专题15.7 分式章末题型过关卷（解析版）

第15 章 分式章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022·河北·一模）只把分式4 m−a 5n 中的m，n同时扩大为原来的3 倍后，分 式的值也不会变，则此时a的值可以是下列中的（ ） ．2 B．mn ．m 3 D．m 2 【答】 【分析】根据分式的性质，分子分母的m，n同时扩大为原来的3 倍后，分式的值也不会变， 则a为含m或n的一次单项式，据此判断即可． 【详解】解：∵4 m−a 5n 中的m，n同时扩大为原来的3 倍后，分式的值也不会变， ∴a为含m或n的一次单项式，故只有符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键． 2．（3 分）（2022·全国·八年级单元测试）计算x 2 y ÷(－y x )·( y x )2的结果是（ ） ．－x B．－x 2 y ．x y D．x 2 y 【答】 【分析】分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一 成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】原式=−x 2 y • x y • y 2 x 2 ＝−x． 故选． 【点睛】在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分． 3．（3 分）（2022·全国·八年级专题练习）若分式方程1 x−2 +2= kx−1 x−2 有增根， 则k的值 是（ ） ．1 B．−1 ．2 D．−2 【答】 【分析】使分母等于0 的未知数的值是分式方程的增根，即x=2，将x=2 代入化简后的整式 方程中即可求出k 的值 1 【详解】1 x−2 +2= kx−1 x−2 ， 去分母得：1+2（x-2）=kx-1， 整理得：2x-2=kx， ∵分式方程有增根， x=2 ∴ ， 将x=2 代入2x-2=kx， 2k=2， k=1， 故选： 【点睛】此题考查分式方程的增根，正确理解增根的意义得到未知数的值是解题的关键 4．（3 分）（2022·山东威海·期中）设p= a a+1−b b+1，q= 1 a+1−1 b+1，则p，q的关系 是( ) ．p=q B．p>q ．p=−q D．p<q 【答】 【分析】判断p，q的关系，可以计算( p+q)的结果，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得， p+q= a a+1−b a+1 + 1 a+1−1 b+1=a+1 a+1−b+1 b+1=1−1=0， ∴p，q的关系是互为相反数， 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的加减混合运算，掌握分式加减法法则是解题的关键． 5．（3 分）（2022·浙江·杭州市文澜中学七年级期中）一件工程，甲单独做需要小时完成， 乙单独做需要b 小时完成．若甲、乙二人合作完成此项工作，需要的时间是（ ） ．a+b 2 小时 B．( 1 a + 1 b)小时 ．1 a+b小时 D．ab a+b小时 【答】D 【分析】由题意可得甲单独做每小时完成工程的1 a，乙单独做每小时完成工程的1 b，然后 根据工作时间¿工作总量÷工作效率列式计算即可． 【详解】解：∵甲单独做每小时完成工程的1 a，乙单独做每小时完成工程的1 b ， 1 ∴甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是 1 1 a + 1 b = ab a+b （小时）； 故选：D． 【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，找到题目中隐含的数量关系是解本题的关键． 6．（3 分）（2022·广西贵港·八年级期中）已知1 x −1 y =3，则分式5 x+xy−5 y x−xy−y 的值为 （ ） ．8 B．7 2 ．2 7 D．4 【答】B 【分析】把已知整理成x−y=−3 xy，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵1 x −1 y =3，即y−x xy =3， ∴y−x=3 xy，即x−y=−3 xy， ∴5 x+xy−5 y x−xy−y =5( x−y)+xy ( x−y)−xy =5×(−3 xy )+xy (−3 xy )−xy =−14 xy −4 xy =7 2， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，在本题中能理解整体思想并且将x−y=−3 xy整体 代入是解题关键． 7．（3 分）（2022·甘肃·临泽县第三中学九年级期中）《九章算术》中记载：“今有兔先 走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？”