专题11.6 期末专项复习之不等式与不等式组十六大必考点（解析版）

专题116 不等式与不等式组十六大必考点 【人版】 【考点1 不等式（组）的概念辨析】.....................................................................................................................1 【考点2 不等式的基本性质运用】.........................................................................................................................3 【考点3 求含参的不等式的解集】.........................................................................................................................5 【考点4 解不等式（组）】.....................................................................................................................................8 【考点5 方程（组）与不等式的综合运用】.......................................................................................................11 【考点6 不等式（组）中的新定义运算】........................................................................................................... 13 【考点7 根据不等式的整数解个数求参数取值范围】........................................................................................18 【考点8 根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】....................................................................................20 【考点9 根据不等式的整数解求参数范围】.......................................................................................................22 【考点10 根据实际问题列不等式（组)】.............................................................................................................24 【考点11 根据两个不等式的解之间的关系求参数】...........................................................................................26 【考点12 二元一次方程组与不等式组的综合运用】...........................................................................................29 【考点13 不等式的应用】......................................................................................................................................31 【考点14 根据不等式组的解求参数】..................................................................................................................36 【考点15 分式方程的解与不等式的综合】.......................................................................................................... 38 【考点16 不等式组的应用】..................................................................................................................................41 【考点1 不等式（组）的概念辨析】 【例1】（2022·浙江·八年级期中）下列不等式中，一元一次不等式有 () ①x 2+3>2 x ② 1 x −3>0 ③ x−3>2 y ④x−1 π ≥5 π ⑤ 3 y>−3 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】B 【详解】分析：根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 详解：①不是，因为最高次数是2； ②不是，因为是分式； ③不是，因为有两个未知数； ④是； ⑤是 1 综上，只有2 个是一元一次不等式 故选B． 点睛：本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义熟记不等式中只含有一个未知数，未 知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键 【变式1-1】（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）下列四个选项中是一元一次不等式组 的是( ) ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 【答】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在 一起，就组成了一个一元一次不等式组可得答． 【详解】、不是一元一次不等式组，故此选项错误； B、不是一元一次不等式组，故此选项错误； 、不是一元一次不等式组，故此选项错误； D、是一元一次不等式组，故此选项正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的定义，关键是熟练掌握定义． 