专题14 期末新定义题型复习导学案及配套作业(解析版)

专题14 期末新定义题型复习（解析版） 类型一 有理数中的新定义 1．（2022 秋•尤溪县）七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣． 她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：⊕b＝b+2．则(−3)⊕(−4⊕1 2 )=¿（ ） ．﹣13 B．6 ．24 D．30 思路引领：根据新定义先计算−4⊕1 2，再计算（﹣3）⊕（﹣10）即可求解． 解：由题意得： (−3)⊕(−4⊕1 2 ) ＝（﹣3）⊕[ 4 ﹣× 1 2 +¿2×（﹣4）] ＝（﹣3）⊕（﹣2 8 ﹣） ＝（﹣3）⊕（﹣10） ＝﹣3×（﹣10）+2×（﹣3） ＝30 6 ﹣ ＝24． 故选：． 总结提升：本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 2．（2022 秋•新吴区期中）现定义新运算“※”，对任意有理数、b，规定※b＝b﹣b，则﹣1 2022 ※ 的值（ ） ．2023 B．2022 ．﹣2023 D．﹣2021 思路引领：根据新运算得出﹣1 2022 ※ ＝﹣（12022 1×2022 ﹣ ），再根据有理数的运算法则进行计算即可． 解：﹣1 2022 ※ ＝（﹣1）2022﹣（﹣1）×2022 ＝1+2022 ＝2023， 故选：． 总结提升：本题考查了有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键． 3．（2022 秋•海陵区校级期中）定义一种对正整数的“F”运算：①当为奇数时，结果为3+5；②当为偶 数时，结果为n 2 k （其中k 是使n 2 k 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取＝26，则： 若＝49，则第2022 次“F 运算”的结果是（ ） ．31 B．49 ．62 D．98 思路引领：根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6 次一循环，再计算求解即可． 解：本题提供的“F 运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于＝49 为奇数应先进行 F①运算， 即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算， 即152÷23＝19（奇数）， 再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数）， 再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数）， 再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数）， 再进行F②运算，即98÷21＝49， 再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…， 即第1 次运算结果为152，…， 第4 次运算结果为31，第5 次运算结果为98，…， 可以发现第6 次运算结果为49，第7 次运算结果为152， 则6 次一循环， 2022÷6＝337， 则第2022 次“F 运算”的结果是49． 故选：B． 总结提升：本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变 化规律． 4．（2022 秋•越秀区校级月考）已知、b 皆为有理数，定义运算符号为※：当＞b 时，※b＝2；当＜b 时， ※b＝2b﹣，则3 2 [ ※ ﹣（﹣2）※3]等于（ ） ．﹣2 B．5 ．﹣6 D．10 思路引领：原式利用题中的新定义计算即可求出值． 解：根据题中的新定义得：3 2 ※ ＝2×3＝6， （﹣2）※3＝2×3﹣（﹣2）＝6+2＝8， 则原式＝6 8 ﹣＝﹣2． 