大意是 说：兔子先出发100 步，然后狗出发，狗跑了250 步后，距离兔子还有30 步，问：如果狗 不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果狗不停的话，再跑x 步可以追到兔子，则 可列方程为（ ） ．250 180＝ x x+30 B．250 180＝x−30 x ．250 180＝x+30 x D．250 180＝ x x−30 【答】D 【分析】根据题意可得狗与兔子的速度比为250：180，设狗再跑x 步，可追上兔子，此时 兔子跑的步数为：（x-30）步，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：兔子先出发100 步，狗跑了250 步后距兔子30 步， ∴兔子跑了250-100+30=180（步）， 即狗与兔子的速度比为250：180， 设狗再跑x 步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：（x-30）步，根据题意得： 250 180＝ x x−30． 1 故选：D 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到狗与兔子的速度比为250：180 是 解题的关键． 8．（3 分）（2022·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）若关于y 的不等式组¿的解集为y≤－4， 且关于x 的分式方程1−x x−3 +4= a 3−x 的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 （ ） ．12 B．14 ．19 D．21 【答】 【分析】先解分式方程得x =4-1+a 3 ，再由题意可得11-a 3 ≤0，且11-a 3 ≠3，可求得a≤11 且a≠2而且1+a为3 的倍数，；再解不等式组，结合题意可得a>-7，则可得所有满足条件 的整数a有-4， -1， 5， 8， 11，求和即可． 【详解】解：1- x x -3 +4= a 3- x ， \(1- x \)+4\( x -3\)=-a， 3 x =11-a， x =11-a 3 =4-1+a 3 ， ∵方程的解为非负整数， 11- ∴ a≥0，1+a 3 为整数， ∴a≤11，而且1+a为3 的倍数， 又∵x ≠3， ∴ 11-a 3 ≠3， ∴a≠2， ∴a≤11且a≠2，而且1+a为3 的倍数， ¿， 由①得y ≤-4， 由②得y <a+3， ∵不等式组的解集为y≤－4， ∴a+3>-4， ∴a>-7 ∴符合条件a的整数有-4， -1， 5， 8， 11， 1 ∴符合条件的所有整数a的和为=\(-4\)+\(-1\)+5+8+11=19， 故选：． 【点睛】本题考查分式方程的整数解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等 式组的解集取法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键． 9．（3 分）（2022·山东·济南外国语学校九年级）设x ≤0，y ≤0，z≤0，则三数x+ 1 y ， y+ 1 z ，z+ 1 x 中（ ） ．都不大于－2 B．都不小于－2 ．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2 【答】 【分析】首先把三个数相加，得到(x+ 1 x)+( y+ 1 y)+(z+ 1 z)，由已知可知x+ 1 x ≤−2， y+ 1 y ≤−2，z+ 1 z ≤−2，可得x+ 1 y + y+ 1 z +z+ 1 x ≤−6，据此即可判定． 【详解】解：x+ 1 y + y+ 1 z +z+ 1 x =(x+ 1 x)+( y+ 1 y)+(z+ 1 z)， ∵x ≤0，y ≤0，z≤0， ∴x+ 1 x ≤−2，y+ 1 y ≤−2，z+ 1 z ≤−2，当且仅当x= y=z=−1时，取等号 ∴x+ 1 y + y+ 1 z +z+ 1 x ≤−6， 当这三个数都大于-2 时，这三个数的和一定大于-6，这与x+ 1 y + y+ 1 z +z+ 1 x ≤−6矛盾， ∴这三个数中至少有一个不大于-2， 故选：． 【点睛】本题考查了利用不等式的取值及反证法，判定命题的真假，难度比较大． 10．（3 分）（2022·湖南·衡阳市成章实验中学八年级阶段练习）已知函数f ( x)= 2 1+x ， 其中f (a)表示x=a时对应的函数值，如f (1)= 2 1+1，f (2)= 2 1+2，则 f ( 1 2022 )+f ( 1 2021 )+…f ( 1 2 )+f (1)+f (2)+…+f (2021)+f (2022)的值为（ ） ．2022 B．2021 ．4043 D．