专题24.11 圆章末题型过关卷（解析版）

第24 章 圆章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（2022 秋•梁平区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形格的格点、 B、，已知点的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） ．（﹣1，0） B．（0，0） ．（﹣1，1） D．（1，0） 【分析】利用格特点，作作B 和B 的垂直平分线，根据垂径定理的推论得到它们的交点 P 为该圆弧所在圆的圆心，然后写出P 点坐标即可． 【解答】解：作B 和B 的垂直平分线，它们的交点P 为该圆弧所在圆的圆心， 所以该圆弧所在圆的圆心坐标为（﹣1，0）． 故选：． 2．（2022•青羊区校级自主招生）如图，△B 中，∠B＝60°，∠B＝45°，B＝2❑ √2，D 是线段 B 上的一个动点，以D 为直径画⊙分别交B，于E，F，连接EF，则线段EF 长度的最小 1 值为（ ） ．2 B．❑ √2 ．❑ √3 D．3 【分析】由垂线段的性质可知，当D 为△B 的边B 上的高时，直径D 最短，此时线段EF ＝2E＝20E•s∠E＝20E•s60°，当半径E 最短时，EF 最短，连接E，F，过点作⊥EF，垂 足为，在Rt△DB 中，解直角三角形求直径D，由圆周角定理可知∠E¿ 1 2∠EF＝∠B＝ 60°，在Rt△E 中，解直角三角形求E，由垂径定理可知EF＝2E． 【解答】解：由垂线段的性质可知，当D 为△B 的边B 上的高时，直径D 最短， 如图，连接E，F，过点作⊥EF，垂足为， ∵在Rt△DB 中，∠B＝45°，B＝2❑ √2， ∴D＝BD＝2，即此时圆的直径为2， 由圆周角定理可知∠E¿ 1 2∠EF＝∠B＝60°， ∴在Rt△E 中，E＝E•s∠E＝1× ❑ √3 2 = ❑ √3 2 ， ∴EF＝2E¿ ❑ √3． 故选：． 3．（2022 秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示， 已知EF＝D＝6m，则球的半径为（ ） ．3m B．13 4 m ．15 4 m D．17 4 m 1 【分析】设球的平面投影圆心为，过点作⊥D 于点，延长交B 于点M，连接F，由垂径 定理得：F＝E¿ 1 2EF＝3（m），设F＝xm，则M＝（4﹣x）m，再在Rt△MF 中由勾股 定理求得F 的长即可． 【解答】解：设球的平面投影圆心为，过点作⊥D 于点，延长交B 于点M，连接F，如 图所示： 则F＝E¿ 1 2EF＝3（m）， ∵四边形BD 是矩形， ∴∠＝∠D＝90°， ∴四边形DM 是矩形， ∴M＝D＝6m， 设F＝xm，则M＝F， ∴＝M﹣M＝（6﹣x）m， 在Rt△F 中，由勾股定理得：2+F2＝F2， 即：（6﹣x）2+32＝x2， 解得：x¿ 15 4 ， 即球的半径长是15 4 m， 故选：． 4．（2022•武汉模拟）如图，B 为⊙的直径，E 为⊙的弦，为优弧BE 的中点，D⊥B，垂足 为D．若E＝8，DB＝2，则⊙的半径为（ ） ．6 B．5 ．4❑ √2 D．4❑ √3 【分析】如图，连接，延长交E 于点T．设⊙的半径为r．证明△T≌△D（S），推出D＝ T＝4，在Rt△D 中，根据2＝D2+D2，构建方程求解． 1 【解答】解：如图，连接，延长交E 于点T．设⊙的半径为r． ∵^ AC=^ CE， ∴T⊥E， ∴T＝TE¿ 1 2E＝4， 在△T 和△D 中， { ∠ATO=∠CDO=90° ∠AOT=∠COD AO=CO ， ∴△T≌△D（S）， ∴D＝T＝4， 在Rt△D 中，2＝D2+D2， ∴r2＝42+（r 2 ﹣）2， ∴r＝5， 故选：B． 