专题14 期末新定义题型复习导学案及配套作业(原卷版)

专题14 期末新定义题型复习(原卷版） 类型一 有理数中的新定义 1．（2022 秋•尤溪县）七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣． 她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：⊕b＝b+2．则(−3)⊕(−4⊕1 2 )=¿（ ） ．﹣13 B．6 ．24 D．30 2．（2022 秋•新吴区期中）现定义新运算“※”，对任意有理数、b，规定※b＝b﹣b，则﹣1 2022 ※ 的值（ ） ．2023 B．2022 ．﹣2023 D．﹣2021 3．（2022 秋•海陵区校级期中）定义一种对正整数的“F”运算：①当为奇数时，结果为3+5；②当为偶 数时，结果为n 2 k （其中k 是使n 2 k 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取＝26，则： 若＝49，则第2022 次“F 运算”的结果是（ ） ．31 B．49 ．62 D．98 4．（2022 秋•越秀区校级月考）已知、b 皆为有理数，定义运算符号为※：当＞b 时，※b＝2；当＜b 时， ※b＝2b﹣，则3 2 [ ※ ﹣（﹣2）※3]等于（ ） ．﹣2 B．5 ．﹣6 D．10 5．（2022 秋•靖江市校级月考）对于有理数、b 定义一种新运算“⊙”，规定⊙b＝|+b|+|﹣b|，则（﹣2） ⊙3 的值是（ ） ．6 B．5 ．4 D．2 6．（2022 秋•鄞州区校级期中）正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙花数”．例如 153，13+53+33＝153，因此“153”为“水仙花数”，则下列各数中：①370，②371，③407， ④502，“水仙花数”的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 7．（2022 秋•江阴市期中）现定义运算“*”，对于任意有理数，b 满足*b¿{ 2a−b，a≥b ¿a−2b，a＜b．如5*3＝ 2×5 3 ﹣＝7，1 2 *1¿ 1 2−¿2×1¿−3 2 ，若x*3＝5，则有理数x 的值为（ ） ．4 B．11 ．4 或11 D．1 或11 类型二 整式加减中的新定义 8．（2022 秋•黄浦区期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x 的相伴数；若x≥0，则[x]＝x 1 ﹣；若x＜ 0，则[x]＝x+1．例[ 3 2 ]=1 2 ，[ 2] ﹣ ＝﹣1； 已知当＞0，b＜0 时有[]＝[b]+1，则代数式（b﹣）3 3+3 ﹣ b 的值为 ． 9．（2022 秋•浦东新区期中）定义﹣b＝0，则称、b 互容，若2x2 2 ﹣与x+4 互容，则6x2 3 ﹣x 9 ﹣＝ ． 10．（2022 秋•涪城区期中）定义如下运算程序，则输入＝4，b＝﹣2 时，输出的结果为 ． 11．（2022•三水区校级三模）定义：若﹣b＝0，则称与b 互为平衡数，若2x2 2 ﹣与x+4 互为平衡数，则代 数式6x2 3 ﹣x 9 ﹣＝ ． 12．（2022 秋•古田县期中）（1）先化简，后求值：−1 3 x−2( x−1 3 y 2)+(−2 3 x+ 1 3 y 2)：（其中x＝﹣ 2，y¿ 2 3 ）． （2）定义一种新运算：观察下列各式：1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3 2 ﹣＝10，3*4＝3×3+4＝13， 6*（﹣1）＝6×3 1 ﹣＝17． ①请你想想：*b＝ ； ②若≠b，那么*b b*（填“＝”或“≠”）； ③先化简，再求值：（﹣b）*（+2b），其中＝1，b＝﹣7． 类型四 一元一次方程中的新定义 13．（2021 秋•河口区期末）如果规定“*”的意义为：*b¿ a+2b 2 （其中，b 为有理数），那么方程3*x¿ 5 2 的解是x＝ ． 14．（2021 秋•如皋市期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的 解的2 倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x+9＝0 中，3 9 ﹣＝﹣6，方程的解为x＝﹣3，则方程 3x+9＝0 为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x 的一元一次方程3x+﹣b＝0 是妙解方程，则b﹣＝ ． 15．（2022 秋•隆安县期中）我们将| a b c d|这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是 | a b c d|=¿d﹣b，例如| 1 2 3 4|=¿1×4 2×3 ﹣ ＝4 6 ﹣＝﹣2． （1）请你依此法则计算二阶行列式| 3 −2 4 3 |． （2）请化简二阶行列式| 2 x−3 x+2 2 4 |，并求当x＝4 时二阶行列式的值． 16．（2022 秋•西城区校级期中）定义如下：存在数，b，使得等式a 2 + b 4 =a+b 2+4 成立，则称数，b 为一对 “互助数”，记为（，b）．