专题12 期末复习角的计算专题导学案及配套作业(解析版)

专题12 期末复习角的计算专题（解析版） 第一部分 学 类型一 方程思想 1．（2012 秋•高淳区期末）已知∠α 和∠β 互为补角，并且∠β 的一半比∠α 小30°，求∠α． 思路引领：根据互为补角的和等于180°，然后根据题意列出关于α、β 的二元一次方程组，求解即可． 解：根据题意得{ α+β=180° ① α−1 2 β=30° ②， ①﹣②得，3 2β＝150°， 解得β＝100°， 把β＝100°代入①得，α+100°＝80°， 解得α＝80°． 总结提升：本题考查了互为补角的和等于180°的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2021 秋•潜江期末）如图，已知∠B＝2∠，D 平分∠B，且∠D＝20°，求∠B 的度数． 思路引领：此题可以设∠＝x，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程 即可进行计算． 解：设∠＝x，则∠B＝2x． ∴∠B＝3x． 又D 平分∠B， ∴∠D＝15x． ∴∠D＝∠D﹣∠＝15x﹣x＝20°． ∴x＝40° ∴∠B＝120°． 总结提升：本题考查了角平分线的定义及角的计算，设出适当的未知数，运用方程求出角的度数是解决 此类问题的一般方法． 3．如图，、、B 三点在一条直线上，∠＝2∠D，E 平分∠BD，∠E＝77°，求∠D 的度数． 思路引领：设∠D＝x，则∠＝2x，根据∠E＝77°，表示出∠DE 的度数，然后根据∠B＝180°，列方程，求 出x 的值即可． 解：设∠D＝x，则∠＝2x， ∵∠E＝77°，E 平分∠BD， ∴∠DE＝∠BE＝77°﹣x， 2 ∴x+x+2（77°﹣x）＝180°， 解得：x＝26°． 即∠D＝26°． 总结提升：本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°． 4．如图，已知∠B 内有两条射线，D，∠D＝2∠BD，∠¿ 1 3∠B，∠D＝70°．求∠的度数． 思路引领：设∠BD＝x°，则∠D＝2x°，∠＝（2x 70 ﹣ ）°，∠B＝（x+70）°，根据∠¿ 1 3∠B，即可列方程求 得∠BD 的度数，进而求得∠的度数． 解：设∠BD＝x°，则∠D＝2x°，∠＝（2x 70 ﹣ ）°，∠B＝（x+70）°， ∵∠¿ 1 3∠B， 2 ∴x 70 ﹣ ¿ 1 3（x+70）， 解得：x＝56， 则∠＝2×56° 70° ﹣ ＝42°． 总结提升：本题考查了角度的计算，理解图中角度之间的关系，转化为方程问题是关键． 5．（2019 秋•东西湖区期末）如图，∠与∠B 互余，D 平分∠B，∠E＝4∠E． （1）若∠D＝70°，求∠E 的度数； （2）若∠DE＝63°，求∠E 的度数． 思路引领：（1）根据互余得到∠B，再根据角平分线的定义表示出∠B，可求∠，再根据∠E＝4∠E，且 ∠E+∠E＝∠列方程求解即可； （2）设∠D＝∠BD＝x°，则∠E＝63°﹣x°，∠E¿ 63°−x° 4 ，由∠E+∠E+∠B＝90°列方程求出x 的值，再求 解即可． 解：（1）∵∠与∠B 互余， + ∴∠∠B＝90°， ∴∠B＝90°， 又∵∠D＝70°， ∴∠BD＝20°， ∵D 平分∠B， ∴∠B＝2∠BD＝40°， ∴∠＝50°， 又∵∠E＝4∠E，且∠E+∠E＝∠， 4 ∴∠E+∠E＝50°， ∴∠E＝10°； （2）设∠D＝∠BD＝x°，则∠E＝63°﹣x°，∠E¿ 63°−x° 4 ， 由∠E+∠E+∠B＝90°可得63°−x° 4 −¿63°﹣x°+2x°＝90°， 解得x＝15， ∴∠E＝63°﹣x°＝63° 15° ﹣ ＝48°． 总结提升：本题考查了余角和补角，角平分线的定义，准确识图是解题的关键． 类型二 分类讨论思想 6．