5．（2022•中山市三模）如图，B 是⊙的直径，若＝2，∠D＝60°，则B 长等于（ ） ．4 B．5 ．❑ √3 D．2❑ √3 【分析】根据圆周角定理得出∠B＝90°，∠B＝∠D＝60°，求出∠B＝90°﹣∠B＝30°，根 据含30 度角的直角三角形的性质求出B＝2＝4，再根据勾股定理求出B 即可． 【解答】解：∵B 是⊙的直径， ∴∠B＝90°， ∵∠D＝60°， ∴∠B＝∠D＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠B＝30°， ∵＝2， 1 ∴B＝2＝4， ∴B¿ ❑ √A B 2−A C 2= ❑ √4 2−2 2=¿2❑ √3， 故选：D． 6．（2022•株洲）如图所示，等边△B 的顶点在⊙上，边B、与⊙分别交于点D、E，点F 是劣弧^ DE上一点，且与D、E 不重合，连接DF、EF，则∠DFE 的度数为（ ） ．115° B．118° ．120° D．125° 【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△B 的每一个内角是60°，求出∠EFD＝ 120°． 【解答】解：四边形EFD 是⊙内接四边形， ∴∠EFD+∠＝180°， ∵等边△B 的顶点在⊙上， ∴∠＝60°， ∴∠EFD＝120°， 故选：． 7．（2022•阳新县校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片 如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） ．① B．② ．③ D．④ 【分析】利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可． 【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂 直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：． 8．（2022 春•江夏区校级月考）如图，在⊙中，弦B＝5，点在B 上移动，连结，过点作 D⊥交⊙于点D，则D 的最大值为（ ） 1 ．5 B．25 ．3 D．2 【分析】连接D，如图，利用勾股定理得到D，利用垂线段最短得到当⊥B 时，最小， 再求出D 即可． 【解答】解：连接D，如图， ∵D⊥， ∴∠D＝90°， ∴D¿ ❑ √O D 2−OC 2= ❑ √r 2−OC 2， 当的值最小时，D 的值最大， 而⊥B 时，最小，此时D、B 两点重合， ∴D＝B¿ 1 2B¿ 1 2 ×5＝25， 即D 的最大值为25， 故选：B． 9．（2022•江汉区模拟）如图，由5 个边长为1 的小正方形组成的“L”形，圆经过其顶点 B、，则圆的半径为（ ） ．5 B．2❑ √2 ．5 2 D． ❑ √85 4 【分析】取B 的中点E，作EF⊥F，取圆心，连接B，，根据圆的性质，再结合勾股定 理即可求解． 【解答】解：取B 的中点E，作EF⊥F，取圆心，连接B，，则B＝， 1 ∵小正方形的边长为1， ∴F¿ 3 2，BE¿ 1 2，EF＝4， 设F＝x，则E＝4﹣x， 由勾股定理可得：F2+F2＝2，BE2+E2＝B2， ∴F2+F2＝BE2+E2， 即( 3 2 ) 2+x 2=( 1 2 ) 2+(4−x) 2， 解得x¿ 7 4 ， ∴¿ ❑ √O F 2+C F 2=❑ √( 7 4 ) 2+( 3 2 ) 2= ❑ √85 4 ， 故选：D． 10．（2022 秋•孟村县期末）如图，点D 是△B 中B 边的中点，DE⊥于E，以B 为直径的⊙ 经过D，连接D，有下列结论：①D⊥B；②∠ED＝∠B；③¿ 1 2；④DE 是⊙的切线．其 中正确的结论是（ ） ．