4042 【答】 【分析】首先根据已知条件把所求的式子进行化简，再代入相关数值，计算即可． 1 【详解】解：∵f ( 1 a)= 2 1+ 1 a = 2a a+1， 则有： f ( 1 2022)+f ( 1 2021)+…+f ( 1 2) ¿ 4044 2023 + 4042 2022 + 4040 2021 +…+ 4 3 ， f (1)+f (2)+…+f (2020)+f (2021)+f (2022) ¿1+ 2 3 + 2 4 +…+ 2 2022 + 2 2023， 则原式¿ 4044 2023 + 4042 2022 + 4040 2021 +…+ 4 3 +1+ 2 3 + 2 4 +…+ 2 2022 + 2 2023 ¿1+( 4 3 + 2 3)+( 6 4 + 2 4)+…+( 4044 2023 + 2 2023) ¿1+(2023−2)×2 ¿4043， 故选：． 【点睛】本题主要考查了函数值的计算，计算的关键是理解已知条件中的关系式，对每个 式子进行化简． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．（3 分）（2022·辽宁大连·八年级期末）已知x 2= y 3 = z 4 ，则xy−x 2 yz =¿_____． 【答】1 6 【分析】设x 2= y 3 = z 4 =k，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解． 【详解】设x 2= y 3 = z 4 =k，根据题意有，k≠0， 则有x=2k，y=3k，z=4k， 即xy−x 2 yz = (2k ) (3k )−(2k ) 2 (3k ) (4 k ) =6 k 2−4 k 2 12k 2 =1 6 ， 故答为：1 6． 【点睛】本题考查为了分式的求值，设x 2= y 3 = z 4 =k是解答本题的关键． 1 12．（3 分）（2022·浙江舟山·七年级期末）在分式2 x+1 3 x−5中，当_________时，分式有意 义；当x=¿___________，分式的值为零． 【答】 x≠5 3 x=−1 2 【分析】要使分式有意义，则需要满足分式的分母不为零，即3 x−5≠0；要使分式的值为 零，则需要满足分式的分子为零，分母不为零，即2x+1=0，3 x−5≠0． 【详解】解：分式有意义，则3 x−5≠0，即x≠5 3， 分式的值为零，则¿，解得x=−1 2 故答为x≠5 3，x=−1 2 【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式的分 母不为0 时分式有意义，分式的分子为0 分母不为0 时，分式的值为0． 13．（3 分）（2022·辽宁·本溪满族自治县师进修学校八年级期末）若关于x 的分式方程 2 x + 3 x−a=0的解为x=4，则常数的值________________． 【答】10 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4 代入原分式方程得到关于的方程，然后求解即可． 【详解】解：把x=4 代入分式方程2 x + 3 x−a=0，得 2 4 + 3 4−a=0， 解得：=10， 经检验=10 是方程的解， 故答为：10． 【点睛】此题考查了分式方程的解和解分式方程，解题的关键是注意分式方程分母不能为 0． 14．（3 分）（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）若关于x 的分式方程 x−a 2 x−4 =1 3无解，则a=¿________． 【答】2 【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一 类值，再根据分式方程无解的条件看能否得出另外一类值即可． 1 【详解】解：x−a 2 x−4 =1 3， 去分母得：3 (x−a)＝2 x−4， 整理得：x=3a−4， 由于此方程未知数的系数是1 不为0，故无论取何值时，3 (x−a)＝2 x−4都有解，故此情 形下无符合题意的值； 由分式方程无解即有增根，可得2x 4 ﹣＝0，得x=2 把x＝2 代入x=3a−4， 解得：＝2，故此情形下符合题意的值为2； 综上，若要关于x 的分式方程x−a 2 x−4 =1 3无解，的值为2． 故答为： 2． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关 键． 15．（3 分）（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知6 x 3+10 x x 4+x 2+1 = Ax+B x 2+x+1 + Cx+D x 2−x+1 ， 其中A，B，C，D为常数，则A+B+C+D=¿______． 