作点关于直线E 的对称点M，连接FM 交E 于E′，此时E′+FE′的值最小， ∵＝M，∠M＝60°， ∴△M 是等边三角形， ∴M＝， ∵BF⊥， ∴FM＝BF＝b， ∴△EF 周长的最小值＝F+FE′+E′＝F+FM¿ 1 2+b， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性 质等知识，解题的关键是证明点E 在射线E 上运动（∠E＝30°），本题难度比较大，属 于中考填空题中的压轴题． 9．（2022 秋•富川县期末）如图，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线E，BF 相交于点，E 交B 1 于E，BF 交于F，过点作D⊥B 于D，下列三个结论：①∠B＝90°+1 2 ∠；②当∠＝60°时， F+BE＝B；③若D＝，B+B+＝2b，则S△B＝b．其中正确的是（ ） ．①② B．②③ ．①②③ D．①③ 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠B 与∠的关系，进而判定①； 在B 上取一点，使B＝BE，证得△B≌△EB，得到∠B＝∠BE＝60°，再证得△≌△F，得到F ＝，进而判定②正确；作⊥于，M⊥B 于M，根据三角形的面积可证得③正确． 【详解】解：∵∠B 和∠B 的平分线相交于点， ∴∠B¿ 1 2∠B，∠B¿ 1 2∠B， ∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠B＝180°−1 2 ∠B−1 2 ∠B＝180°−1 2 （180°﹣∠）＝90°+1 2 ∠，①正 确； ∵∠＝60°， ∴∠B+∠B＝120°， ∵E，BF 分别是∠B 与B 的平分线， ∴∠B+∠B¿ 1 2（∠B+∠B）＝60°， ∴∠B＝120°， ∴∠F＝60°， ∴∠BE＝60°， 如图，在B 上取一点，使B＝BE， ∵BF 是∠B 的角平分线， ∴∠B＝∠EB， 在△B 和△EB 中，{ BH=BE ∠HBO=∠EBO BO=BO ， ∴△B≌△EB（SS）， ∴∠B＝∠BE＝60°， ∴∠＝180° 60° 60° ﹣ ﹣ ＝60°， 1 ∴∠＝∠F， 在△和△F 中，{ ∠HAO=∠FAO AO=AO ∠AOH=∠AOF ， ∴△△ ≌F（S）， ∴F＝， ∴B＝B+＝BE+F，故②正确； 作⊥于，M⊥B 于M， ∵∠B 和∠B 的平分线相交于点， ∴点在∠的平分线上， ∴＝M＝D＝， ∵B++B＝2b ∴S△B¿ 1 2 ×B×M+1 2 ××+1 2 ×B×D¿ 1 2（B++B）•＝b，③正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和 判定，正确作出辅助线证得△B≌△EB，得到∠B＝∠BE＝60°，是解决问题的关键． 10．（2022 秋•周村区校级期中）如图，线段B，DE 的垂直平分线交于点，且∠B＝∠ED＝ 72°，∠EB＝92°，则∠EBD 的度数为（ ） 1 ．168° B．158° ．128° D．118° 【分析】连接E，依据线段B，DE 的垂直平分线交于点，可得＝B，E＝D，判定 △E≌△BD，可得∠E＝∠BD，设∠E＝∠BD＝α，则∠BDE＝72° α ﹣，∠EB＝92° α ﹣，∠BED ＝∠DE﹣∠EB＝72°﹣（92° α ﹣）＝α 20° ﹣ ，即可得到△BDE 中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣ α）﹣（α 20° ﹣ ）＝128°． 【详解】解：如图，连接E， ∵线段B，DE 的垂直平分线交于点， ∴＝B，E＝D， ∵∠B＝∠ED＝72°＝∠DE， ∴∠B＝∠ED＝36°， ∴∠E＝∠BD， 在△E 和△BD 中， { CA=CB ∠ACE=∠BCD CE=CD ， ∴△E≌△BD（SS）， ∴∠E＝∠BD， 设∠E＝∠BD＝α，则∠BDE＝72° α ﹣，∠EB＝92° α ﹣， ∴∠BED＝∠DE﹣∠EB＝72°﹣（92° α ﹣）＝α 20° ﹣ ， ∴△BDE 中，∠EBD＝180°﹣（72° α ﹣）﹣（α 20° ﹣ ）＝128°， 故选：． 