①② B．①②③ ．②③ D．①②③④ 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由为B 中点，得到为 B 的一半，故为的一半，选项③正确；由D 为三角形B 的中位线，根据三角形的中位线 定理得到D 与平行，由与DE 垂直得到D 与DE 垂直，即∠DE 为90°，故DE 为圆的切 线，选项④正确． 【解答】解：∵B 是⊙直径， ∴∠DB＝90°， ∴D⊥B，选项①正确； 1 连接D，如图， ∵D 为B 中点，为B 中点， ∴D 为△B 的中位线， ∴D∥， 又DE⊥， ∴∠DE＝90°， ∴∠DE＝90°， ∴DE 为圆的切线，选项④正确； 又B＝D， ∴∠DB＝∠B， ∵B 为圆的直径， ∴∠DB＝90°， ∵∠ED+∠D＝90°，∠BD+∠D＝90°， ∴∠ED＝∠BD， ∴∠ED＝∠B，选项②正确； 由D 为B 中点，且D⊥B， ∴D 垂直平分B， ∴＝B，又¿ 1 2B， ∴¿ 1 2，选项③正确； 则正确的结论为①②③④． 故选：D． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．（2022•平房区二模）如图，⊙的半径D⊥弦B 于点，连接并延长交⊙于点E，连接 E．若B＝8，D＝2，则E 的长为 2 ❑ √13 ． 1 【分析】连接BE，设⊙的半径为R，由D⊥B，根据垂径定理得＝B¿ 1 2B＝4，在Rt△中， ＝R，＝R﹣D＝R 2 ﹣，根据勾股定理得到（R 2 ﹣）2+42＝R2，解得R＝5，则＝3，由于 为△BE 的中位线，则BE＝2＝6，再根据圆周角定理得到∠BE＝90°，然后在Rt△BE 中利 用勾股定理可计算出E． 【解答】解：连接BE，设⊙的半径为R，如图， ∵D⊥B， ∴＝B¿ 1 2B¿ 1 2 ×8＝4， 在Rt△中，＝R，＝R﹣D＝R 2 ﹣， ∵2+2＝2， ∴（R 2 ﹣）2+42＝R2，解得R＝5， ∴＝5 2 ﹣＝3， ∴BE＝2＝6， ∵E 为直径， ∴∠BE＝90°， 在Rt△BE 中，E¿ ❑ √BC 2+B E 2= ❑ √6 2+4 2=¿2❑ √13． 故答为：2❑ √13． 12．（2022•任城区校级三模）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半 圆上．点、B 的读数分别为86°、30°，则∠B 的大小为 28° ． 1 【分析】设半圆圆心为，连，B，则∠B＝86° 30° ﹣ ＝56°，根据圆周角定理得∠B¿ 1 2 ∠B，即可得到∠B 的大小． 【解答】解：设半圆圆心为，连，B，如图， ∵∠B¿ 1 2∠B， 而∠B＝86° 30° ﹣ ＝56°， ∴∠B¿ 1 2 ×56°＝28°． 故答为：28°． 13．（2022•曹县三模）如图，正五边形BDE 内接于圆，P 为弧DE 上的一点（点P 不与点 D、E 重合），则∠PD 的度数为 36° ． 【分析】连接，D．求出∠D 的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，D． ∵BDE 是正五边形， ∴∠D¿ 360° 5 =¿72°， ∴∠PD¿ 1 2∠D＝36°， 故答为：36°． 14．（2022•青羊区校级自主招生）如图四边形BD 内接于⊙，BD 平分∠B，直径B＝6， 1 ∠D＝140°，则劣弧BD 的长为 7 3 π ． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B＝180°﹣∠D＝180° 140° ﹣ ＝40°，根据角平分 线的定义得到∠BD¿ 1 2 ∠B＝20°，根据圆周角定理得到∠BD＝2∠＝140°，根据弧长公式 即可得到结论． 