专题16.2 期中期末专项复习之全等三角形十六大必考点（解析版）

专题162 全等三角形十六大必考点 【人版】 【考点1 利用全等图形求格中的角度和】............................................................................................................. 1 【考点2 将已知图形分割成几个全等的图形】.....................................................................................................5 【考点3 添加条件使三角形全等】.........................................................................................................................7 【考点4 灵活选用判定方法证明全等】............................................................................................................... 11 【考点5 尺规作图与全等的综合运用】............................................................................................................... 16 【考点6 证明全等的常见辅助线的作法】........................................................................................................... 20 【考点7 证一条线段等于两条线段的和（差）】...............................................................................................28 【考点8 全等中的倍长中线模型】.......................................................................................................................39 【考点9 全等中的旋转模型】...............................................................................................................................49 【考点10 全等中的垂线模型】..............................................................................................................................56 【考点11 全等中的其他模型】..............................................................................................................................65 【考点12 全等三角形的动点问题】......................................................................................................................71 【考点13 尺规作图作角平分线】..........................................................................................................................77 【考点14 角平分线的判定与性质的综合求值】..................................................................................................80 【考点15 角平分线的判定与性质的综合证明】..................................................................................................86 【考点16 角平分线的实际应用】..........................................................................................................................95 【考点1 利用全等图形求格中的角度和】 【例1】（2022·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6 个边长相等的正方形 的组合图形，则∠1+ 3- 2= ∠ ∠ （ ） ．30° B．45° ．60° D．135° 【答】B 【分析】首先利用SS 定理判定△B DBE ≌△ ，根据全等三角形的性质可得∠3= B ∠，再由 ∠B+ 1= 1+ 3=90° ∠ ∠ ∠ ，可得∠1+ 3- 2 ∠ ∠． 1 【详解】 ∵在△B 和△DBE 中 ¿， B DBE ∴△≌△ （SS）， 3= B ∴∠ ∠， B+ 1=90° ∵∠ ∠ ， 1+ 3=90° ∴∠ ∠ ， 2=45° ∵∠ 1+ 3- 2=90°-45°=45° ∴∠ ∠ ∠ ， 故选B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应 角相等． 【变式1-1】（2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4 个相同的 小正方形组成的格点图中，∠1+ 2+ 3=________ ∠ ∠ 度． 【答】135 【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出∠1+∠3的值，即可得出答； 【详解】如图所示， 在△B 和△DE 中， 1 { AB=DE ∠A=∠D AC=DC ， ∴△ACB≅△DCE(SAS)， ∴∠ABE=∠3， ∴∠1+∠2+∠3=(∠1+∠3)+45°=90°+45°=135°； 故答是：135°． 【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键． 