比如：（0，0）是一对“互助数”． （1）若（1，b）是一对“互助数”，则b 的值为 ； （2）若（﹣2，x）是一对“互助数”，求代数式（﹣x2+3x 1 ﹣）−1 5 （−5 2 x2+5x 15 ﹣ ）的值； （3）若（m，）是一对“互助数”，满足等式m−1 4 ﹣（6m+2 2 ﹣）＝0，求m 和的值． 17．（2022 秋•邗江区期中）定义：若+b＝6，则称与b 是关于6 的实验数． （1）4 与 是关于6 的实验数； 与5 2 ﹣x 是关于6 的实验数．（用含x 的代数式表示）． （2）若＝x2 4 ﹣x+2，b＝x2 2 ﹣（x2 2 ﹣x 2 ﹣），判断与b 是否是关于6 的实验数，并说明理由． （3）若＝6x2 8 ﹣x+4，d＝﹣2（3x2 4 ﹣x+k），且与d 是关于6 的实验数，求k 的值． 18．（2022 秋•丰泽区校级期中）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x 的“⻘一值”．若x≥0，则有 理数x 的“⻘一值”[x]＝x 2 ﹣；若x＜0，则有理数x 的“⻘一值”[x]＝x+2．例：[1]＝1 2 ﹣＝﹣1；[﹣ 1]＝﹣1+2＝1． （1）求有理数﹣2 和3 2 的“⻘一值”； （2）已知有理数＞0，b＜0，且它们的“⻘一值”相等，则[]＝[b]，试求代数式（b﹣）2 2+2 ﹣ b 的值； （3）对于一个有理数x，满⾜⽅程：[2x]+[x+1]＝4，请直接写出满⾜⽅程的解x 的值． 19．（2021 秋•桃江县期末）阅读材料： 在数轴上，如果把表示数1 的点称为基准点，记作点P．对于两个不同的点M 和，若点M、到点P 的距 离相等，则称点M 与点互为基准变换点．如图7 中，点M 表示数﹣1，点表示数3，它们与表示数1 的 点P 的距离都是2 个单位长度，则点M 与点互为基准变换点． 解决问题： （1）若点表示数，点B 表示数b，且点与点B 互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题： ①画图说明，当＝0、4、﹣3 时，b 的值分别是多少？ ②利用（1）中的结论，探索与b 的关系，并用含的式子表示b； ③当＝2021 时，求b 的值． （2）对点进行如下操作：先把点表示的数乘以5 2 ，再把所得的数表示的点沿数轴向左移动3 个单位长 度得到点B，若点与点B 互为基准变换点，求点表示的数． 20．（2022 秋•西城区校级期中）阅读下列材料： 定义：已知点，B，为数轴上任意三点，若B¿ 1 2 ，则称点是[，B]的相关点． 例如：如图1，点是[，B]的相关点，点D 不是[，B]的相关点，但点D 是[B，]的相关点． 根据这个定义解决下面问题： （1）如图2，M，为数轴上两点，点M 表示的数是﹣2，点表示的数是4，若点G 是[M，]的相关点，则 点G 表示的数是 ； （2）数轴上点E 所表示的数为﹣10，点F 所表示的数为20．一动点P 从点F 出发，以每秒2 个单位的 速度沿数轴向左运动，另一个动点Q 从点E 出发，以每秒1 个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间 为t 秒．问当t 为何值时，P 为[F，Q]的相关点？ 21．（2022 秋•江都区期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方 程”．例如：方程2x 1 ﹣＝3 和x+1＝0 为“美好方程”． （1）方程4x﹣（x+5）＝1 与方程﹣2y﹣y＝3 是“美好方程”吗？请说明理由； （2）若关于x 的方程x 2 +m=0与方程3x 2 ﹣＝x+4 是“美好方程”，求m 的值； （3）若关于x 方程2x +3 ﹣ ＝0 与x+5 1 ﹣＝0 是“美好方程”，求的值． 22．（2022 秋•大丰区期中）在数轴上有、B 两点，点B 表示的数为b．对点给出如下定义：当b≥0 时，将 点向右移动2 个单位长度，得到点P；当b＜0 时，将点向左移动|b|个单位长度，得到点P．称点P 为点 关于点B 的“伴侣点”．如图，点表示的数为﹣1． （1）在图中画出当b＝6 时，点关于点B 的“伴侣点”P； （2）当点P 表示的数为﹣6，若点P 为点关于点B 的“伴侣点”，则点B 表示的数 ； （3）点从数轴上表示﹣1 的位置出发，以每秒1 个单位的速度向右运动，点B 从数轴上表示8 的位置同 时出发，以每秒2 个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t 秒．①点B 表示的数为 （用含t 的式子表示）；②是否存在t，使得此时点关于点B 的“伴侣点”P 恰好与原点重合？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由． 23．