已知∠B＝70°，∠B＝40°，则∠的度数是 ． 思路引领：分在∠B 内和在∠B 外两种情况考虑，依此画出图形，根据角与角之间结合∠B、∠B 的度数， 即可求出∠的度数． 解：当在∠B 内时，如图1 所示． ∵∠B＝70°，∠B＝40°， ∴∠＝∠B﹣∠B＝30°； 当在∠B 外时，如图2 所示． ∵∠B＝70°，∠B＝40°， ∴∠＝∠B+∠B＝110°． 故答为：30°或110°． 总结提升：本题考查了角的计算，分在∠B 内和在∠B 外两种情况考虑是解题的关键． 7．如图，∠B＝120°，∠＝70°，过点作射线D，使∠BD＝3∠B．求∠D 的度数． 思路引领：分两种情况，表示出∠D，即可求解． 解：（1）∵∠B＝∠B﹣∠， ∴∠B＝120° 70° ﹣ ＝50°， ∵∠BD＝3∠B， ∴∠BD＝150°， ∴∠D＝∠BD﹣∠B＝30°； （2）∵∠D＝360°﹣∠BD﹣∠B， ∴∠D＝360° 120° 150° ﹣ ﹣ ＝90°． 答：∠D 的度数是30°或90°． 总结提升：本题考查角的计算，关键是要分两种情况，准确表示出有关的角． 类型三 单角平分线 8．（2022 秋•萧山区期末）已知为直线B 上一点，射线D，，E 位于直线B 上方，D 在E 的左侧，∠＝ 120°，∠DE＝50°，设∠BE＝． （1）若射线E 在∠B 的内部（如图1）， ①若＝43°，求∠D 的度数； ②当∠D＝3∠E 时，求∠D 的度数． （2）若射线E 恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求的值． 思路引领：（1）①先求出∠B，再求出∠E，即可求出得出∠D 的大小；②根据题意可知2∠E+50°＝ 120°据此即可求出∠E 的大小，进而求出∠D 的大小； （2）E 平分∠B 时，需要分类讨论，并根据角平分线的定义解答即可． 解：（1）①∠B＝180°﹣∠＝60°， 由＝43°，可得∠E＝∠B﹣∠BE＝17°， ∴∠D＝∠DE﹣∠E＝50° 17° ﹣ ＝33°； ②∵∠D＝3∠E，∠D+∠D＝120°，∠DE＝50°， 3 ∴∠E+50°﹣∠E＝120°， 解得∠E＝35°， ∴∠D＝∠DE﹣∠E＝50° 35° ﹣ ＝15°； （2）当E 平分∠B 时，如图所示： ∵∠＝120°，∴∠B＝180°﹣∠＝60°， ∴∠BE¿ 1 2 ∠BOC=¿30°．即＝30°； 当E 平分∠时，如图所示： ∠BE＝2∠B＝120°，即＝120°； 当E 平分∠BD 时，如图所示： ∠BE＝∠DE＝50°，即＝50°； 当E 平分∠D 时， ∠BE＝∠E+∠B＝50°+60°＝110°，即＝110°； E 平分∠D 是不成立． 所以＝30°、50°、110°或120°． 总结提升：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发， 把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． 9．（2021 秋•未央区校级期末）如图，已知∠B＝150°，为∠B 内部的一条射线，∠B＝60°．若E 平分∠B， D 为∠B 内部的一条射线，∠D¿ 1 2∠BD，求∠DE 的度数． 思路引领：根据∠ED＝∠EB﹣∠DB，只要求出∠EB，∠DB 即可． 解：∵∠B＝150°，E 平分∠B， ∴∠EB¿ 1 2∠B＝75°， ∵∠B＝60°，∠D¿ 1 2∠BD， ∴∠BD＝40°，∠D＝20°， ∴∠ED＝∠EB﹣∠DB＝75° 40° ﹣ ＝35°． 总结提升：本题考查角的计算，熟练掌握角平分线的定义，灵活应用角的和差关系是解题的关键． 10．