【答】6 【分析】由于x 4+x 2+1=( x 2+1) 2−x 2=(x 2+1+x)(x 2+1−x)，利用这个等式首先把已知 等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到 关于A、B、C、D的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：∵6 x 3+10 x x 4+x 2+1 = Ax+B x 2+x+1 + Cx+D x 2−x+1 ，且 x 4+x 2+1=( x 2+1) 2−x 2=(x 2+1+x)(x 2+1−x)， ∴6 x 3+10 x x 4+x 2+1 = ( Ax+B)(x 2+1−x)+(Cx+D )(x 2+1+x) x 4+x 2+1 ∴6 x 3+10 x=( Ax+B )(x 2+1−x)+(Cx+D )(x 2+1+x) ∴当x=0时，B+D=0① 当x=1时，A+B+3 (C+D )=16② 当x=−1时，3 (B−A )+D−C=−16③ ∵6 x 3+10 x=( A x 3+B x 2)+( Ax+B) (1−x )+(C x 3+D x 2)+(Cx+D ) (1+x ), 即6 x 3+10 x=( A+C ) x 3+B x 2+( Ax+B) (1−x )+D x 2+(Cx+D ) (1+x ) ∴A+C=6④ 联立①②③④解之得 1 A=C=3、B=−2、D=2， ∴A+B+C+D=6． 故答为：6． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然 后根据题意列出关于A、B、C、D的方程组即可解决问题． 16．（3 分）（2022·吉林·九年级专题练习）设，b，，d 都是正数，且S＝ a a+b+d + b a+b+c + c b+c+d + d a+c+d ，那么S 的取值范围是__． 【答】1＜S＜2 【分析】根据分式的性质，分别将分母扩大、缩小，通过分式加减，计算即可得到结论． 【详解】∵，b，，d 都是正数 S ∴＝ a a+b+d + b a+b+c + c b+c+d + d a+c+d ＞ a a+b+c+d + b a+b+c+d + c a+b+c+d + d a+b+c+d ＝a+b+c+d a+b+c+d ＝1 S＝ a a+b+d + b a+b+c + c b+c+d + d a+c+d ＜a a+b + b a+b + c c+d + d c+d ＝a+b a+b +c+d c+d ＝2 1 ∴＜S＜2 故答为：1＜S＜2． 【点睛】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成 求解． 三．解答题（共7 小题，满分52 分） 17．（6 分）（2022·山东·龙口市学研究室八年级期中）（1）化简：x 2+2 x+1 x 2−1 − x x−1； （2）先化简，再求值：3 x 2−9 x x−2 ÷（x+2− 5 x−2 )，其中x=−1． 【答】（1）1 x−1 （2）3 x x+3，−3 2 【分析】（1）根据分式的减法法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算，将分式化简，再把x=−1代入化简式计算即可． 【详解】解：（1）原式¿ ( x+1) 2 ( x−1)( x+1)− x x−1 ¿ x+1 x−1− x x−1 1 ¿ 1 x−1． （2）原式＝3 x( x−3) x−2 ÷ x 2−4−5 x−2 ＝3 x( x−3) x−2 ⋅ x−2 ( x+3)( x−3) ¿ 3 x x+3， 当x=−1时，原式＝3×(−1) −1+3 =−3 2 ． 【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 18．（6 分）（2022·天津东丽·八年级期末）解分式方程 （1）1 x−2=1−x 2−x −3 （2）1 2−x = 1 x−2− 6−x 3 x 2−12 【答】（1）无解；（2）x＝﹣6 7 【分析】（1）两边同时乘以x-2 化为整式方程，解得x=2 后检验即可； （2）先去分母化为一元一次方程，解方程得到x=-6 7 ，再检验即可 【详解】（1）去分母得：1＝x 1 3 ﹣﹣x+6， 解得：x＝2， 经检验x＝2 是增根，分式方程无解； （2）去分母得：﹣3（x+2）＝3（x+2）﹣6+x， 去括号得：﹣3x 6 ﹣＝3x+6 6+ ﹣ x， 移项合并得：7x＝﹣6， 解得：x＝﹣6 7 ， 经检验x＝﹣6 7 是分式方程的解． 【点睛】此题考查解分式方程，按照去分母化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项、 系数化为1 的步骤解方程，得到解后必须代入最简公分母中检验，当未知数的值使分母为 0，则该解不是分式方程的解，如果不等于0，则该解是原分式方程的解 19．（8 分）（2022·山东·招远市学研究室八年级期中）关于x 的分式方程 2 x−2 + mx (x+1) (x−2)= 3 x+1 1 (1)若方程