故选：． 总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 5．（2022 秋•靖江市校级月考）对于有理数、b 定义一种新运算“⊙”，规定⊙b＝|+b|+|﹣b|，则（﹣2） ⊙3 的值是（ ） ．6 B．5 ．4 D．2 思路引领：原式利用题中的新定义计算即可求出值． 解：根据题中的新定义得： 原式＝| 2+3|+| 2 3| ﹣ ﹣﹣ ＝1+5 ＝6． 故选：． 总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 6．（2022 秋•鄞州区校级期中）正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙花数”．例如 153，13+53+33＝153，因此“153”为“水仙花数”，则下列各数中：①370，②371，③407， ④502，“水仙花数”的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 思路引领：根据正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙花数”，分别判断得出答即可． 解：①∵33+73+03＝370， 370 ∴ 为“水仙花数”，故此选项正确； ②3 ∵3+73+13＝371， 371 ∴ 为“水仙花数”，故此选项正确； ③4 ∵3+03+73＝407， 407 ∴ 为“水仙花数”，故此选项正确； ④5 ∵3+03+23≠502， 546 ∴ 不是“水仙花数”，故此选项错误． 故选：． 总结提升：此题主要考查了有理数的混合运算，有理数的乘方以及新定义，根据“水仙花数”的定义得 出是解题关键． 7．（2022 秋•江阴市期中）现定义运算“*”，对于任意有理数，b 满足*b¿{ 2a−b，a≥b ¿a−2b，a＜b．如5*3＝ 2×5 3 ﹣＝7，1 2*1¿ 1 2−¿2×1¿−3 2，若x*3＝5，则有理数x 的值为（ ） ．4 B．11 ．4 或11 D．1 或11 思路引领：分x≥3 与x＜3 两种情况求解． 解：当x≥3，则x*3＝2x 3 ﹣＝5，x＝4； 当x＜3，则x*3＝x 2×3 ﹣ ＝5，x＝11， 但11＞3，这与x＜3 矛盾，所以此种情况舍去． 即：若x*3＝5，则有理数x 的值为4， 故选：． 总结提升：本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题目所给的定义中包含 的运算及运算顺序． 类型二 整式加减中的新定义 8．（2022 秋•黄浦区期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x 的相伴数；若x≥0，则[x]＝x 1 ﹣；若x＜ 0，则[x]＝x+1．例[ 3 2 ]=1 2，[ 2] ﹣ ＝﹣1； 已知当＞0，b＜0 时有[]＝[b]+1，则代数式（b﹣）3 3+3 ﹣ b 的值为 ． 思路引领：根据定义的新运算可得﹣1＝b+1+1，从而可得﹣b＝3，然后利用整体的思想进行计算即可解 答． 解：当＞0，b＜0 时，[]＝[b]+1， 1 ∴﹣＝b+1+1， ∴﹣b＝3， ∴（b﹣）3 3+3 ﹣ b ＝﹣（﹣b）3 3 ﹣（﹣b） ＝﹣33 3×3 ﹣ ＝﹣27 9 ﹣ ＝﹣36， 故答为：﹣36． 总结提升：本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键． 9．（2022 秋•浦东新区期中）定义﹣b＝0，则称、b 互容，若2x2 2 ﹣与x+4 互容，则6x2 3 ﹣x 9 ﹣＝ ． 思路引领：先根据新定义求出2x2﹣x＝6，再把6x2 3 ﹣x 9 ﹣化为3（2x2﹣x）﹣9 的形式，整体代入计算 即可． 解：∵2x2 2 ﹣与x+4 互容， 2 ∴x2 2 ﹣﹣（x+4）＝0， 2 ∴x2﹣x＝6， 6 ∴x2 3 ﹣x 9 ﹣ ＝3（2x2﹣x）﹣9 ＝3×6 9 ﹣ ＝9， 故答为：9． 