【解答】解：连接D， ∵四边形BD 内接于⊙，∠D＝140°， ∴∠B＝180°﹣∠D＝180° 140° ﹣ ＝40°， ∵BD 平分∠B， ∴∠BD¿ 1 2 ∠B＝20°， ∵B 是⊙的直径， ∴∠DB＝90°， ∴∠＝70°， ∴∠BD＝2∠＝140°， ∴劣弧BD 的长¿ 140⋅π ×3 180 =7 3π． 故答为：7 3 π． 15．（2022•青羊区校级自主招生）如图，已知扇形B 中，∠B＝90°，以B 为直径作半圆， 过点作的平行线，分别交半圆，弧B 于点D、E，若扇形B 的半径为8，则图中阴影部分 的面积是 20 3 π 8 ﹣❑ √3 ． 1 【分析】连接E．图中S 阴影＝S 扇形BE﹣S 扇形BD﹣S△E．根据已知条件易求得B＝＝D＝4，B ＝E＝8．∠EB＝60°，E＝4❑ √3，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可． 【解答】解：如图，连接E． ∵⊥B，＝B＝8，以B 为直径作半圆，圆心为点；以点为圆心，B 为半径作弧B， ∴∠B＝90°，B＝＝D＝4，B＝E＝8． 又∵E∥， ∴∠B＝∠E＝90°． ∴在直角△E 中，＝4，E＝8， ∴∠E＝30°，∠EB＝60°，E＝4❑ √3， ∴S 阴影＝S 扇形BE﹣S 扇形BD﹣S△E¿ 60 π ×8 2 360 −90 π ×4 2 360 −1 2 ×4×4 ❑ √3=20 3 π 8 ﹣❑ √3， 故答为：20 3 π 8 ﹣❑ √3． 16．（2022 秋•望城区期末）如图，△B 的内切圆⊙与B，，B 分别相切于点D，E，F．且 B＝8，＝15，B＝17，则⊙的半径是 3 ． 【分析】根据勾股定理的逆定理可得三角形B 为直角三角形，再根据切线长定理即可求 解． 【解答】解：如图，连接D、E、F， ∵△B 的内切圆⊙与B，，B 分别相切于点D，E．F， ∴E⊥，F⊥B，E＝F， 1 ∵B＝8，＝15，B＝17， 即82+152＝172， ∴△B 为直角三角形， ∴∠＝90°， ∴四边形EF 是正方形， ∴E＝F＝E＝F， 设⊙的半径是r， 则F＝E＝r，BF＝BD＝8﹣r，E＝D＝15﹣r， ∵BD+D＝B＝17， 8 ∴﹣r+15﹣r＝17， 解得r＝3． 所以⊙的半径是3． 故答为3． 三．解答题（共7 小题，满分52 分） 17．（2022 秋•锡山区校级月考）如图，P 是⊙外的一点，P、PB 分别与⊙相切于点、B， 是^ AB上的任意一点，过点的切线分别交P、PB 于点D、E．若P＝4，求△PED 的周长． 【分析】由P、PB 分别与⊙相切于点、B，根据切线长定理得到P＝PB＝4，同理得D ＝D，E＝EB，再根据三角形周长的定义得到△PED 的周长＝PD+DE+PE，然后利用等 相等代换得到△PDE 的周长＝PD+D+EB+PE＝P+PB． 【解答】解：∵P、PB 分别与⊙相切于点、B， ∴P＝PB＝4， ∵过点的切线分别交P、PB 于点D、E， ∴D＝D，E＝EB， ∴△PED 的周长＝PD+DE+PE＝PD+D+E+PE＝PD+D+EB+PE＝P+PB＝4+4＝8． 18．（2022 秋•安徽期末）如图，四边形BD 内接于圆，D，B 的延长线交于点E，F 是BD 延长线上任意一点，B＝． （1）求证：DE 平分∠DF； （2）求证：∠D＝∠EB． 1 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DE＝∠B，根据圆周角定理和等腰三角形 的性质证明即可； （2）根据三角形外角的性质和图形得到∠E+∠E＝∠BD+∠DB，得到∠E＝∠BD，根据圆 周角定理证明． 