（1）如图1，已知是直线上一点，B 是一条射线，D 平分∠B，E 在∠B 内，∠E＝2∠BE，∠DE＝70°， 求∠E 的度数． （2）如图2，为直线B 上一点，∠＝50°，D 平分∠，∠DE＝90°． ①请你数一数，图中有 个小于平角的角； ②求出∠BD 的度数； ③请通过计算说明E 是否平分∠B． 思路引领：（1）先设∠BE＝x，根据∠BE¿ 1 2∠E，得出∠E＝2x，再根据角平分线的定义，得出∠D＝ ∠DB＝70°﹣x，最后根据∠D+∠DE+∠E＝180°，列出方程70°﹣x+70°+2x＝180°，求得x 的值即可； （2）①根据图形即可得出小于平角的角；②根据∠＝50°，D 平分∠，得出∠D＝25°，最后根据∠BD＝ 180°﹣∠D 进行计算即可；③先根据∠＝50°，得出∠B＝180° 50° ﹣ ＝130°，再根据∠DE＝90°，求得∠BE ＝∠BD﹣∠DE＝155° 90° ﹣ ＝65°，进而得出∠BE¿ 1 2∠B，即可得出结论． 解：（1）如图1，设∠BE＝x， ∵∠BE¿ 1 2∠E， ∴∠E＝2x， ∵D 平分∠B， ∴∠D＝∠DB＝70°﹣x， ∵∠D+∠DE+∠E＝180°， 70° ∴ ﹣x+70°+2x＝180°， 解得x＝40°， ∴∠E＝80°； （2）①由图可得，图中有9 个小于平角的角， 故答为：9； ②如图2，∵∠＝50°，D 平分∠， ∴∠D＝25°， ∴∠BD＝180°﹣∠D＝180° 25° ﹣ ＝155°； ③如图2，∵∠＝50°， ∴∠B＝180° 50° ﹣ ＝130°， ∵∠DE＝90°， ∴∠BE＝∠BD﹣∠DE＝155° 90° ﹣ ＝65°， ∴∠BE¿ 1 2∠B， ∴E 平分∠B． 总结提升：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发， 把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． 11．（2018 秋•兴业县期末）如图，已知D 平分∠B，E 在∠B 内，且∠BE¿ 1 3∠E，∠＝170°． （1）若知∠B＝70°，求∠E 的度数； （2）若知∠DE＝70°，求∠E 的度数． 思路引领：（1）可以设∠BE 为x°，根据条件列方程解决，求出∠BE，进而求出∠E 的度数； （2）设∠BE＝，则∠E＝3，根据条件列方程解决，求出∠BE． 解：∵∠＝170°，∠B＝70°， ∴∠B＝100°， 设∠BE＝x，则∠E＝3x， ∴∠B＝∠BE+∠E＝x+3x＝100°， ∴x＝25°， ∴∠E＝75°； （2）设∠BE＝，则∠E＝3， ∵∠DE＝70°，D 平分∠B， ∴∠D﹣∠BD＝70°﹣， ∴∠＝2∠D+∠BE+∠E＝2（70°﹣）++3＝170°， ∴＝15°， ∴∠E＝3＝45°． 总结提升：考查了根据角平分线的性质和已知条件列方程求解，难度适中，方程思想是解决问题的基本 思考方法． 类型四 双角平分线 12．（2019 秋•岳阳楼区校级期末）如图1，已知∠B 的内部有一条射线，M、分别平分∠和∠B． （1）若∠B＝120°，∠B＝40°，求∠M 的度数． （2）若去掉（1）中的条件∠B＝40°，只保留∠B＝120°，求∠M 的度数． （3）若将∠B 内部的射线旋转到∠B 的外部，如图2，∠B＝120°，求∠M 的度数，并请用一句话或一个 式子概括你发现的∠M 与∠B 的数量关系． 思路引领：（1）先利用角平分线的性质得到∠M¿ 1 2∠，∠¿ 1 2∠B，再利用∠M＝∠M+∠计算； （2）根据角平分线的性质解答即可； （3）先利用角平分线的性质得到∠¿ 1 2∠，∠M¿ 1 2∠B，再利用∠M＝∠M﹣∠计算，即可解答． 