（2022 春•开福区校级月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都 是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． （1）若“立信方程”2x+1＝1 的解也是关于x 的方程1 2 ﹣（x﹣m）＝3 的解，则m＝ ； （2）若关于x 的方程x2+3x 4 ﹣＝0 的解也是“立信方程”6x+2x2 3 ﹣﹣＝0 的解，则＝ ； （3）若关于x 的方程x＝23 3 ﹣2 5+4 ﹣ 的解也是关于x 的方程9x 3 ﹣＝kx+14 的解，且这两个方程都是 “立信方程”，求符合要求的正整数和正整数k 的值． 类型四 几何图形初步中的新定义 24．（2020 秋•上城区期末）定义：当点在线段B 上，＝B 时，我们称为点在线段B 上的点值，记作d※B ＝． 甲同学猜想：点在线段B 上，若＝2B；则d※B¿ 2 3 ． 乙同学猜想：点是线段B 的三等分点，则d※B¿ 1 3 ． 关于甲，乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（ ） ．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 ．两人都正确 D．两人都不正确 25．定义：如果两个角的差的绝对值等于90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝ 30°，| 1 2| ∠﹣∠＝90°，则∠1 和∠2 互为垂角（本题所有角都是指大于0°且小于180°的角）．如果有一个 角的垂角等于这个角的补角的4 5 ，那么这个角的度数为（ ） ．150° B．130° ．30°或130° D．30°或150° 26．（2021 春•长宁区）同一直线上有、B、三点，若点、之间的距离与点、B 之间的距离之比是1：2，则 称点为点和点B 的牛点．如果点P 是点M 和点的牛点，且PM＝1，则M＝ ． 27．（2021 秋•兰山区期末）我们定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“正角”，其中 一个角是另一个角的“正角”．如：∠1＝110°，∠2＝50°，| 1 2| ∠﹣∠＝60°，则∠1 和∠2 互为“正角”． 如图，已知∠B＝120°，射线平分∠B，∠EF 在∠B 的内部，若∠EF＝60°，则图中互为“正角”的共有 对． 28．（2019 秋•莆田期末）定义：若α﹣β＝90°，且90°＜α＜180°，则我们称β 是α 的差余角．例如：若 α＝110°，则α 的差余角β＝20°． （1）如图1，点在直线B 上，射线E 是∠B 的角平分线，若∠E 是∠的差余角，求∠BE 的度数； （2）如图2，点在直线B 上，若∠B 是∠E 的差余角，那么∠B 与∠BE 有什么数量关系； （3）如图3，点在直线B 上，若∠E 是∠的差余角，且E 与在直线B 的同侧，∠AOC−∠BOC ∠COE 请你探 究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 29．（2021 秋•松滋市期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成 的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠D¿ 1 2 ∠B， 则∠D 是∠B 的内半角． （1）如图①所示，已知∠B＝70°，∠＝15°，∠D 是∠B 的内半角，则∠BD＝ ． （2）如图②，已知∠B＝63°，将∠B 绕点按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠D，当旋转的 角度α 为何值时，∠B 是∠D 的内半角？ （3）已知∠B＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以3°/秒的速度按顺时针 方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线D 始终在∠B 的外部，射线，B，，D 能否构成 内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 30．（2021 秋•武侯区期末）【阅读理解】 定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条 射线组成的角恰好满足2 倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P 在直线l 上，射线PR，PS，PT 位于直线l 同侧，若PS 平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射 线PR 是射线PS，PT 的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 （1）如图1，射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT 的“双倍和谐线”；射线PT （选填“是”或“不是”）射线PS，PR 的“双倍和谐线”； （2）如图2，点在直线M 上，⊥M，∠B＝40°，射线从出发，绕点以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时 间为t 秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线B，的“双倍和谐线”时，求t 的值； ②若在射线旋转的同时，∠B 绕点以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线D 平分∠B．