【变式1-2】（2022·江苏·八年级单元测试）如图所示的格是正方形格，图形的各个顶点均 为格点，则∠P＋∠Q＝__________度． 【答】45 【分析】如图，直接利用格得出对应角∠P=∠AQC，进而得出答． 【详解】 如图，易知△ABP≌△ACQ，∴∠P=∠AQC， ∵BQ 是正方形的对角线， ∴∠BQC=∠BQA+∠AQC=∠P+∠Q=45°， 故答为：45． 【点睛】本题考查了全等三角形，正确借助格分析是解题关键． 【变式1-3】（2022·山东·济南市槐荫区育学研究中心二模）如图，在4×4的正方形格中， 求α+β=¿______度． 1 【答】45 【分析】连接AB，根据正方形格的特征即可求解． 【详解】解：如图所示，连接AB ∵图中是4×4的正方形格 ∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，DB=AE ∴△ADB≌△CEA(SAS) ∴∠EAC=∠ABD=α，AB=AC ∵∠ABD+∠BAD=90° ∴∠EAC+∠BAD=90°，即∠CAB=90° ∴∠ACB=∠ABC=45° ∵BD∥CE ∴∠BCE=∠DBC=β ∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=α+β ∴α+β=45° 故答为：45． 【点睛】本题考查了正方形格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等 腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形格的特征． 【考点2 将已知图形分割成几个全等的图形】 【例2】（2022·全国·八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等 的图形． 【答】见解析 【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答． 【详解】∵共有3×4=12个小正方形， 1 ∴被分成四个全等的图形后每个图形有12÷ 4=3， ∴如图所示： ， 【点睛】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键． 【变式2-1】（2022·江苏·八年级专题练习）方格纸上有2 个图形，你能沿着格线把每一个 图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 【答】见解析 【分析】观察第一个图，图中共有20 个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10 个 小格，则可按如图所示，沿→B→→D 分割；第二个图同理沿E→F→G→→P→Q 分割即可． 【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20 个小方格，要分成完全相同两部分，则每 个有10 个小格，则可按如图所示，沿→B→→D 分割；第二个图同理沿E→F→G→→P→Q 分割即可． 将分割出的两个图形，逆时针旋转90 度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出 的两部分完全相同． 【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键． 【变式2-2】（2022·江苏·八年级课时练习）试在下列两个图中，沿正方形的格线（虚线） 把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 1 【答】见解析（第一个图答不唯一） 【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：第一个图形分割有如下几种： 第二个图形的分割如下： 【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定 义是解题的重点． 【变式2-3】（2022·全国·八年级专题练习）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全 等形．” 理解应用：我们可以把4×4 格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2 是两种不同的划分方法，其中图3 与图1 视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． 【答】见解析 【分析】根据格的特点和全等形的定义进行作图即可． 1 【详解】依题意，如图 【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握格特点作图和全等图形的概念是解题的关 键． 【考点3 添加条件使三角形全等】 【例3】（2022·全国·八年级专题练习）如图，∠＝∠D＝90°，添加下列条件：①＝D；② ∠B＝∠BD；③B＝BD，其中能判定Rt△B 与Rt△BD 全等的条件有（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【答】D 【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解． 【详解】解：∵∠＝∠D＝90°，B=B， ① ∴ ＝D，可用L 判定Rt△B 与Rt△BD 全等； ②∠B＝∠BD，可用S 判定Rt△B 与Rt△BD 全等； ③B＝BD，可用L 判定Rt△B 与Rt△BD 全等； 故选：D． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 【变式3-1】（2022·重庆·中考真题）如图，点B，F，，E 共线，∠B=∠E，BF=E，添加一 个条件，不能判断△B≌△DEF 的是（ ） 1 ．B=DE B．∠=∠D ．=DF D．∥FD 【答】 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】解：∵BF=E， ∴BC=EF 添加一个条件B=DE， 又∵BC=EF ,∠B=∠E ∴△ABC ≌△≝(SAS) 故不符合题意； B 添加一个条件∠=∠D 又∵BC=EF ,∠B=∠E ∴△ABC ≌△≝( AAS) 故B 不符合题意； 添加一个条件=DF ，不能判断△B≌△DEF ，故符合题意； D 添加一个条件∥FD ∴∠ACB=∠EFD 又∵BC=EF ,∠B=∠E ∴△ABC ≌△≝( ASA ) 故D 不符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易， 掌握相关知识是解题关键． 【变式3-2】（2022·安徽淮南·八年级期末）如图，点P 是B 上任意一点，∠B=∠BD，还应 补充一个条件，才能推出△P≌△PD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△P≌△PD 的是( ) 1 ．