【解答】（1）证明：∵四边形BD 内接于圆， ∴∠DE＝∠B， 由圆周角定理得，∠B＝∠DB，又∠DB＝∠FDE， ∴∠B＝∠FDE， ∵B＝， ∴∠B＝∠B， ∴∠FDE＝∠DE，即DE 平分∠DF； （2）∵∠B＝∠B， ∴∠E+∠E＝∠BD+∠DB， 又∠E＝∠DB， ∴∠E＝∠BD， ∴∠D＝∠EB． 19．（2022 秋•广陵区期末）如图，B 为⊙的直径，点在⊙上，∠B 的平分线与B 交于点 E，与⊙交于点D，P 为B 延长线上一点，且∠PB＝∠P． （1）试判断直线P 与⊙的位置关系，并说明理由． （2）若＝8，B＝6，求⊙的半径及D 的长． 【分析】（1）连接，由圆周角定理得到∠B+∠B＝90°，由B＝得到∠B＝∠B，进而证得 ∠P＝90°，根据圆的切线的判定定理即可证得直线P 是⊙的切线； （2）在Rt△B 中，根据勾股定理求出B，即可得到⊙的半径为；由圆周角定理与等腰三 1 角形的判定及已知条件证得△BD 为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出D． 【解答】解：（1）P 与⊙相切，理由如下： 连接， ∵B 为⊙的直径， ∴∠B＝90°， ∴∠B+∠B＝90°， ∵B＝， ∴∠B＝∠B， ∵∠PB＝∠P， ∴∠P＝∠B+∠PB＝∠B+∠B＝90°， ∵是⊙的半径， ∴直线P 是⊙的切线； （2）∵B 为⊙的直径， ∴∠B＝90°， 在Rt△B 中，＝8，B＝6，B2＝2+B2， ∴B¿ ❑ √A C 2+BC 2= ❑ √8 2+6 2=¿10， ∴⊙的半径为5； 连接BD， ∵B 为⊙的直径， ∴∠DB＝90°， ∵∠BD＝∠BD，∠D＝∠BD， ∵D 是∠B 的平分线， ∴∠D＝∠BD， ∴∠BD＝∠BD， ∴D＝BD， 在Rt△BD 中，＝8，B＝6，B2＝D2+BD2＝2D2， 2 ∴D2＝102， ∴D2＝50， ∴D¿ ❑ √50=¿5❑ √2． 1 20．（2022•宿迁）如图，和B 是⊙的半径，并且⊥B，P 是上任一点，BP 的延长线交⊙于 点Q，过点Q 的⊙的切线交延长线于点R． （Ⅰ）求证：RP＝RQ； （Ⅱ）若P＝P＝1，试求PQ 的长． 【分析】（）要证明RP＝RQ，需要证明∠PQR＝∠RPQ，连接Q，则∠QR＝90°；根据B ＝Q，得∠B＝∠QB，再根据等角的余角相等即可证明； （）延长交圆于点，首先根据勾股定理求得BP 的长，再根据相交弦定理求得QP 的长 即可． 【解答】（Ⅰ）证法一： 连接Q； ∵RQ 是⊙的切线， ∴∠QB+∠BQR＝90°． ∵⊥B， ∴∠PB+∠B＝90°． 又∵B＝Q， ∴∠QB＝∠B． ∴∠PQR＝∠BP＝∠RPQ． ∴RP＝RQ． 证法二： 作直径B，连接Q；∵B 是⊙的直径， ∴∠B+∠＝90°． ∵⊥B， ∴∠B+∠BP＝90°． 1 ∴∠＝∠BP． 又∠BP＝∠RPQ， ∴∠＝∠RPQ． 又∵RQ 为⊙的切线， ∴∠PQR＝∠． ∴∠PQR＝∠RPQ． ∴RP＝RQ． （Ⅱ）解法一： 作直径， ∵P＝P＝1， ∴P＝3． 由勾股定理，得BP¿ ❑ √1 2+2 2=❑ √5 由相交弦定理，得PQ•PB＝P•P． 即PQ×❑ √5=¿1×3， ∴PQ¿ 3 ❑ √5 5 ． 解法二： 作直径E，过R 作RF⊥BQ，垂足为F， 设RQ＝RP＝x； 由切割线定理，得：x2＝（x 1 ﹣），（x+3） 解得：x¿ 3 2， 又由△BP∽△RPF 得：PF OP = PR BP ， ∴PF¿ 3 2 ❑ √5 ×1=3 ❑ √5 10 ， 由等腰三角形性质得：PQ＝2PF¿ 3 ❑ √5 5 ． 1 21．（2022•天心区二模）如图，B 是⊙的直径，点在⊙上，D⊥B，垂足为D，^ AB=^ AE， BE 分别交D、于点 F、G． （1）证明：F＝FG； （2）若BD＝D＝2，求弧E 的长度． 【分析】（1）根据B 是⊙的直径，D⊥B，^ AB=^ AE，推出∠GB＝∠D，即可推得F＝ FG． （2）根据BD＝D＝2，D