解：（1）∵∠B＝120°，∠B＝40°， ∴∠＝∠B﹣∠B＝120° 40° ﹣ ＝80°， ∵M、分别平分∠和∠B， ∴∠M¿ 1 2 ∠AOC=1 2 ×80°=40°，∠NOC=1 2 ∠BOC=1 2 ×40°=20°， ∴∠M＝∠M+∠＝40°+20°＝60°； （2）如图1，∵M、分别平分∠和∠B， ∴∠M¿ 1 2 ∠AOC，∠NOC=1 2 ∠BOC， + ∵∠∠B＝∠B，∠B＝120°， ∴∠M＝∠M+∠¿ 1 2 ∠AOC+ 1 2 ∠BOC=1 2 ∠AOB=1 2 ×120°=¿60°； （3）∵M 平分∠，平分∠B， ∴∠M¿ 1 2∠，∠¿ 1 2∠B， 所以∠M＝∠M﹣∠¿ 1 2∠−1 2 ∠B¿ 1 2（∠﹣∠B）¿ 1 2 ∠AOB=1 2 ×120°＝60°， ∠MON=1 2 ∠AOB． 总结提升：此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差． 13．（2017 秋•梁子湖区期末）如图，已知B 平分∠，D 平分∠E，∠D＝110°，∠BE＝100°，求∠E 的度数． 思路引领：设∠ED＝∠D＝x°，求出∠B＝∠B＝100° 2 ﹣x°，根据∠D＝110°得出方程，求出x 的值，即可 求出答． 解：∵B 平分∠，D 平分∠E， ∴设∠ED＝∠D＝x°，∠B＝∠B， ∵∠D＝110°，∠BE＝100°， ∴∠B＝∠B＝100° 2 ﹣x°， ∴∠D+∠B+∠B＝110°， ∴x+100 2 ﹣x+100 2 ﹣x＝110， 解得x＝30， 即∠ED＝∠D＝30°， ∴∠E＝∠D+∠DE＝110°+30°＝140°． 总结提升：本题考查了角平分线性质和角的有关计算的应用，关键是能根据题意得出方程． 14．（2020 秋•和平区期末）如图：∠B：∠B：∠D＝2：3：4，射线M、，分别平分∠B 与∠D，又∠M＝ 84°，则∠B 为（ ） ．28° B．30° ．32° D．38° 思路引领：首先设出未知数，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出∠B 的度数． 解：设∠B＝2x°，则∠B＝3x°，∠D＝4x°， ∵射线M、分别平分∠B 与∠D， ∴∠BM¿ 1 2∠B＝x°， ∠¿ 1 2∠D＝2x°， 又∵∠M＝84°， ∴x+3x+2x＝84， x＝14， ∴∠B＝14°×2＝28°． 故选：． 总结提升：本题主要考查了角平分线的定义和角的计算，解题时要能根据图形找出等量关系列出方程， 求出角的度数． 类型五 整体思想 15．如图，∠与∠B 互补，E 平分∠B，F 平分∠，试说明∠E 与∠F 具有怎样的数量关系． 思路引领：根据角平分线的性质，可得∠F¿ 1 2∠，∠E¿ 1 2∠B，根据角的和差，可得答． 解：∠F 与∠E 互余，理由如下： 由F 平分∠，E 平分∠B，得∠F¿ 1 2∠，∠E¿ 1 2∠B． 由角的和差，得∠F+∠E¿ 1 2∠+1 2 ∠B¿ 1 2∠B¿ 1 2 ×180°＝90°， 故∠F 与∠E 互余． 总结提升：本题考查了余角和补角，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为 180°． 16．（2019 秋•天峨县期末）如图，直线B、D 相交于点，∠BE＝90°，M 平分∠D，平分∠DE． （1）若∠ME＝27°，求∠的度数； （2）当∠BD＝x°（0＜x＜90）时，求∠M 的度数． 思路引领：（1）根据余角性质得到∠ME＝27°，∠M＝90° 27° ﹣ ＝63°，根据角平分线的定义即可得到结 论； （2）根据对顶角的性质得到∠＝∠BD＝x°，求得∠D＝180°﹣x°，∠DE＝90°﹣x°，根据角平分线的定义 即可得到结论． 解：（1）∵∠BE＝90°， ∴∠E＝90°， ∴∠ME＝27°， ∴∠M＝90° 27° ﹣ ＝63°， ∵M 平分∠D， ∴∠D＝2∠M＝126°， ∴∠＝180°﹣∠D＝54°； （2）∵∠BD＝x°， ∴∠＝∠BD＝x°， ∴∠D＝180°﹣x°， ∵∠E＝∠BE＝90°， ∴∠DE＝90°﹣x°， ∵平分∠DE，M 平分∠D， ∴∠DM¿ 1 2∠D＝90°−1 2 x°，∠D¿ 1 2∠DE＝45°−1 2 x°， ∴∠M＝∠DM﹣∠D＝45°． 