当 射线位于射线D 左侧且射线是射线M，D 的“双倍和谐线”时，求∠的度数． 配套作业 1．（2022 秋•西城区校级期中）用“☆“定义一种新运算：对于任意有理数x 和y，x☆y＝2x+y 2 ﹣（为常 数）．例如：4 3 ☆＝2×4+•3 2 ﹣＝42+3 2 ﹣．若1 2 ☆＝3，则2 4 ☆的值为（ ） ．6 B．10 ．8 D．12 2．（2022 春•龙凤区期中）定义运算a⊗b=1 a + 1 b ，比如2⊗3¿ 1 2 + 1 3=5 6 ，下面给出了关于这种运算的几 个结论： ①2⊗（﹣3）¿−1 6 ；②此运算中的字母均不能取零；③⊗b＝b⊗；④⊗（b+）＝⊗+b⊗； 其中正确有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 3．（2022 秋•肇源县期中）将4 个数、b、、d 排成2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成| a b c d|，定义 | a b c d|=¿d﹣b．上述记号就叫做2 阶行列式，若| x+1 x−1 x−1 x+1|=¿12，则x＝（ ） ．2 B．3 ．4 D．6 4．（2021 秋•南丹县期末）在有理数范围内定义运算“☆”：☆b＝+b−1 2 ，如：1☆（﹣3）＝1 +−3−1 2 =−¿1．如果2☆x＝x☆（﹣1）成立，则x 的值是（ ） ．﹣1 B．5 ．0 D．2 5．（2022 秋•汉阳区期末）我们定义：如果两个角的差的绝对值等90°，就可以称这两个角互为垂角，例 如：∠1＝120°，∠2＝30°，| 1 2| ∠﹣∠＝90°，则∠1 和∠2 互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于 180°的角），如图，⊥B 于点，E⊥D，图中所有互为垂角的角有（ ） ．2 对 B．3 对 ．4 对 D．6 对 6（2021 秋•侯马市期末）定义：若+b＝，则称与b 是关于数的“平衡数”．比如3 与﹣4 是关于﹣1 的“平 衡数”，5 与12 是关于17 的“平衡数”．现有＝6x2 8 ﹣kx+12 与b＝﹣2（3x2 2 ﹣x+k）（k 为常数）始终 是数的“平衡数”，则它们是关于 的“平衡数”． 7．（2021 秋•文登区期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数x 和y，x※y＝xy+2（x+y）+2（为 常数），若2※（﹣3）的值为4，则的值为 ． 8．（2021 秋•城固县期末）在数的学习中，我们会对其中一些具有某种特质的数进行研究，如学习自然数 时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究一种特殊的数﹣﹣巧数．定义：若一个两 位数恰好等于它的各位数字之和的4 倍，则这个两位数称为巧数．若一个巧数的个位数字比十位数字大 2，则这个巧数是 ． 9．（2022 秋•珠海期中）给出新定义如下：f（x）＝|2x 2| ﹣，g（y）＝|y+3|；例如：f（2）＝|2×2 2| ﹣＝2， g（﹣6）＝| 6+3| ﹣ ＝3；根据上述知识，解下列问题： （1）若x＝﹣2，y＝3，则f（x）+g（y）＝ ； （2）若f（x）+g（y）＝0，求2x 3 ﹣y 的值； （3）若x＜﹣3，化简：f（x）+g（x）．（结果用含x 的代数式表示） 10．（2021 秋•全南县期末）定义：对于一个有理数x，我们把{x}称作x 的相伴数；若x≥0，则{x}¿ 1 2 x﹣ 1；若x＜0，则{x}¿−1 2 x+1．例：{1}¿ 1 2 ×1 1 ﹣¿−1 2 ． （1）求{3 2 }，{ 1} ﹣ 的值； （2）当＞0，b＜0 时，有{}＝{b}，求下列代数式的值； ①+b；②（+b）2 2 2 ﹣﹣b． 11．（2022 秋•丹徒区期中）定义一种新运算，观察下列各式： 1⊙3＝1×2+3＝5；4⊙（﹣1）＝4×2 1 ﹣＝7；（﹣2）⊙3＝（﹣2）×2+3＝﹣1；6⊙5＝6×2+5＝17； （1）请你想一想：用代数式表示⊙b 的结果为 ； （2）若≠b，那么⊙b b⊙（填入“＝”或“≠”）； （3）若⊙（﹣6b）＝4，请计算（﹣5b）⊙（+b）的值． 12．（2022 秋•通州区期中）定义：已知M，为关于x 的多项式，若M﹣＝k，其中k 为大于0 的常数，则 称M 是的“友好式”，k 叫做M 关于的“友好值”．例如：M＝x2+2x+3，＝x2+2x 2 ﹣，M﹣＝ （x2+2x+3）﹣（x2+2x 2 ﹣）＝5，则称M 是的“友好式”，M 关于的“友好值”为5． （1）已知M＝（x+3）（x 1 ﹣），＝（x+1）2，则M 是的“友好式”吗？若是，请证明并求出M 关于 的“友好值”；若不是，请说明理由； （2）已知M＝（2x﹣m）2，＝4x2 6 ﹣x+，若M 是的“友好式”，且“友好值”为1 4 求m，的值． 13．（2022 秋•咸安区期中）定义：若﹣B＝，则称与B 是关于数的伴随数．比如4 与3 是关于1 的伴随数，