【变式1-2】（2022·甘肃·武威第五中学八年级期中）x+1是不小于−1的负数，则可表示 为（ ） ．−1<x+1<0 B．−1<x+1≤0 ．−1≤x+1≤0 D．−1≤x+1<0 【答】D 【分析】直接用不等式表示题意,即可 【详解】x+1是不小于−1的负数，则可表示为−1≤x+1<0 故选D 【点睛】本题考核知识点：用不等式表示数量关系解题关键点：理解题意，并用不等式表 示 【变式1-3】（2022·江苏·泰兴市宣堡初级中学八年级期末）若关于x的不等式 (a−2)x a+2−1<5是一元一次不等式，关于x的不等式9ax+3a−4 b<0的解集是x＞4 9 ， 求和b 的值 【答】=-1，b=-7 4 ． 【分析】根据一元一次不等式定义可得的值，将的值代入9x+3-4b＜0，解不等式后根据其 解集可得关于b 的方程，解方程可得b． 1 【详解】∵x 的不等式（-2）x+2-1＜5 是一元一次不等式， +2=1 ∴ ，解得：=-1， 当=-1 时，不等式9x+3-4b＜0 可化为-9x-3-4b＜0， 解得：x＞−3−4 b 9 ， ∵不等式解集为x＞4 9 ， ∴−3−4 b 9 =4 9 ， 解得：b=-7 4 ． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义、解一元一次不等式、解一元一次方程的能力， 熟练掌握不等式定义和解不等式是关键． 【考点2 不等式的基本性质运用】 【例2】（2022·山西吕梁·八年级期末）三个非零实数a,b,c，满足a<b<c，则下列不等式 一定正确的是（ ） ．a+c<b+c B．a−b>c−b ．bc>c 2 D．a+c>b 【答】 【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：、∵＜b， ∴＋＜b＋，故符合题意； B、∵＜， − ∴b＜−b，故B 不符合题意； 、∵b＜， ∴b＞2（＜0），故不符合题意； D、∵0＜＜b＜， ∴＋＞b，故D 不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式2-1】（2022·湖南衡阳·八年级期末）下列不等式的变形正确的是（ ） ．若a<b，则ac<bc B．若x> y，则x m > y m ．若a>b，则ac 2>bc 2 D．若ac 2>bc 2，则a>b 【答】D 【分析】根据不等式的基本性质，每个选项判断即可得出答． 1 【详解】． 若a<b，当>0 时，则ac<bc，故选项错误，不符合题意； B． 若x> y，当m>0 时，则x m > y m，故选项错误，不符合题意； ． 若a>b，当c 2>0时，则ac 2>bc 2，故选项错误，不符合题意； D． 若ac 2>bc 2，则a>b，选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了不等式基本性质，解题的关键是熟记并会用不等式基本性质．注意： 基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不 等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时 乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【变式2-2】（2022·浙江温州·八年级期中）若[x]表示不超过x 的最大整数，如[314]=3， [-314]=-4．已知[]=3，[b]=-2，[]=-1，则[-2b+]可以取到的值的个数为（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【答】B 【分析】先根据题目的定义，求得、b、的取值范围，再得出-2b+的取值范围，从而得出 [-2b+]可能的取值． 【详解】解：∵[]=3，[b]=-2，[]=-1， 3≤ ∴ ＜4，-2≤b＜-1 即2＜-2b≤4，-1≤＜0， 4 ∴＜-2b+＜8， 则[-2b+]=5，6，7． 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式性质，解决本题的关键在于判断、b、的取值范围． 【变式2-3】（2022·河南郑州·八年级期末）如图所示，，B，，D 四人在公玩跷跷板，根 据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ） ．D<B< A<C B．B<D<C< A ．C<B< A<D D．B<C<D< A 【答】 【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： A>B①， B+D> A+C②， 1 A+B=C+D③， 由③得： B=C+D−A④， 把④代入②得： C+D−A+D> A+C， 2 D>2 A， ∴D> A， ∴D−A>0， 由③得： D−A=B−C， ∵D−A>0， ∴B−C>0， ∴B>C， ∴D> A>B>C， 即C<B< A<D， 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【考点3 求含参的不等式的解集】 【例3】（2022·江苏·八年级期末）已知关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为 x< 10 7 ，则关于x的不等式ax>b−a的解集为（ ） ．x←3 B．x>−5 ．x←2 5 D．x>−2 5 【答】 【分析】先根据题意得：b=3 5 a且2a−b<0，可得a<0，即可求解． 【详解】解：∵(2a−b)x+a−5b>0， ∴(2a−b)x+¿5b−a， ∵关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x< 10 7 ， ∴5b−a 2a−b =10 7 ，且2a−b<0 ， ∴35b−7a=20a−10b ，解得：b=3 5 a ， ∵2a−b<0， 1 ∴2a−3 5 a<0 ， ∴a<0 ， ∵ax>b−a， ∴ax> 3 5 a−a ，即ax>−2 5 a ， ∴x←2 5 ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集的定义，解不等式，不等式的性质，熟练 掌握一元一次不等式的解集的定义，解不等式的基本步骤是解题的关键． 【变式3-1】（2022·江苏南京·八年级期末）关于x 的不等式ax+b>c的解集为x<3，则关于 x 的不等式a (x−2)+b>c的解集为（ ） ．x<3 B．x>3 ．x<5 D．