总结提升：本题考查了代数式的求值，掌握乘法分配律的逆运算，把（2x2﹣x）看做一个整体进行计算 是解题关键． 10．（2022 秋•涪城区期中）定义如下运算程序，则输入＝4，b＝﹣2 时，输出的结果为 ． 思路引领：由程序框图将＝4，b＝﹣2 代入+b 计算可得答． 解：∵＝4，b＝﹣2，＞b， ∴输出结果为代入+b＝4+（﹣2）＝2． 故答为：2． 总结提升：此题考查了代数式的求值与有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（2022•三水区校级三模）定义：若﹣b＝0，则称与b 互为平衡数，若2x2 2 ﹣与x+4 互为平衡数，则代 数式6x2 3 ﹣x 9 ﹣＝ ． 思路引领：根据题意，2x2 2 ﹣与x+4 互为平衡数，得2x2 2 ﹣﹣x 4 ﹣＝0，得到2x2﹣x＝6，即可求出答． 解：∵2x2 2 ﹣与x+4 互为平衡数， 2 ∴x2 2 ﹣﹣x 4 ﹣＝0， 2 ∴x2﹣x＝6， 6 ∴x2 3 ﹣x＝18， 6 ∴x2 3 ﹣x 9 ﹣＝18 9 ﹣＝9． 故答为：9． 总结提升：本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． 12．（2022 秋•古田县期中）（1）先化简，后求值：−1 3 x−2( x−1 3 y 2)+(−2 3 x+ 1 3 y 2)：（其中x＝﹣ 2，y¿ 2 3）． （2）定义一种新运算：观察下列各式：1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3 2 ﹣＝10，3*4＝3×3+4＝13， 6*（﹣1）＝6×3 1 ﹣＝17． ①请你想想：*b＝ ； ②若≠b，那么*b b*（填“＝”或“≠”）； ③先化简，再求值：（﹣b）*（+2b），其中＝1，b＝﹣7． 思路引领：（1）先利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，再将x，y 值代入运算即可； （2）①利用题干中各式中的规律解答即可； ②利用①中的规律解答即可； ③利用①中的规律得到关于，b 的关系式，化简后将，b 的值代入运算即可． 解：（1）原式¿−1 3x 2 ﹣x+2 3 y 2−2 3x+1 3 y 2 ＝（−1 3 −¿2−2 3 ）x+（2 3 + 1 3）y2 ＝﹣3x+y2， 当x＝﹣2，y¿ 2 3时， 原式＝﹣3×（﹣2）+( 2 3 ) 2 ＝6+4 9 ¿ 58 9 ； （2）①*b＝3+b， 故答为：3+b； ②* ∵b＝3+b，b*＝3b+， 又∵≠b， 3+ ∴ b≠3b+， * ∴b≠b*， 故答为：≠； ③（﹣b）*（+2b） ＝3（﹣b）+（+2b） ＝3 3 ﹣b++2b ＝4﹣b． 当＝1，b＝﹣7 时， 原式＝4×1﹣（﹣7） ＝4+7 ＝11． 总结提升：本题主要考查了整式的加减，化简求值，本题是阅读型题目，寻找题干中各式的规律并熟练 应用是解题的关键． 类型四 一元一次方程中的新定义 13．（2021 秋•河口区期末）如果规定“*”的意义为：*b¿ a+2b 2 （其中，b 为有理数），那么方程3*x¿ 5 2 的解是x＝ ． 思路引领：分析题意，运用定义的新运算法则，可得3*x¿ 3+2 x 2 ；不难得出3+2 x 2 =5 2，解方程即可解 答本题． 解：由题意得： 3*x¿ 3+2 x 2 ， 3* ∵ x¿ 5 2， ∴3+2 x 2 =5 2， 解得x＝1． 故答为：1． 总结提升：本题考查的是一道定义新运算的题目，需结合题中定义的新运算法则进行求解． 14．（2021 秋•如皋市期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的 解的2 倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x+9＝0 中，3 9 ﹣＝﹣6，方程的解为x＝﹣3，则方程 3x+9＝0 为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x 的一元一次方程3x+﹣b＝0 是妙解方程，则b﹣＝ ． 