1 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的运用， 解决问题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．（2022•南京模拟）如图，△B 中，B＝，D＝E，BD＝3m，DE＝4m，则D＝ 7 m． 【分析】先证明△BD≌△E，从而证得BD＝E＝3m，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵B＝， ∴∠B＝∠． 同理∠DE＝∠ED， 180° ∴ ∠ ﹣ DE＝180°﹣∠ED，即∠DB＝∠E， 在△BD 和△E 中， { ∠ADB=∠AEC ∠B=∠C AB=AC ， ∴△BD≌△E（S）， ∴BD＝E＝3m， ∴D＝DE+E＝4+3＝7（m）， 故答为：7． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证明△BD≌△E． 12．（2022 秋•江阴市校级月考）黑板上写着 ，那么正对着黑板的镜子里 的像是 50281 ． 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺 序颠倒，且关于镜面对称． 1 【详解】解：根据镜面对称的性质，因此18502 的真实图象应该是50281． 故答为：50281． 【点睛】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情 况的结合． 13．（2022 春•渝中区校级期末）如图，在△B 中，D 为边上一点，且BD 平分∠B，过作 E⊥BD 于E．若∠B＝52°，∠＝32°，B＝52，B＝98，则E＝ 23 ． 【分析】延长E 交B 于F，根据角平分线的定义得到∠BE＝∠FBE，根据趋势进行的性 质得到E＝EF，B＝BF＝52，推出F＝F，于是得到结论． 【详解】解：延长E 交B 于F， ∵BD 平分∠B， ∴∠BE＝∠FBE， 在△BE 和△FBE 中， { ∠AEB=∠FEB=90° BE=BE ∠ABE=∠FBE ， ∴△BE≌△FBE（S）， ∴E＝EF，B＝BF＝52， ∴∠BF＝∠BF¿ 1 2 ×（180° 52° ﹣ ）＝64°， ∵∠＝32°， ∴∠F＝∠FB﹣∠＝32°， ∴∠F＝∠， ∴F＝F， ∵B＝98， ∴F＝B﹣BF＝46， ∴F＝46， ∴E＝23， 故答为：23． 1 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出 辅助线是解题的关键． 14．（2022 春•碑林区校级期末）已知△B 中，∠B＝20°，在B 边上有一点D，若D 将△B 分 为两个等腰三角形，则∠＝ 100° 或 70° 或 40° 或 10° ． 【分析】分（1）BD＝D；（2）B＝D 两种情况进行讨论，根据等腰三角形的性质即可 求解． 【详解】解：（1）BD＝D， ∵∠B＝20°， ∴∠DB＝20°， ∴∠D＝40°， ①D＝时，∠＝180° 40°×2 ﹣ ＝100°； ②D＝D 时，∠＝（180° 40° ﹣ ）÷2＝70°； ③＝D 时，∠＝∠D＝40°； （2）B＝D， ∵∠B＝20°， ∴∠BD＝20°， ∴∠D＝180° 20° ﹣ ＝160°， D＝D 时，∠＝（180° 160° ﹣ ）÷2＝10°． 综上所述∠＝100°或70°或40°或10°． 故答为：100°或70°或40°或10°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是熟练掌握等腰三角 1 形的性质，三角形内角和定理，注意分类思想的应用． 15．（2022•中山市三模）已知等腰三角形的两边，b 的长满足¿a−5∨+❑ √b−4=0，则该 等腰三角形的周长为 13 或 14 ． 【分析】先根据非负数的性质求出，b 的值，再根据等腰三角形的性质解答．由于没有 明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三 角形． 