专题23.2 旋转章末题型过关卷（解析版）

第23 章 旋转章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022•湖北）在下面的格图中，每个小正方形的边长均为1，△B 的三个顶点 都是格线的交点，已知B，两点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△B 绕点顺 时针旋转90°，则点的对应点的坐标为（ ） ．（4，1） B．（4，﹣1） ．（5，1） D．（5，﹣1） 【分析】先利用B，两点的坐标画出直角坐标系得到点坐标，再画出△B 绕点顺时针旋转 90°后点的对应点的′，然后写出点′的坐标即可． 【解答】解：如图，点坐标为（0，2）， 将△B 绕点顺时针旋转90°，则点的对应点的′的坐标为（5，﹣1）． 故选：D． 2．（3 分）（2022•宁津县二模）如图，将Rt△B（∠B＝25°）绕点顺时针方向旋转到△B11 的位置，使得点，，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） ．65° B．80° ．105° D．115° 【分析】由三角形的外角性质得出∠BB1＝∠+∠B＝115°，即可得出结论． 【解答】解：∵，，B1在同一条直线上，∠＝90°，∠B＝25°， ∴∠BB1＝∠+∠B＝115°．故选：D． 1 3．（3 分）（2022•焦作二模）若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法．正确的 是（ ） ①对称点的连线必过对称中心； ②这两个图形一定全等； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等； ④将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合． ．①② B．①③ ．①②③ D．①②③④ 【分析】根据（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与 另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中 心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． （2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两 个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答． 【解答】解：根据分析可得：①对称点的连线必过对称中心，正确； ②中心对称的两个图形一定全等，正确； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等，正确； ④根据定义可得此说法正确； ①②③④均符合题意． 故选：D． 4．（3 分）（2022 春•邯郸校级期末）如图，平面直角坐标系内Rt△B 的顶点坐标为（3， 1），将△B 绕点逆时针旋转90°后，顶点的坐标为（ ） ．（﹣1，3） B．（1，﹣3） ．（3，1） D．（﹣3，1） 【分析】画出旋转后图形的位置，根据点坐标可得B、B 的长度，从而确定对应线段的 长度，根据旋转后点所在象限，确定其坐标． 【解答】解：将△B 绕点逆时针旋转90°后，位置如图所示． ∵（3，1），∴B＝3，B＝1． ∴B′＝3，′B′＝1． ′ ∵在第二象限， ′ ∴（﹣1，3）． 1 故选：． 5．（3 分）（2022 秋•明山区校级月考）将点P（﹣2，3）向上平移3 个单位得到点P1， 点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（ ） ．（2，6） B．（2，﹣6） ．（2，﹣3） D．（2，0） 【分析】首先利用平移变化规律得出P1（﹣2，6），进而利用关于原点对称点的坐标性 质得出P2的坐标． 【解答】解：∵点P（﹣2，3）向上平移3 个单位得到点P1， ∴P1（﹣2，6）， ∵点P2与点P1关于原点对称， ∴P2的坐标是：（2，﹣6）． 故选：B． 6．（3 分）（2022•香坊区模拟）如图，将△B 绕点逆时针旋转80°，得到△D，若∠＝2∠D ＝100°，则∠α 的度数是（ ） ．50° B．60° ．40° D．30° 【分析】根据旋转的性质得知∠＝∠，∠为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度 数为180°列出式子进行求解． 【解答】解：∵将△B 绕点逆时针旋转80° ∴∠＝∠，∠＝80° ∴∠D＝80° α ﹣ ∵∠＝2∠D＝100° ∴∠D＝50° + ∵∠∠D+∠D＝180° 100°+50°+80° α ∴ ﹣＝180° 解得α＝50° 故选：． 1 7．（3 分）（2022•涪城区校级自主招生）如图，将Rt△B 绕直角顶点顺时针旋转90°，得 到△′B′，连接′，若∠′B′＝20°，则∠B′的度数是（ ） ．70° B．65° ．60° D．55° 【分析】由旋转的性质可得＝'，∠B＝∠'B'，由等腰直角三角形的性质可求∠'B'＝25°＝ ∠B，即可求解． 