x<1 【答】 【分析】根据第一个不等式的解集，得出有关，b，的代数式的值，从而求出答． 【详解】解：因为不等式x+b＞的解集为x＜3， 所以＜0，且-b=3， （x-2）+b＞可化为：x< 2a+c−b a ． 而2a+c−b a =2a+3a a =5． ∴x＜5． 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的解法．根据不等式的性质解不等式是解题的关键． 【变式3-2】（2022·广东·深圳市龙岗区智民实验学校八年级期中）若不等式(2－b)x＋3－ 4b＜0 的解集是x＞9 4 ，则不等式(－4b)x＋2－3b＞0 的解集是_____． 【答】x＞－8 19 【分析】根据（2-b）x+3-4b＜0 的解集是x＞9 4 ，可以得到与b 的关系以及b 的正负，从而 可以得到所求不等式的解集． 【详解】解：∵（2-b）x+3-4b＜0 的解集为x＞9 4 ， 1 - ∴3a−4 b 2a−b =9 4 且2-b＜0， 解得，=5 6b，且＜b 2， 则b＜0， ∴（-4b）x+2-3b＞0， 解得，x＞- 8 19， 故答为：x＞- 8 19． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法， 利用不等式的性质解答． 【变式3-3】（2022·江西·铅山县育局学研究室八年级期末）若关于x 的不等式mx﹣＞0 的 解集是x＜1 3，则关于x 的不等式（m+）x＜﹣m 的解集是（ ） ．x＜﹣1 2 B．x＞1 2 ．x＞﹣1 2 D．x＜1 2 【答】 【分析】先根据第一个不等式的解集求出m＜0、＜0，m=3，再代入第二个不等式，求出 不等式的解集即可． 【详解】解：∵mx-＞0， ∴mx＞， ∵关于x 的不等式mx-＞0 的解集是x＜1 3， ∴m＜0，n m=1 3， ∴m=3，＜0， - ∴m=-2，m+=4， ∴关于x 的不等式（m+）x＜-m 的解集是x＞-1 2， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质确定m、的数量关系和正负 性是解此题的关键． 【考点4 解不等式（组）】 【例4】（2022·山东威海·八年级期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 1 小强：求得不等式的最小整数解为x =−9． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（ ） ．2 x−7 3 ≥x+1 B．2 x−7 3 ≤x+1 ．2 x−7 3 >x+1 D．2 x−7 3 <x+1 【答】D 【分析】分别解不等式求出其最小整数解，即可求出正确答． 【详解】解：解不等式2 x−7 3 ≥x+1得：x ≤−10；没有最小整数解，故选项不符合题意； 解不等式2 x−7 3 ≤x+1得：x ≥−10；最小整数解为x=−10，故B 选项不符合题意； 解不等式2 x−7 3 >x+1得：x＜−10；没有最小整数解，故选项不符合题意； 解不等式2 x−7 3 <x+1得：x＞−10；最小整数解为x=−9，故D 选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查解不等式，以及不等式的整数解，解题的关键是求出各不等式的解集， 找出其中的最小整数解． 【变式4-1】（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期中）解不等式（组）并把它的解集在数 轴上表示出来 (1)2 x−1 3 −9 x+2 6 ≤1 (2)¿ 【答】(1)x ≥−2 (2)−1＜x ≤2 【分析】（1）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可求出不等式的解集， 最后将解集表示在数轴上即可； （2）先分别求出两个不等式的解，再求它们公共部的解即为不等式组的解集． （1） 解：2 x−1 3 −9 x+2 6 ≤1 去分母，2 (2 x−1)−(9 x+2)≤6 去括号得，4 x−2−9 x−2≤6 移项得，4 x−9 x ≤6+2+2 1 合并同类项，−5 x ≤10 系数化为1 得，x ≥−2 ∴不等式的解为：x ≥−2 （2） 解：¿ 化简不等式①得，2 x−3 x+6≥4 解得，x ≤2 化简不等式②得，4 x+9＞3−2 x 解得，x＞−1， ∴不等式组的解集为：−1＜x ≤2． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式（组），解题关键是熟练掌握解一元一次不等 式（组）的方法步骤． 【变式4-2】（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）已知题目：解关于x 的不等式组¿，其 中“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答后，说此不等式组无解，则“□”处不可以 是（ ） ．17 2 B．15 2 ．8 D．9 【答】D 【分析】设“□”处是，根据题意可得：¿，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进行计 算即可解答． 【详解】解：设“□”处是， 由题意得： ¿， 解不等式①得：x ≤−3.5， 解不等式②得：x>5−a， ∵不等式组无解， ∴5−a≥−3.5， ∴a≤8.5， “ ∴□”处不可以是9， 1 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 【变式4-3】（2022·全国·八年级课时练习）设x 为一切数，[x]表示不大于x 的最大整数， [x]又表示数x 的整数部分．解方程x−2[x]=7 2． 【答】x=−2.5 【分析】先将方程变形为x=2[x]+ 7 2，跟后根据[x]的定义，建立不等式组求解． 【详解】解：∵x−2[x]=7 2 ∴x=2[x]+ 7 2 ∵[x]表示不大于x 的最大整数，[x]又表示数x 的整数部分． ∴[x]≤x<[x]+1，即[x]≤2[x]+ 7 2 <[x]+1， 解得−7 2 ≤[x]←5 2， ∴[x]=−3 ∴x=2× (−3)+ 7 2 =−2.5 【点睛】本题考方程与不等式组，理解[x]的定义，建立不等式组是解题的关键． 【考点5 方程（组）与不等式的综合运用】 【例5】（2022·安徽安庆·八年级期末）已知关于x、y 的二元一次方程组¿的解满足x≥y， 则的取值范围是（ ） ．≥﹣13 8 B．≥﹣13 4 ．≤﹣9 2 D．≤﹣3 【答】 【分析】先解二元一次方程组，再根据x≥y 列出关于的不等式，解之即可． 【详解】解：¿， ① ②×3 ﹣