B=BD； B．=D； ．∠B=∠DB； D．∠B=∠DB 【答】B 【分析】根据题意，∠B=∠BD，B 是公共边，结合选项，逐个验证得出． 【详解】解：、补充B=BD，先证出△BP≌△BPD，后能推出△P≌△PD，故正确，不符合题 意； B、补充=D，不能推出△P≌△PD，故错误，符合题意； 、补充∠B=∠DB，先证出△B≌△BD，后能推出△P≌△PD，故正确，不符合题意； D、补充∠B=∠DB，先证出△B≌△BD，后能推出△P≌△PD，故正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形全等判定，解题的关键是知道有S，SSS，S，SS．注意SS 是不 能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项． 【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，B，D 相交于点E，且B=D，试添加一个 条件使得△DE BE ≌△ ．现给出如下五个条件：①∠= ;② B= D;③E=E;④BE=DE;⑤D=B ∠ ∠ ∠ ． 其中符合要求有( ) ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【答】D 【分析】延长D、B 使它们相较于点F ，首先根据S 证明△FB FD ≌△ ，然后根据全等三角形 的性质即可得到F=F，FD=FB，进而得到D=B，即可证明△DE BE ≌△ ，可判断①、②的正误； 根据SS 证明△DE BE ≌△ ，即判断③、④的正误；连接BD，根据SSS 证明△DB BD ≌△ ，根据 全等三角形的性质得到∠=∠，结合①即可证明⑤． 【详解】延长D、B 使它们相较于点F 1 DB= DB ∵∠ ∠ ，∠ED= BE ∠ B= D ∴∠ ∠ 又∵∠F= F ∠，B=D ∴△FB FD ≌△ F=F ∴ ，FD=FB D=B ∴ ∴△DE BE ≌△ ，即①正确； 同理即可证明②正确； E=E ∵ ，B=D DE=BE ∴ 又∵∠ED= BE ∠ ∴△DE BE ≌△ ，③正确； 同理即可证明④正确； 连接BD， D=B ∵ ，B=D，BD=BD ∴△DB BD ≌△ DB= BD ∴∠ ∠ ∴△DE BE ≌△ ，⑤正确； 故选D． 1 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS、SS、S、S，难点在于添加辅 助线来构造三角形全等，关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等． 【考点4 灵活选用判定方法证明全等】 【例4】（2022·湖南·八年级单元测试）具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是 （ ）． ．有两个角对应相等的两个三角形 B．两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形 ．两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形 D．有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形 【答】 【分析】选项，选项B 和选项D 分别举出反例的图形即可；选项根据题意画出图形，延长 AD至E，使DE=AD，延长A ' D '至E '，使D ' E '=A ' D '，连接BE和B ' E '，根据全等三角 形的判定，可证得△BDE≌△CDA，根据全等三角形性质得BE=AC，∠E=∠CAD， 同理可得B ' E '=A 'C '，∠E '=∠C ' A ' D '，再由全等三角形的判定得△ABE≌△A ' B ' E '， 根据全等三角形性质得∠E=∠E '，∠BAE=∠B ' A ' E '，进而证得∠BAC=∠B ' A 'C '， 最后根据全等三角形的判定证得△ABC ≌△A ' B 'C '． 【详解】．如图1 所示， 在△ADE和△ABC中，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，但 △ADE和△ABC不全等，故本选项不符合题意； B．如图2 所示， 在△ABC和△EFG中，BC=FG，AC=EG，AD⊥BC，EH ⊥FG，AD=FG ，但 1 △ABC和△EFG不全等，故本选项不符合题意； ．如图3 所示， 在△ABC和△A ' B 'C '中，点D和点D '分别平分线段BC和B 'C '，AB=A ' B '，AC=A 'C '， AD=A ' D '，延长AD至E，使DE=AD，延长A ' D '至E '，使D ' E '=A ' D '，连接BE和 B ' E '， ∵点D平分线段BC， ∴BD=CD， ∵DE=AD，∠BDE=∠CDA ∴△BDE≌△CDA ∴BE=AC，∠E=∠CAD 同理B ' E '=A 'C '，∠E '=∠C ' A ' D ' ∵AC=A 'C ' ∴BE=B ' E ' ∵AD=A ' D ' ∴AE=A ' E ' ∵AB=A ' B ' ∴△ABE≌△A ' B ' E ' ∴∠E=∠E '，∠BAE=∠B ' A ' E ' ∴∠CAD=∠C ' A ' D ' ∵∠BAE+∠CAD=∠B ' A ' E '+∠C ' A ' D ' ∴∠BAC=∠B ' A 'C ' ∵AB=A ' B ' ∴△ABC ≌△A ' B 'C ' 故本选项符合题意； 1 D．如图4 所示， 在△ABC和△A ' B 'C '中，AB=A ' B '，AC=A 'C '，AD⊥BC，A ' D '⊥B 'C '， AD=A ' D '，但此时△ABC和△A ' B 'C '不全等，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，熟记全等三角形的性质定理与判 定定理是解本题的关键． 【变式4-1】（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习）我国传统工艺中， 油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF， ¿=GF，则△AEG≌△AFG的依据是（ ） ．SS B．S ．S D．SSS 【答】D 【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在△EG 和△FG 中， ¿， ∴△EG≌△FG（SSS）， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关 键，注意：全等三角形的判定定理有SS，S，S，SSS，两直角三角形全等还有L 等． 【变式4-2】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级