思路引领：利用题中的新定义解答即可． 解：解关于x 的一元一次方程3x+﹣b＝0，得x¿ b−a 3 ， ∵关于x 的一元一次方程3x+﹣b＝0 是妙解方程， 3﹣（﹣b）＝2× b−a 3 ， 9+3（b﹣）＝2（b﹣）， ∴b﹣＝﹣9． 故答为：﹣9． 总结提升：此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 15．（2022 秋•隆安县期中）我们将| a b c d|这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是 | a b c d|=¿d﹣b，例如| 1 2 3 4|=¿1×4 2×3 ﹣ ＝4 6 ﹣＝﹣2． （1）请你依此法则计算二阶行列式| 3 −2 4 3 |． （2）请化简二阶行列式| 2 x−3 x+2 2 4 |，并求当x＝4 时二阶行列式的值． 思路引领：（1）根据| a b c d|=¿d﹣b，可以求得所求式子的值； （2）根据| a b c d|=¿d﹣b，可以将题目中的式子化简，然后将x＝4 代入化简后的式子即可． 解：（1）由题意可得， | 3 −2 4 3 | ＝3×3﹣（﹣2）×4 ＝9+8 ＝17； （2）| 2 x−3 x+2 2 4 | ＝4（2x 3 ﹣）﹣2（x+2） ＝8x 12 2 ﹣ ﹣x 4 ﹣ ＝6x 16 ﹣ ， 当x＝4 时，原式＝6×4 16 ﹣ ＝24 16 ﹣ ＝8． 总结提升：本题考查整式的加减、有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会用新 定义解答问题． 16．（2022 秋•西城区校级期中）定义如下：存在数，b，使得等式a 2 + b 4 = a+b 2+4 成立，则称数，b 为一对 “互助数”，记为（，b）．比如：（0，0）是一对“互助数”． （1）若（1，b）是一对“互助数”，则b 的值为 ； （2）若（﹣2，x）是一对“互助数”，求代数式（﹣x2+3x 1 ﹣）−1 5 （−5 2 x2+5x 15 ﹣ ）的值； （3）若（m，）是一对“互助数”，满足等式m−1 4 ﹣（6m+2 2 ﹣）＝0，求m 和的值． 思路引领：（1）根据“互助数”的定义即可求得b 的值； （2）根据“互助数”的定义求出x 的值，再对所求代数式进行去括号，合并同类项，最后把x 的值代 入化简后的代数式中即可求解； （3）根据“互助数”的定义求得＝﹣4m①，再将所求等式化简得−5m−9 4 n+2=0②，将①代入② 中即可求解． 解：（1）∵（1，b）是一对“互助数”， ∴1 2 + b 4 =1+b 2+4 ， 解得：b＝﹣4， 故答为：﹣4； （2）∵（﹣2，x）是一对“互助数”， 1 ∴﹣+x 4 =−2+x 2+4 ， 解得：x＝8， （﹣x2+3x 1 ﹣）−1 5 （−5 2 x2+5x 15 ﹣ ） ¿−x 2+3 x−1+ 1 2 x 2−x+3 ¿−1 2 x 2+2 x+2， 当x＝8 时， 原式¿−1 2 ×64+¿16+2＝﹣14； （3）∵（m，）是一对“互助数”， ∴m 2 + n 4 =m+n 2+4 ， 化简得：＝﹣4m①， 由m−1 4 ﹣（6m+2 2 ﹣）＝0 化简得， −5m−9 4 n+2=0②， 把①代入②中得， −5m−9 4 ×(−4 m)+2=0， 解得：m¿−1 2， 则¿−4×(−1 2 )=¿2， ∴m¿−1 2，＝2． 总结提升：此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（2022 秋•邗江区期中）定义：若+b＝6，则称与b 是关于6 的实验数． （1）4 与 是关于6 的实验数； 与5 2 ﹣x 是关于6 的实验数．