专题18 数轴上的动点专题复习导学案及配套作业(解析版)

专题18 数轴上的动点专题（解析版） 第一部分 学 类型一 数轴上的和差倍分问题 例1 （2020 秋•京山市期中）已知数轴上有、B 两个点对应的数分别是、b，且满足|+3|+（b 9 ﹣）2＝0； （1）求、b 的值； （2）点M 是数轴上、B 之间的一个点，使得M＝2MB，求出点M 所对应的数； （3）点P，点Q 为数轴上的两个动点，点P 从点以3 个单位长度每秒的速度向右运动，点Q 同时从B 点以2 个单位长度每秒的速度向左运动，设运动时间为t 秒，若P+BQ＝2PQ，求时间t 的值． 思路引领：（1）先根据非负数的性质求出，b 的值即可； （2）先根据两点间的距离公式可求B，再根据题意即可得出结论； （3）先用t 表示出P，BQ 及PQ 的值，再根据P+BQ＝2PQ 列出关于t 的方程，求出t 的值即可． 解：（1）∵|+3|+（b 9 ﹣）2＝0， +3 ∴ ＝0，b 9 ﹣＝0，解得＝﹣3，b＝9； （2）B＝9﹣（﹣3）＝12， ∵M＝2MB， ∴点M 所对应的数是﹣3+12× 2 3=¿5； （3）∵点P 从点以每秒3 个单位的速度向右运动，点Q 同时从B 点出发以每秒2 个单位的速度向左运 动， ∴P＝3t，BQ＝2t，PQ＝12 5 ﹣t． ∵P+BQ＝2PQ， 3 ∴t+2t＝24 10 ﹣ t，解得t¿ 8 5 ； 还有一种情况，当P 运动到Q 的右边时，PQ＝5t 12 ﹣ ，方程变为3t+2t＝2（5t 12 ﹣ ），解得t¿ 24 5 ． 故时间t 的值为8 5或24 5 ． 总结提升：本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 变式训练 1．（2020 秋•包河区期末）点在数轴上对应的数为，点B 对应的数为b，且、b 满足|+5|+（b 3 ﹣）2＝0． （1）求点，B 所表示的数； （2）点P 在直线B 上点B 右边一点，且P＝bPB，点Q 为PB 的中点，求线段Q 的长． 思路引领：（1）根据、b 满足|+5|+（b 3 ﹣）2＝0，即可得到、b 的值，从而可以得到点，B 所表示的数； （2）设点P 表示的数为m，先根据中点的定义表示点Q，根据数轴上两点的距离表示P＝bPB，列方程 可得结论． 解：（1）∵|+5|+（b 3 ﹣）2＝0， +5 ∴ ＝0，b 3 ﹣＝0， 解得＝﹣5，b＝3， 即点，B 所表示的数分别为﹣5，3； （2）设点P 表示的数为m， ∵点P 在直线B 上点B 右边一点， ∴m＞3， ∵点Q 为PB 的中点， ∴点Q 表示的数为m+3 2 ， ∵P＝bPB， ∴m+5＝b（m 3 ﹣）， ∵b＝3， ∴m＝7， ∴Q＝B+BQ¿ m+3 2 +¿5¿ 7+3 2 +¿5＝10． 总结提升：本题考查一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数 轴上两点的距离表示线段的长． 类型二 数轴上的两点间的距离问题 例2（2020 秋•铁西区校级期末）已知数轴上两点、B 对应的数分别为﹣1，3，点P 为数轴上一动点，其对 应的数为x． （1）若点P 到点、点B 的距离相等，求点P 对应的数； （2）数轴上是否存在点P，使点P 到点、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值．若不存在，请 说明理由？ （3）当点P 以每分钟一个单位长度的速度从点向左运动时，点以每分钟5 个单位长度向左运动，点B 以每分钟20 个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点、点B 的距离相等？ 思路引领：（1）根据点P 到点、点B 的距离相等，结合数轴可得答； （2）此题要分两种情况：①当P 在B 左侧时，②当P 在B 右侧时，然后再列出方程求解即可； （3）点P、点、点B 同时向左运动，点B 的运动速度最快，点P 的运动速度最慢．