【解答】解：∵将Rt△B 绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△′B′连接′ ∴＝'，∠B＝∠'B'， ' ∴∠＝∠'＝45°，且∠′B′＝20°， ' ∴∠B'＝25°＝∠B， ∴∠B'＝∠B+ ' ∠＝70° 故选：． 8．（3 分）（2022 秋•海拉尔区校级月考）下列是中心对称图形的有（ ） （1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）正方形；（5）平行四边形；（6）矩形； （7）等腰梯形． ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【分析】把一个图形绕一点旋转180 度，能够与原来的图形重合，则这个点就叫做对称 点，这个图形就是中心对称图．依据定义即可进行判断． 【解答】解：由中心对称图形的概念可知，（1）（4）（5）（6）是中心对称图形，符 合题意； （2）（3）（7）不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 故中心对称的图形有4 个． 故选：． 9．（3 分）（2022 春•洪雅县期末）如图，在△B 中，∠B＝55°，∠＝20°，将△B 绕点逆时针 旋转α 角度（0＜α＜180°）得到△DE，若DE∥B，则α 的值为（ ） 1 ．65° B．75° ．85° D．130° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据旋转得出∠ED＝∠B＝105°，根据平行线 的性质求出∠DB 即可． 【解答】解：∵在△B 中，∠B＝55°，∠＝20°， ∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠＝180° 55° 20° ﹣ ﹣ ＝105°， ∵将△B 绕点逆时针旋转α 角度（0＜α＜180°）得到△DE， ∴∠DE＝∠B＝105°， ∵DE∥B， ∴∠DE+∠DB＝180°， ∴∠DB＝180°﹣∠DE＝75° ∴旋转角α 的度数是75°， 故选：B． 10．（3 分）（2022 春•龙岗区期末）如图，点E 是等边三角形△B 边的中点，点D 是直线 B 上一动点，连接ED，并绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程 中F 的最小值为❑ √3+1，则B 的值为（ ） ．2 B．4 ❑ √3 ．2❑ √3 D．4 【分析】由“SS”可证△BDE≌△FE，可得∠＝∠BE＝30°，则点在与成30°的直线上运动， 当F'⊥F'时，F'有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，连接BE，延长至，使E＝BE，连接F， ∵△B 是等边三角形，E 是的中点， ∴E＝E，∠BE＝∠BE＝30°，BE⊥， ∴∠BE＝∠DEF＝90°，BE¿ ❑ √3E， 1 ∴∠BED＝∠EF， 在△BDE 和△FE 中， { BE=EN ∠BED=∠NEF DE=EF ， ∴△BDE≌△FE（SS）， ∴∠＝∠BE＝30°， ∴点在与成30°的直线上运动， ∴当F'⊥F'时，F'有最小值， ∴F'¿ 1 2， ∴❑ √3+¿1¿ 1 2（E+❑ √3E）， ∴E＝2， ∴＝4， 故选：D． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．（3 分）（2022 春•崂山区期末）如图，风车图围绕着旋转中心至少旋转 60 度，会 和原图重合． 【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【解答】解：∵360°÷6＝60°， ∴该图形绕中心至少旋转60 度后能和原来的图互相重合． 故答为：60． 12．（3 分）（2022•荆州）如图，在4×4 的正方形格中，每个小正方形的顶点称为格点， 左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正 方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又 是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有 4 种． 1 【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质与定义，进而得出符合题意的答． 【解答】解：如图所示：这个格点正方形的作法共有4 种． 故答为：4． 13．（3 分）（2022•涪城区校级自主招生）如图，直线y¿− ❑ √3 3 x+2 与x 轴、y 轴分别交于、 B 两点，把△B 绕点顺时针旋转60°后得到△′B′，则点B′的坐标是 （ 2 ❑ √3， 4 ） ． 【分析】利用直线解析式求出点、B 的坐标，从而得到、B 的长，然后判断出∠B＝ 30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得B＝2B，根据旋转角是 60°得到B′⊥x 轴，然后写出点B′的坐标即可． 