【详解】解：∵| 5| ﹣+❑ √b−4=¿0， 5 ∴﹣＝0，b 4 ﹣＝0， 解得＝5，b＝4． 当＝5 为底时，腰长为4，4，能组成三角形，故周长为5+4+4＝13． 当b＝4 为底时，腰长为5，5，能组成三角形，故周长为4+5+5＝14． 所以周长为：13 或14． 故答为：13 或14． 【点睛】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系定理以及周长 的求法．注意非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 16．（2022 春•锦江区校级期末）已知△B 为等边三角形，B＝10，M 在B 边所在直线上， 点在边所在直线上，且M＝M，若M＝16，则的长为 4 或 36 ． 【分析】分两种情形：①当点M 在B 的延长线上时，作MD⊥于D．②当点M 在B 的延 长线上时，作MD⊥于D．分别求解即可． 【详解】解：由题意可知，BM＝＝6， ①如图，当点M 在B 的延长线上时，作MD⊥于D． 1 在Rt△MD 中， ∵∠DM＝90°，∠＝60°，M＝16， ∴D¿ 1 2M＝8， ∴D＝﹣D＝2， ∵M＝M，MD⊥， ∴D＝D， ∴＝2D＝4． ②如图，当点M 在B 的延长线上时，作MD⊥于D， 在Rt△MD 中， ∵∠DM＝90°，∠DM＝60°，M＝16， ∴D¿ 1 2M＝8， ∴D＝D+＝18， ∵M＝M，MD⊥， ∴D＝D， ∴＝2D＝36， 故答为：4 或36． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形的应用，解题的关键是学会用分类 1 讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题． 三．解答题（共7 小题，满分52 分） 17．（2022 春•彭阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，（﹣2，2），B（﹣3，﹣2） （1）若点D 与点关于y 轴对称，则点D 的坐标为 （ 2 ， 2 ） ． （2）将点B 先向右平移5 个单位再向上平移1 个单位得到点，则点的坐标为 （ 2 ， 1 ） ． （3）求，B，，D 组成的四边形BD 的面积． 【分析】（1）根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答； （2）根据点向右平移加，向上平移加，可得答； （3）根据图形割补法，可得矩形BFDE，根据面积的和差，可得答． 【详解】解：（1）若点D 与点关于y 轴对称，则点D 的坐标为 （2，2）； （2）将点B 先向右平移5 个单位再向上平移1 个单位得到点，则点的坐标为（2，﹣ 1）； （3）如图 ， S 四边形BD＝S 矩形BFDE﹣S△BE﹣S△BF＝5×4−1 2 ×1×4−1 2 ×1×5¿ 31 2 ． 【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标 规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐 标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 18．（2022 春•沙坪坝区期末）如图，在△B 中，∠B＝∠B，点D 是B 边上一点，且满足∠B ＝∠1，E 平分∠B 交D 于点E． 1 （1）若∠D＝80°，求∠2 的度数； （2）过点E 作EF∥B，交BD 于点F，请说明∠FE＝3 3 ∠． 【分析】（1）首先利用三角形外角的性质求得∠B＝40°，再利用三角形内角和求出∠B 的度数，从而得出答； （2）设∠B＝x，则∠1＝x，利用平行线的性质和三角形内角和定理分别表示出∠FE 和 ∠3，从而解决问题． 【详解】解：（1）∵∠D＝∠B+ 1 ∠，∠B＝∠1， 2 ∴∠B＝80°， ∴∠B＝40°， ∵∠B＝∠B， ∴∠B＝（180° 40° ﹣ ）÷2＝70°， ∵E 平分∠B， 2 ∴∠＝∠3＝35°； （2）设∠B＝x，则∠1＝x， ∵EF∥B， ∴∠