故P 点总位于点右 侧，B 可能追上并超过．P 到、B 的距离相等，应分两种情况讨论． 解：（1）如图，若点P 到点、点B 的距离相等，P 为B 的中点，BP＝P． 依题意得3﹣x＝x﹣（﹣1）， 解得x＝1； （2）由B＝4，若存在点P 到点、点B 的距离之和为5，P 不可能在线段B 上，只能在点左侧，或B 点 右侧． ①P 在点左侧，P＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x， 依题意得（﹣1﹣x）+（3﹣x）＝5， 解得 x＝﹣15； ②P 在点B 右侧，P＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x 3 ﹣， 依题意得（x+1）+（x 3 ﹣）＝5， 解得x＝35； （3）设运动t 分钟，此时P 对应的数为﹣t，B 对应的数为3 20 ﹣ t，对应的数为﹣1 5 ﹣t． ①B 未追上时，P＝PB，则P 为B 中点．B 在P 的右侧，在P 的左侧． P＝﹣t﹣（﹣1 5 ﹣t）＝1+4t，PB＝3 20 ﹣ t﹣（﹣t）＝3 19 ﹣ t， 依题意有1+4t＝3 19 ﹣ t， 解得 t¿ 2 23； ②B 追上时，、B 重合，此时P＝PB．、B 表示同一个数． 依题意有﹣1 5 ﹣t＝3 20 ﹣ t， 解得t¿ 4 15． 即运动2 23或4 15分钟时，P 到、B 的距离相等． 总结提升：此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程． 变式训练 1．（2022 秋•上杭县期中）已知M、在数轴上，M 对应的数是﹣3，点在M 的右边，且距M 点4 个单位长 度，点P、Q 是数轴上两个动点． （1）直接写出点所对应的数： ； （2）当点P 到点M、的距离之和是5 个单位时，点P 对应的数是多少？ （3）如果P、Q 分别从点M、出发，均沿数轴向左运动，点P 每秒走2 个单位长度，先出发5 秒钟，点 Q 每秒走3 个单位长度，当P、Q 两点相距2 个单位长度时，点P、Q 对应的数各是多少？ 思路引领：（1）根据向右就做加法，列式求解； （2）根据两点间的距离公式列方程求解； （3）设P 点运动时间为t，列方程求出t 的值，再求P，Q 对应的数． 解：（1）﹣3+4＝1， 故答为：1； （2）设P 点表示的数为x，则|x+3|+|x 1| ﹣＝5， 解得：x＝﹣35 或x＝15； （3）设P 点运动的时间为t 秒，则Q 运动的时间为（t 5 ﹣）秒， 由题意得：|（﹣3 2 ﹣t）﹣[1 3 ﹣（t 5 ﹣）]|＝2， 解得：t＝17 或t＝21， 当t＝17 时，P 表示的数为：﹣3 34 ﹣ ＝﹣37，Q 表示的数为：1 36 ﹣ ＝﹣35， 当t＝21 时，P 表示的数为：﹣3 42 ﹣ ＝﹣45，Q 表示的数为：1 48 ﹣ ＝﹣47． 总结提升：本题考查了数轴，方程思想和分类讨论思想是解题的关键． 类型三 数轴上的行程问题 例3（2020 秋•香河县期末）数轴上点对应的数为﹣5，B 点在点右边，电子蚂蚁甲、乙在B 分别以2 个单 位/秒、1 个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在以3 个单位/秒的速度向右运动． （1）若电子蚂蚁丙经过5 秒运动到点，求点表示的数； （2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1 秒遇到乙，求B 点表示的数； （3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t 秒，是否存在t 的值，使丙到乙的距离是丙到甲的 距离的2 倍？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由． 思路引领：（1）根据电子蚂蚁丙运动速度与时间来计算相关线段的长度； （2）设B 表示的数为x，则B 到的距离为|x+5|，点B 在点的右边，故|x+5|＝x+5，根据时间差为1 秒列 出方程并解答； （3）分相遇前和相遇后两种情况进行解答． 