总结提升：此题主要考查了角平分线的性质以及垂线定义和邻补角的定义，正确表示出∠D 的度数是解 题关键． 17．如图，已知∠B 内部有顺次的四条射线：E、、D、F、E 平分∠，F 平分∠DB （1）若∠B＝160°，∠D＝40°，求∠EF 的度数； （2）若∠B＝α，∠D＝β，求∠EF 的度数 （3）从（1）、（2）的结果，你能看出什么规律吗？ 思路引领：（1）（2）通过角的和差关系角平分线的性质，得到∠EF 与已知角∠B、∠的关系，代入求值； （3）根据（1）（2）的结论，得出规律． 解：（1）∵∠EF＝∠E+∠D+∠FD ¿ 1 2 + ∠∠D+1 2 ∠BD ¿ 1 2∠B+1 2 ∠D ∵∠B＝160°，∠D＝40° ∴∠EF＝80°+20°＝100°． （2），∵∠EF＝∠E+∠D+∠FD ¿ 1 2 + ∠∠D+1 2 ∠BD ¿ 1 2∠B+1 2 ∠D ∵∠B＝α，∠D＝β， ∴∠EF¿ 1 2 α+ 1 2 β=1 2 (α+β)． （3）若∠B 内部有顺次的四条射线：E、、D、F，E 平分∠，F 平分∠DB， 那么∠EF¿ 1 2 (∠AOB+∠COD)． 总结提升：本题考查了角平分线的性质及角的和差关系．通过和差关系角平分线的性质得到∠EF ¿ 1 2 (∠AOB+∠COD)是解决本题的关键． 类型六 射线的转动 19．（2021 秋•盱眙县期末）【阅读理解】 射线是∠B 内部的一条射线，若∠¿ 1 2∠B，则称射线是射线在∠B 内的一条“友好线”．如图1，∠B＝ 60°，∠＝20°，则∠¿ 1 2∠B，所以射线是射线在∠B 内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1 中，若作∠B 的平分线D，则射线D 射线B 在∠B 内的一条“友好线”；（填“是”或 “不是”） （2）如图2，∠B 的度数为，射线M 是射线B 在∠B 内的一条“友好线”，平分∠B，则∠M 的度数为 ； （用含的代数式表示） （3）如图3，射线B 从与射线重合的位置出发，绕点以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线从与射 线的反向延长线重合的位置出发，绕点以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． 问：当运动时间为多少秒时，射线、B、中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线 所组成的角内的一条“友好线”？ 思路引领：（1）根据“友好线”定义即可作出判断； （2）根据“友好线”定义即可求解； （3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可． 解：（1）∵B 是∠B 的平分线， ∴∠BD＝∠D， ∵∠¿ 1 2∠B， ∴∠BD¿ 1 2∠D， ∴射线D 是射线B 在∠B 内的一条“友好线”． 故答为：是． （2）∵射线M 是射线B 在∠B 内的一条“友好线”，∠B 的度数为， ∴∠BM¿ 1 3∠B¿ 1 3， ∵平分∠B， ∴∠B¿ 1 2∠B¿ 1 2， ∴∠M＝∠B﹣∠BM¿ 1 2 −1 3 ¿ 1 6． 故答为：1 6． （3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线、B、中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好 线”． 当射线B 是射线在∠内的一条“友好线”时，则∠B¿ 1 2∠B， 所以3x¿ 1 2（180 5 ﹣x 3 ﹣x）， 解得x¿ 9