专题12 期末复习角的计算专题导学案及配套作业(原卷版)

第12 讲 期末复习角的计算专题（原卷版） 第一部分 学 类型一 方程思想 1．（2012 秋•高淳区期末）已知∠α 和∠β 互为补角，并且∠β 的一半比∠α 小30°，求∠α． 2．（2021 秋•潜江期末）如图，已知∠B＝2∠，D 平分∠B，且∠D＝20°，求∠B 的度数． 3．如图，、、B 三点在一条直线上，∠＝2∠D，E 平分∠BD，∠E＝77°，求∠D 的度数． 4．如图，已知∠B 内有两条射线，D，∠D＝2∠BD，∠¿ 1 3 ∠B，∠D＝70°．求∠的度数． 5．（2019 秋•东西湖区期末）如图，∠与∠B 互余，D 平分∠B，∠E＝4∠E． （1）若∠D＝70°，求∠E 的度数；（2）若∠DE＝63°，求∠E 的度数． 类型二 分类讨论思想 6．已知∠B＝70°，∠B＝40°，则∠的度数是 ． 7．如图，∠B＝120°，∠＝70°，过点作射线D，使∠BD＝3∠B．求∠D 的度数． 类型三 单角平分线 8．（2022 秋•萧山区期末）已知为直线B 上一点，射线D，，E 位于直线B 上方，D 在E 的左侧，∠＝ 120°，∠DE＝50°，设∠BE＝． （1）若射线E 在∠B 的内部（如图1）， ①若＝43°，求∠D 的度数； ②当∠D＝3∠E 时，求∠D 的度数． （2）若射线E 恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求的值． 9．（2021 秋•未央区校级期末）如图，已知∠B＝150°，为∠B 内部的一条射线，∠B＝60°．若E 平分∠B， D 为∠B 内部的一条射线，∠D¿ 1 2 ∠BD，求∠DE 的度数． 10．（1）如图1，已知是直线上一点，B 是一条射线，D 平分∠B，E 在∠B 内，∠E＝2∠BE，∠DE＝70°， 求∠E 的度数． （2）如图2，为直线B 上一点，∠＝50°，D 平分∠，∠DE＝90°． ①请你数一数，图中有 个小于平角的角； ②求出∠BD 的度数； ③请通过计算说明E 是否平分∠B． 11．如图，已知D 平分∠B，E 在∠B 内，且∠BE¿ 1 3 ∠E，∠＝170°． （1）若知∠B＝70°，求∠E 的度数； （2）若知∠DE＝70°，求∠E 的度数． 类型四 双角平分线 12．（如图1，已知∠B 的内部有一条射线，M、分别平分∠和∠B． （1）若∠B＝120°，∠B＝40°，求∠M 的度数． （2）若去掉（1）中的条件∠B＝40°，只保留∠B＝120°，求∠M 的度数． （3）若将∠B 内部的射线旋转到∠B 的外部，如图2，∠B＝120°，求∠M 的度数，并请用一句话或一个 式子概括你发现的∠M 与∠B 的数量关系． 13．如图，已知B 平分∠，D 平分∠E，∠D＝110°，∠BE＝100°，求∠E 的度数． 14．（2020 秋•和平区期末）如图：∠B：∠B：∠D＝2：3：4，射线M、，分别平分∠B 与∠D，又∠M＝ 84°，则∠B 为（ ） ．28° B．30° ．32° D．38° 类型五 整体思想 15．如图，∠与∠B 互补，E 平分∠B，F 平分∠，试说明∠E 与∠F 具有怎样的数量关系． 16．（2019 秋•天峨县期末）如图，直线B、D 相交于点，∠BE＝90°，M 平分∠D，平分∠DE． （1）若∠ME＝27°，求∠的度数； （2）当∠BD＝x°（0＜x＜90）时，求∠M 的度数． 17．如图，已知∠B 内部有顺次的四条射线：E、、D、F、E 平分∠，F 平分∠DB （1）若∠B＝160°，∠D＝40°，求∠EF 的度数； （2）若∠B＝α，∠D＝β，求∠EF 的度数 （3）从（1）、（2）的结果，你能看出什么规律吗？ 类型六 射线的转动 19．（2021 秋•盱眙县期末）【阅读理解】 射线是∠B 内部的一条射线，若∠¿ 1 2 ∠B，则称射线是射线在∠B 内的一条“友好线”．如图1，∠B＝ 60°，∠＝20°，则∠¿ 1 2 ∠B，所以射线是射线在∠B 内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1 中，若作∠B 的平分线D，则射线D 射线B 在∠B 内的一条“友好线”；（填“是”或 “不是”） （2）如图2，∠B 的度数为，射线M 是射线B 在∠B 内的一条“友好线”，平分∠B，则∠M 的度数为 ； （用含的代数式表示） （3）如图3，射线B 从与射线重合的位置出发，绕点以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线从与射 线的反向延长线重合的位置出发，绕点以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． 问：当运动时间为多少秒时，射线、B、中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线 所组成的角内的一条“友好线”？ 20．已知，是∠B 内部的一条射线，且∠¿ 1 3 ∠B． （1）如图1 所示，若∠B＝120°，M 平分∠B，平分∠，求∠M 的度数； （2）如图2 所示，∠B＝x°，射线P、射线Q 分别从、B 出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点 顺时针旋转，P 和Q 分别只在∠和∠B 内部旋转； ①当运动t 秒时，请分别写出∠P 和∠Q 的度数（用x、t 表示）；∠P 和∠Q 的数量关系如何？ ②若∠B＝150°，当t 为何值时，P⊥Q？ （3）如图3 所示，∠B 是直角，从点出发引射线D，且∠D﹣∠BD＝∠D，请直接写出∠D 与∠B 的度数之 比． 第二部分 配套作业 一．选择题 1．（2019 秋•青山区期末）如图，∠B＝α，∠B＝β，M，分别平分∠B，∠B，平分∠，下列结论：①∠M＝ ∠；②2∠M＝∠﹣∠B；③2∠M＝∠+∠B；④2∠＝∠+∠B．其中正确的个数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 二．填空题 2．（2021 秋•江岸区期末）如图，射线B、为锐角∠D 的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则 ∠D 的度数为 ． 三．解答题（共16 小题） 3．（2010 秋•南长区期末）一个角的补角比这个角的三倍多10 度，求这个角的余角． 4．（2019 秋•宜州区期末）已知一个角的余角比这个角的补角的1 2 小12°，如果设这个角为x 度，请求出这 个角的余角和补角的度数． 5．（2021 春•奎文区期中）下面是小明参加七年级数学期中考试解的一道题． 题目：在同一平面内，若∠B＝70°，∠B＝20°，求∠的度数． 解：根据题意可画出图形． 因为∠＝∠B﹣∠B＝70° 20° ﹣ ＝50°， 所以∠＝50°． 若你是老师，你会给小明判满分吗？若会，请说明理由；若不会，请你指出小明的错误，并给出正确的 解答． 6．（2020 秋•苏州期末）补全下面的解题过程： 如图，已知是∠B 内部的一条射线，D 是∠B 的平分线，∠＝2∠B，且∠B＝40°，求∠D 的度数． 解：∵∠＝2∠B，∠B＝40°， ∠＝ °． ∴∠B＝∠+∠ ＝ °． ∵D 平分∠B， ∴∠D¿ 1 2 ∠ ＝ °． ∴∠D＝∠ ﹣∠D＝20°． 7．（2021 秋•石景山区期末）如图，已知∠B＝120°，P 平分∠B．反向延长射线至． （1）依题意画出图形，直接写出∠B 的度数是 °． （2）完成下列证明过程： 证明：如图，∵P 是∠B 的平分线， ∴∠P¿ 1 2 ∠ ．（ ） ∵∠B＝120°， ∴∠P＝ °． ∵∠B＝ °． ∴∠P＝∠B．（ ） 8．（2018 秋•长丰县期末）如图，已知∠D＝90°，∠BE＝90°，平分∠BD，∠D＝30°，求∠E 的度数． 9．（2018 秋•开州区期末）如图，已知∠B＝2∠，D 平分∠B，且∠＝38°，求∠D 的度数． 10．（2021 秋•滨江区期末）如图，⊥B 于点，∠D¿ 1 4 ∠BD，E 平分∠BD． （1）求∠E 和∠E 的度数． （2）过点作射线F，若F⊥E，求∠BF 的度数． 11．将分别含有30°和45°的三角板如图放置，且30°和45°角的顶点重合在一起，M 平分∠，平分∠D． （1）画出几何图形，并求出∠M 的大小； （2）若将30°角的三角板换成一个任意角的纸三角板，其他条件不变，则（1）中的结论是否变化？说 明理由． 12．（2019 秋•高新区期末）如图，为直线B 上一点，∠＝48°，D 平分∠，∠DE＝90°． （1）图中有 个小于平角的角； （2）求出∠BD 的度数； （3）试判断E 是否平分∠B，并说明理由． 13．如图，M 平分∠B，平分∠D，若∠M＝60°，∠B＝20°，求∠D 的度数． 14．（2017 秋•荔湾区期末）已知，∠D＝160°，B、M、是∠D 内的射线 （1）如图1，若M 平分∠B，平分∠BD，则∠M＝ ° （2）如图2，是∠D 内的射线，若∠B＝20°，M 平分∠，平分∠BD，当射线B 在∠内时，求∠M 的大小； （3）如图2，在（2）的条件下，当∠B＝2t°时，∠M：∠D＝2：3，求t 的值． 15．（2017 秋•兴隆台区期末）如图，、D 为∠B 内部的两条射线，M 平分∠，平分∠BD． （1）若∠B＝90°，∠M＝70°，求∠D 的度数； （2）若∠B＝α，∠M0＝β，求∠D 的度数（用含有α、β 的式子表示）． 16．（2020 秋•徐州期末）如图，B 与交于点，D 平分∠B，E 平分∠． （1）若∠B＝60°，求∠E 的度数； （2）∠D 与∠E 存在怎样的数量关系？请说明理由． 17．射线是∠B 内部的一条射线，若∠¿ 1 2 ∠B，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图（1），∠B＝ 60°，∠＝∠D＝∠BD＝20°，则∠¿ 1 2 ∠B，称射线是射线的伴随线；同时，由于∠BD¿ 1 2 ∠D，称射线D 是 射线B 的伴随线． （1）如图（2），∠B＝120°，射线M 是射线的伴随线，则∠M＝ °，若∠B 的度数是α，射线是射 线B 的伴随线，射线是∠B 的平分线，则∠的度数是 ；（用含α 的代数式表示） （2）如图（3），若∠B＝180°，射线与射线重合，并绕点以每秒3°的速度逆时针转动，射线D 与射线 B 重合，并绕点以每秒5°的速度顺时针转动，当射线D 与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得∠D 的度数是20°？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； ②当t 的值为多少时，射线，D，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 18．如图1，已知∠B＝30°． （1）如图2，∠B 为∠B 外的一个锐角，且∠B＝80°，M 平分∠B，平分∠，求∠M 的度数． （2）若射线P 绕点在∠B 外部旋转，M 平分∠PB，平分∠P，请直接写出∠M 的度数．