解：（1）由题知： ：﹣5+3×5＝10 即点表示的数为10； （2）设B 表示的数为x，则B 到的距离为|x+5|，点B 在点的右边，故|x+5|＝x+5， 由题得：x+5 3+1−x+5 3+2=¿1， 即x＝15； （3）①在电子蚂蚁丙与甲相遇前，2（20 3 ﹣t 2 ﹣t）＝20 3 ﹣t﹣t，此时t¿ 10 3 （s）； ②在电子蚂蚁丙与甲相遇后，2×（3t+2t 20 ﹣ ）＝20 3 ﹣t﹣t，此时t¿ 30 7 （s）； 综上所述，当t¿ 10 3 s 或t¿ 30 7 s 时，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2 倍． 总结提升：此题考查一元一次方程的运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． 针对训练 1．（2014 秋•拱墅区校级期末）如图1，已知数轴上有三点、B、，＝2B，点对应的数是400． （1）若B＝600，求点到原点的距离； （2）在（1）的条件下，动点P、Q 分别从、同时出发，其中P、Q 向右运动，R 向左运动如图2，已知 点Q 的速度是点R 速度2 倍少5 个单位长度/秒，点P 的速度是点R 的速度的3 倍，经过20 秒，点P、Q 之间的距离与点Q、R 的距离相等，求动点Q 的速度． 思路引领：（1）根据B＝600，＝2B，得出＝1200，利用点对应的数是400，即可得出点对应的数； （2）假设点R 速度为x 单位长度/秒，根据点P、Q 之间的距离与点Q、R 的距离相等，得出等式方程求 出即可． 解：（1）∵B＝600，＝2B， ∴＝1200， ∵点对应400， ∴点对应的数为：400 1200 ﹣ ＝﹣800，即点到原点的距离为800； （2）设点R 速度为x 单位长度/秒，依题意有 20（3x 5 ﹣）＝1200 20[3 ﹣ x﹣（2x 5 ﹣）]， 解得x＝15， 2x 5 ﹣＝2×15 5 ﹣＝25． 或20（3x 5 ﹣）＝20[3x﹣（2x 5 ﹣）] 1200 ﹣ ， 解得x＝﹣25（舍去）． 答：动点Q 的速度为25 单位长度/秒． 总结提升：此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅 读量较大应细心分析． 类型四 数轴上的动点定值问题 例4（2020 秋•双流区校级期中）如图1，已知数轴上有三点、B、，B＝120，点对应的数是80． （1）若B¿ 1 2，求点在数轴上对应的数； （2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q 两点同时从、出发向右运动，同时动点R 从点向左运动， 已知点P 的速度是点R 的速度的3 倍，点Q 的速度是点R 的速度2 倍少10 个单位长度/秒，经过5 秒， 点P、Q 之间的距离与点Q、R 之间的距离相等，求动点Q 的速度； （3）如图3，在（1）的条件下，表示原点，动点P、T 分别从、两点同时出发向左运动，同时动点R 从点出发向右运动，点P、T、R 的速度分别为10 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒， 在运动过程中，如果点M 为线段PT 的中点，点为线段R 的中点，请问PR+OT MN 的值是否会发生变化？ 若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．若其它条件不变，将R 的速度改为5 个单位长度/ 秒，求10 秒后PR+OT MN 的值． 