【解答】解：令y＝0，则−❑ √3 3 x+2＝0， 解得x＝2❑ √3， 令x＝0，则y＝2， ∴点（2❑ √3，0），B（0，2）， ∴＝2❑ √3，B＝2， ∴∠B＝30°， ∴B＝2B＝2×2＝4， ∵△B 绕点顺时针旋转60°后得到△′B′， ∴∠BB′＝60°， ∴∠B′＝30°+60°＝90°， ∴B′⊥x 轴， 1 ∴点B′（2❑ √3，4）． 故答为：（2❑ √3，4）． 14．（3 分）（2022•瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），（2，0），△MP 和△M11P1的顶点都在格点上，△MP 与△M11P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标 为 （ 2 ， 1 ） ． 【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），（2，0），并细心观察坐标轴就可 以得到答． 【解答】解：∵点P（1，1），（2，0）， ∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），1（2，2），P1（3，1）， ∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分， ∴对称中心的坐标为（2，1）， 故答为：（2，1）． 15．（3 分）（2022 秋•台州期中）如图，在△B 中，∠＝90°，＝B＝4m，若以的中点为旋 转中心，将这个三角形旋转180°后，点B 落在B'处，则BB'为 4 ❑ √5m ． 【分析】根据旋转的性质，即可得B＝B′，即BB′＝2B，又由在等腰△B 中，∠＝90°，B ＝4m，是的中点，利用勾股定理即可求得B 的长，继而求得答． 【解答】解：根据旋转的性质，可得：B＝B′， ∵在等腰△B 中，∠＝90°，B＝4m， ∴＝B＝4m， ∵是的中点， ∴¿ 1 2＝2m， ∴在Rt△B 中，B¿ ❑ √BC 2+OC 2=¿2❑ √5（m）， ∴BB′＝2B＝4❑ √5m． 1 故答为：4❑ √5m． 16．（3 分）（2022•咸宁一模）在平面直角坐标系中，直角△B 如图放置，点的坐标为 （1，0），∠B＝60°，每一次将△B 绕点逆时针旋转90°，第一次旋转后得到△1B1，第二 次旋转后得到△2B2，依次类推，则点B2022的坐标为 （﹣ 1 ， −❑ √3） ． 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：由题意B（1，❑ √3）， 第一次旋转后B1（−❑ √3，1）， 第二次旋转后B2（﹣1，−❑ √3）， 第三次旋转后B3（❑ √3，﹣1）， 第四次旋转后B4（1，❑ √3）， 发现四次一个循环， 2022÷4 ∵ ＝505•••2， ∴点B2022的坐标为（﹣1，−❑ √3）， 故答为：（﹣1，−❑ √3）． 三．解答题（共7 小题，满分52 分） 17．（6 分）（2022 春•昌图县期末）如图所示，将△B 置于平面直角坐标系中，（﹣1， 4），B（﹣3，2），（﹣2，1） （1）画出△B 向下平移5 个单位得到的△1B11．并写出点1的坐标； （2）画出△B 绕点顺时针旋转90°得到的△2B22，并写出点2的坐标； （3）画出以点为对称中心，与△B 成中心对称的△3B33，并写出点3的坐标； 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点1、B1、1的坐标，然后描点即可； 1 （2）利用格特点和旋转的性质画出点、B、的对应点2、B2、2，然后描点即可得到 △2B22，从而得到点2的坐标； （3）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点3、B3、3的坐标，然后描点即可． 【解答】解：（1）如图，△1B11为所作，点1的坐标为（﹣1，﹣1）； （2）如图，△2B22为所作，点2的坐标为（4，1）； （3）如图，△3B33为所作，点3的坐标为（1，﹣4）． 18．（6 分）（2022 春•梁平区期末）在格中画对称图形． 图1 是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使 得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图2、图3、图4 中（只需各画一个，内部 涂上阴影）； ①是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②是中心对称图形，但不是轴对称图形； ③既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画出图形． 【解答】解：①如图2； ②如图3； ③如图4． 1 19．（8 分）（2022•湖北）如图，△B 中，B＝＝1，∠B＝45°，△EF 是由△B 绕点按顺时针 方向旋转得到的，连接BE、F 相交于点D． （1）求证：BE＝F； （2）当四边形DE 为菱形时，求BD 的长． 