（用含x 的代数式表示）． （2）若＝x2 4 ﹣x+2，b＝x2 2 ﹣（x2 2 ﹣x 2 ﹣），判断与b 是否是关于6 的实验数，并说明理由． （3）若＝6x2 8 ﹣x+4，d＝﹣2（3x2 4 ﹣x+k），且与d 是关于6 的实验数，求k 的值． 思路引领：（1）由4+2＝6，6﹣（5 2 ﹣x）可得答； （2）列出算式+b＝+b＝x2 4 ﹣x+2+x2 2 ﹣（x2 2 ﹣x 2 ﹣）去括号、合并同类项得出其结果，判断结果是否 等于3 即可； （3）由与d 是关于6 的实验数知+d＝6，据此可得6x2 8 ﹣x+4 2 ﹣（3x2 4 ﹣x+k）＝6，进一步求解可得答． 解：（1）∵4+2＝6，6﹣（5 2 ﹣x）＝1+2x， 4 ∴与2 是关于6 的实验数，1+2x 与5 2 ﹣x 是关于6 的实验数， 故答为：1+2x； （2）与b 是关于6 的实验数， 理由：∵+b＝x2 4 ﹣x+2+x2 2 ﹣（x2 2 ﹣x 2 ﹣） ＝x2 4 ﹣x+2+x2 2 ﹣x2+4x+4 ＝6， ∴与b 是关于6 的实验数； （3）∵与d 是关于6 的实验数，＝6x2 8 ﹣x+4，d＝﹣2（3x2 4 ﹣x+k）， + ∴d＝6x2 8 ﹣x+4 2 ﹣（3x2 4 ﹣x+k）＝6， 解得k＝﹣1． ∴k 的值为﹣1． 总结提升：本题主要考查整式的加减，解题的关键是理解并掌握实验数的定义及整式加减运算顺序和法 则． 18．（2022 秋•丰泽区校级期中）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x 的“⻘一值”．若x≥0，则有 理数x 的“⻘一值”[x]＝x 2 ﹣；若x＜0，则有理数x 的“⻘一值”[x]＝x+2．例：[1]＝1 2 ﹣＝﹣1；[﹣ 1]＝﹣1+2＝1． （1）求有理数﹣2 和3 2的“⻘一值”； （2）已知有理数＞0，b＜0，且它们的“⻘一值”相等，则[]＝[b]，试求代数式（b﹣）2 2+2 ﹣ b 的值； （3）对于一个有理数x，满⾜⽅程：[2x]+[x+1]＝4，请直接写出满⾜⽅程的解x 的值． 思路引领：（1）根据定义：若x≥0，则有理数x 的“青一值”[x]＝x+1；若x＜0，则有理数x 的“青一 值”[x]＝x 1 ﹣，进行计算即可解答； （2）根据定义：若x≥0，则有理数x 的“青一值”[x]＝x+1；若x＜0，则有理数x 的“青一值”[x]＝x 1 ﹣，可得﹣b＝﹣2，然后代入式子中，进行计算即可解答； （3）分三种情况：当x≥0 时，当﹣1≤x＜0 时，当x＜﹣1 时，然后分别进行计算即可解答． 解：（1）[ 2] ﹣ ＝﹣2 1 ﹣＝﹣3； [3 2]¿ 3 2 +¿1¿ 5 2， [ 2] ∴﹣ ＝﹣3；[3 2]¿ 5 2； （2）∵＞0，b＜0， [] ∴＝+1， [b]＝b 1 ﹣， [] ∵＝[b]， +1 ∴ ＝b 1 ﹣， ∴﹣b＝﹣2， ∴（b﹣）2 2+2 ﹣ b ＝（﹣b）2 2 ﹣（﹣b） ＝（﹣2）2 2× ﹣ （﹣2） ＝4+4 ＝8； （3）分三种情况： 当x≥0 时，[2x]＝2x+1，[x+1]＝x+1+1＝x+2， [2 ∵ x]+[x+1]＝4， 2 ∴x+1+x+2＝4， 解得：x¿ 1 3； 当﹣1≤x＜0 时，[2x]＝2x 1 ﹣，[x+1]＝x+1+1＝x+2， [2 ∵ x]+[x+1]＝4， 2 ∴x 1+ ﹣ x+2＝4， 解得：x＝1（舍去）； 当x＜﹣1 时，[2x]＝2x 1 ﹣，[x+1]＝x+1 1 ﹣＝x， [2 ∵ x]+[x+1]＝4， 2 ∴x 1+ ﹣ x＝4， 解得：x¿ 5 3（舍去）； 综上所述：x¿ 1 3． 总结提升：本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算﹣化简求值，解一元一次方程，理解定义中 的[x]称作x 的“青一值”是解题的关键． 19．（2021 秋•桃江县期末）阅读材料： 在数轴上，如果把表示数1 的点称为基准点，记作点P．对于两个不同的点M 和，若点M、到点P 的距 离相等，则称点M 与点互