思路引领：（1）由题意可知，点在点B 的右侧，点在点B 的左侧，先确定点B 表示的数为﹣40，再求 出点表示的数； （2）设点R 的速度为x 单位长度/秒，则点P 的速度为3x 单位长度/秒，点Q 的速度为（2x 10 ﹣ ）单位 长度/秒，根据题意列方程求出x 的值，再求点Q 的速度； （3）设运动的时间为t 秒，用含t 的代数式分别表示出点P、点T 和点R 对应的数，再根据线段中点的 意义求出点M 和点对应的数，然后用含t 的代数式表示线段PR、T 和M 的长，即可求得结果． 解：根据题意可知，点在点B 的右侧，点在点B 的左侧， 因为点对应的数是80，B＝120， 所以80 120 ﹣ ＝﹣40， 所以点B 表示的数是﹣40． （1）若B¿ 1 2，则＝2B＝2×120＝240， 所以80 240 ﹣ ＝﹣160， 所以点表示的数是﹣160． （2）设点R 的速度为x 单位长度/秒，则点P 的速度为3x 单位长度/秒，点Q 的速度为（2x 10 ﹣ ）单位 长度/秒， 由经过5 秒，点P、Q 之间的距离与点Q、R 之间的距离相等可知，此时点P 与点R 重合， 根据题意得5×3x+5x＝240， 解得x＝12， 所以2×12 10 ﹣ ＝14（单位长度/秒）， 所以点Q 的速度为14 单位长度/秒． （3）设运动的时间为t 秒， 根据题意可知，点P 表示的数为﹣160 10 ﹣ t，点T 表示的数为﹣2t，点R 表示的数为80+4t， 所以点M 表示的数为(−160−10t )+(−2t ) 2 ， 即﹣80 6 ﹣t， 点表示的数为80+4t 2 ， 即使40+2t， 所以PR＝（80+4t）﹣（﹣160 10 ﹣ t）＝240+14t，T＝2t，M＝（40+2t）﹣（﹣80 6 ﹣t）＝120+8t， 所以PR+OT MN =(240+14 t )+2t 120+8t =¿2， 所以PR+OT MN 的值不变，它的值为2； 若R 的速度为5 个单位长度/秒，则点R 表示的数为80+5t， 所以点表示的数为80+5t 2 ，PR＝（80+5t）﹣（﹣160 10 ﹣ t）＝240+15t，M¿ 80+5t 2 −¿（﹣80 6 ﹣t） ¿ 240+17t 2 ， 当t＝10 时，PR＝240+15×10＝390，T＝2×10＝20，M¿ 240+17×10 2 =¿205， 所以PR+OT MN =390+20 205 =¿2． 总结提升：此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方 法，解题的关键是弄清楚点运动的方向、速度和时间，并且正确地用代数式表示有关的点对应的数． 类型五 数轴上的动点规律问题 例5（2020 秋•洞头区期中）如图，点的初始位置位于数轴上表示1 的点，现对点做如下移动：第1 次向左 移动3 个单位长度至B 点，第2 次从B 点向右移动6 个单位长度至点，第3 次从点向左移动9 个单位长 度至D 点，第4 次从D 点向右移动12 个单位长度至E 点，…，依此类推，则点E 在数轴上所表示的数 为 ，这样第 次移动到的点到原为2020． 思路引领：根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到 原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就 可解决问题． 解：第1 次点向左移动3 个单位长度至点B，则B 表示的数为1 3 ﹣＝﹣2； 第2 次从点B 向右移动6 个单位长度至点，则表示的数为﹣2+6＝4； 第3 次从点向左移动9 个单位长度至点D，则D 表示的数为4 9 ﹣＝﹣5； 第4 次从点D 向右移动12 个单位长度至点E，则点E 表示的数为﹣5+12＝7； 第5 次从点E 向左移动15 个单位长度至点F，则F 表示的数为7 15 ﹣ ＝﹣8； …； 由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：−1 2 （3+1）， 当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：3n+2 2 ， 当移动次数为奇数时，−1 2 （3+1）＝﹣2020，¿ 4039 3 （不合题意舍去）， 当移动次数为偶数时，3n+2 2 =¿2020，解得：＝1346， 故答为：7；1346． 