【分析】（1）先由旋转的性质得E＝B，F＝，∠EF＝∠B，则∠EF+∠BF＝∠B+∠BF，即 ∠EB＝∠F，利用B＝可得E＝F，于是根据旋转的定义，△EB 可由△F 绕点按顺时针方向 旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE＝D； （2）由菱形的性质得到DE＝E＝＝B＝1，∥DE，根据等腰三角形的性质得∠EB＝ ∠BE，根据平行线得性质得∠BE＝∠B＝45°，所以∠EB＝∠BE＝45°，于是可判断△BE 为 等腰直角三角形，所以BE¿ ❑ √2¿ ❑ √2，于是利用BD＝BE﹣DE 求解． 【解答】（1）证明：∵△EF 是由△B 绕点按顺时针方向旋转得到的， ∴E＝B，F＝，∠EF＝∠B， ∴∠EF+∠BF＝∠B+∠BF，即∠EB＝∠F， ∵B＝， ∴E＝F， ∴△EB 可由△F 绕点按顺时针方向旋转得到， ∴BE＝F； （2）解：∵四边形DE 为菱形，B＝＝1， ∴DE＝E＝＝B＝1，∥DE， ∴∠EB＝∠BE，∠BE＝∠B＝45°， ∴∠EB＝∠BE＝45°， ∴△BE 为等腰直角三角形， ∴BE¿ ❑ √2¿ ❑ √2， ∴BD＝BE﹣DE¿ ❑ √2−¿1． 20．（8 分）（2022 秋•息县期末）如图①，在△B 与△DE 中，B＝，D＝E． 1 （1）BD 与E 的数量关系是：BD ＝ E． （2）把图①中的△B 绕点旋转一定的角度，得到如图②所示的图形． ①求证：BD＝E． ②若延长DB 交E 于点F，则∠DFE 与∠DE 的数量关系是什么？并说明理由． （3）若D＝8，B＝5，把图①中的△B 绕点顺时针旋转α（0°＜α≤360°），直接写出BD 长度的取值范围． 【分析】（1）利用线段的差直接得出结论； （2）①利用旋转得出∠DE＝∠B，进而得出∠DB＝∠E，判断出△DB≌△E，即可得出结论； ②由△DB≌△E，得出∠DB＝∠E，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论； （3）判断出点B 在线段D 上时，BD 最小，点B 在D 的延长线上时，BD 最大，即可得 出结论． 【解答】解：（1）＝， 理由：∵B＝，D＝E， ∴D﹣B＝E﹣， ∴BD＝E， 故答为：＝； （2）①证明：由旋转的性质，得∠DE＝∠B． ∴∠DE+∠BE＝∠B+∠BE， 即∠DB＝∠E． ∵B＝，D＝E， ∴△DB≌△E（SS） ∴BD＝E． ②∠DFE＝∠DE．理由： ∵△DB≌△E， ∴∠DB＝∠E． ∵∠D＝∠EF， 180° ∴ ∠ ﹣ DB﹣∠D＝180°﹣∠E﹣∠EF， 1 ∴∠DFE＝∠DE． （3）当点B 在线段D 上时，BD 最小＝D﹣B＝3， 当点B 在D 的延长线上时，BD 最大＝D+B＝13， 3≤ ∴ BD≤13． 21．（8 分）（2022•日照）如图，在正方形BD 中，E、F 是对角线BD 上两点，且∠EF＝ 45°，将△DF 绕点顺时针旋转90°后，得到△BQ，连接EQ，求证： （1）E 是∠QED 的平分线； （2）EF2＝BE2+DF2． 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△QE≌△FE（SS），进而得出∠EQ＝∠EF，即可 得出答； （2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答． 【解答】证明：（1）∵将△DF 绕点顺时针旋转90°后，得到△BQ， ∴QB＝DF，Q＝F，∠BQ＝∠DF， ∵∠EF＝45°， ∴∠DF+∠BE＝45°， ∴∠QE＝45°， ∴∠QE＝∠FE， 在△QE 和△FE 中 { AQ=AF ∠QAE=∠FAE AE=AE ， ∴△QE≌△FE（SS）， ∴∠EQ＝∠EF， ∴E 是∠QED 的平分线； （2）由（1）得△QE≌△FE， ∴QE＝EF， 由旋转的性质，得∠BQ＝∠DF， 1 ∠DF+∠BD＝90°， 则∠QBE＝∠BQ+∠BD＝90°， 在Rt△QBE 中， QB2+BE2＝QE2， 又∵QB＝DF， ∴EF2＝BE2+DF2． 22．（8 分）（2022•焦作二模）已知∠D＝90°，＝D，M 是过点的直线，过点D 作DB⊥M 于点B，连接B． （1）问题发现 如图（1），过点作E⊥B，与M 交于点E，则易发现BD 和E 之间的数量关系为 BD ＝ E ，BD、B、B 之间的数量关系为 BD + B ¿ ❑ √2B ． （2）拓展探究 当M 绕点旋转到如图（2）位置时，BD、B、B 之间满足怎样的数量关系？请写出你的 猜想，并给予证明． （3）解决问题 当M 绕点旋转到如图（3）位置时（点、D 在直线M 两侧），若此时∠BD＝30°，BD＝2 时，B＝ ❑ √6−❑ √2 ． 【分析】（1）过点作E⊥B，得到∠BD＝∠E，判断出△E≌△DB，确定△EB 为等腰直角三 角形即可． （2）过点作E⊥B 于点，判断出△E≌△DB，确定△EB 为等腰直角三角形，即可得出结论； （3）先判断出△E≌△BD，E＝B，得到△BE 为等腰直角三角形，得到BD¿ ❑ √2B＝2，求出 B，再用勾股定理即可． 【解答】解：（1）如图1，过点作⊥B 交M 于点E， 1 ∵∠D＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠B，∠BD＝90°﹣∠B， ∴∠E＝∠BD， ∵DB⊥M， ∴在四边形DB 中，∠B+∠D+∠BD+∠D＝360