总结提升：本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点的坐标变化 和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决 这道题的关键． 11．（2021 秋•天宁区校级期中）【阅读理解】点、B、为数轴上三点，如果点在、B 之间且到的距离是点 到B 的距离4 倍，那么我们就称点是{，B}的奇点． 例如，如图1，点表示的数为﹣4，点B 表示的数为1．表示0 的点到点的距离是4，到点B 的距离是 1，那么点是{，B}的奇点；又如，表示﹣3 的点D 到点的距离是1，到点B 的距离是4，那么点D 就不 是{，B}的奇点，但点D 是{B，}的奇点． 【知识运用】如图2，M、为数轴上两点，点M 所表示的数为﹣4，点所表示的数为6． （1）数 所表示的点是{M，}的奇点；数 所表示的点是{，M}的奇点； （2）如图3，、B 为数轴上两点，点所表示的数为﹣50，点B 所表示的数为30．现有一动点P 从点B 出发向左运动，当P 点运动到数轴上的什么位置时，P、和B 中恰有一个点为其余两点的奇点？ 思路引领：（1）设数x 所表示的点是{M，M}的奇点，由题意可得x+4＝4（6﹣x），求出x 即可；设数 y 所表示的点是{，M}的奇点，由题意可得6﹣y＝4（y+4），求出y 即可； （2）设P 点表示的数是，分四种情况讨论：当P 是{，B}的奇点时，＝14；当P 时{B，}的奇点时，＝ ﹣34；当是{B，P}的奇点时，＝﹣70；当是{P，B}的奇点时，＝﹣370． 解：（1）设数x 所表示的点是{M，}的奇点， ∴x+4＝4（6﹣x）， 解得x＝4， ∴数4 所表示的点是{M，}的奇点； 设数y 所表示的点是{，M}的奇点， 6 ∴﹣y＝4（y+4）， 解得y＝﹣2， ∴数﹣2 所表示的点是{，M}的奇点， 故答为：4；﹣2； （2）设P 点表示的数是， 当P 是{，B}的奇点时，P＝4PB， +50 ∴ ＝4（30﹣）， 解得＝14； 当P 时{B，}的奇点时，PB＝4P， 4 ∴（+50）＝30﹣， 解得＝﹣34； 当是{B，P}的奇点时，B＝4P， 80 ∴ ＝4（﹣50﹣）， 解得＝﹣70； 当是{P，B}的奇点时，4B＝P， 320 ∴ ＝﹣50﹣， 解得＝﹣370； 当B 是{，P}的奇点时，B＝4BP， 80 ∴ ＝4（﹣30）， 解得＝50； 当B 是{P，}的奇点时，BP＝4B， 30 ∴﹣ ＝4×80， 解得＝350； 综上所述，P 点表示的数为14 或﹣34 或﹣70 或﹣370 或50 或350 时，P、、B 中恰有一个点为其余两点 的奇点． 总结提升：本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间距离的求法，弄清定义是解 题的关键． 第二部分 配套作业 1．已知：b 是最小的正整数，且、b、满足（﹣5）2+|+b|＝0．、b、所对应的点分别为、B、． （1）请求出、b、的值； （2）点P 为动点，其对应的数为x，当点P 在原点到2 对应的点之间运动时（即0≤x≤2 时），请化简式 子：|x+1| | ﹣x 1| ﹣；（写出化简过程）； （3）在（1）、（2）的条件下，点、B、开始在数轴上运动，若点以每秒1 个单位长度的速度向左运动， 同时，点B 和点分别以每秒2 个单位长度和5 个单位长度的速度向右运动，若点B 与点之间的距离表示 为B，点与点B 之间的距离表示为B．设运动时间为t 秒，请问：B﹣B 的值是否随着时间t 的变化而改 变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 思路引领：（1）根据b 是最小的正整数，即可确定b 的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和