专题08 一次函数与方程、不等式的综合问题（教师版）

专题08 一次函数与方程、不等式的综合问 题 类型一、一次函数与方程综合 例．如图，一次函数 的图像与 轴的交点坐标为 ，则下列说法正确的有 ( )． ． 随 的增大而减小 B． ， ．当 时， D．关于 的方程 的解为 【答】D 【详解】解:∵图象过第一、二、三象限，∴ ， ， 随 的增大而增大，故，B 错 误； 又∵图象与 轴交于 ，∴ 的解为 ，故D 正确； 当 时，图象在 轴上方， ，故错误； 故选D． 【变式训练1】直线y＝x+b(≠0)过点(0，2)，B(1，0)，则关于x 的方程x+b＝0 的解为( ) ．x＝0 B．x＝2 ．x＝1 D．x＝3 【答】 【详解】解：方程x+b＝0 的解，即为函数y＝x+b 图象与x 轴交点的横坐标， ∵直线y＝x+b 过B(1，0)，∴方程x+b＝0 的解是x＝1， 故选：． 【变式训练2】如图，直线y＝kx+b(k≠0)与x 轴交于点( 5 ﹣，0)，下列说法正确的是( ) ．k＞0，b＜0 B．直线y＝bx+k 经过第四象限 ．关于x 的方程kx+b＝0 的解为x＝﹣5 D．若(x1，y1)，(x2，y2)是直线y＝kx+b 上的两 点，若x1＜x2，则y1＞y2 【答】 【详解】解：由一次函数的图象经过一，二，三象限，所以 故不符合题意； 直线y＝bx+k 经过一，二，三象限，故B 不符合题意； 直线y＝kx+b(k≠0)与x 轴交于点( 5 ﹣，0)， 关于x 的方程kx+b＝0 的解为x＝﹣5，故符 合题意； 若(x1，y1)，(x2，y2)是直线y＝kx+b 上的两点，而 随 的增大而增大， 若x1＜x2，则y1＜y2，故D 不符合题意； 故选 【变式训练3】如图，一次函数 的图象经过点 ，则下列结论正确的是( ) ．图像经过一、二、三象限 B．关于 方程 的解是 ． D． 随 的增大而减小 【答】 【详解】 图像经过一、二、三象限,故该选项正确，符合题意； B 关于 方程 的解不一定是 ，不正确，不符合题意 根据图象与 轴的交点，可知 ，则 ，故该选项不正确，不符合题意； D 图象经过一、二、三象限， ， 随 的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； 故选 【变式训练4】一次函数 的图象如图所示，则关于 的不等式 的 解集是( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：由图象可知：函数 过点 ， 把 代入 得： ，即 ， ， ， ， 由图象可知： ， 除以 得： ，故选： ． 类型二、一次函数与不等式综合 例．如图，已知函数y＝3x+b 和y＝x 3 ﹣的图象交于点P( 2 ﹣，﹣5)，则根据图象可得不等 式3x+b＞x 3 ﹣的解集是( ) ．x＞﹣2 B．x＜﹣2 ．﹣2＜x＜0 D．x＞0 【答】 【详解】从图象得到，当x＞﹣2 时，y＝3x+b 的图象对应的点在函数y＝x 3 ﹣的图象上面， ∴不等式3x+b＞x 3 ﹣的解集为：x＞﹣2． 故选：． 【变式训练1】如图，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图像过点 ，则不等式 的解集是( ) ．x＞－3 B．x＞－2 ．x＞1 D．x＞2 【答】 【详解】解：将(－1，0)代入y＝kx＋b 中得：－k+b=0，解得：k=b， 则不等式 化为 ，∵k＞0，∴(x－2)+1＞0，解得：x＞1，故选：． 【变式训练2】如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点(4，0)，(0，4)，那么关于x 的不等式 0<kx+b<4 的解集是______． 【答】0<x<4 【详解】解：∵一次函数y=kx+b 的图象经过点(4，0)，(0，4)， ∴由图象可知，不等式0<kx+b<4 的解集是0<x<4， 故答为：0<x<4． 【变式训练3】如图，一次函数y=kx+b 与y=x+2 的图象交于点P(m，5)，则关于x 的不等式 kx+b>x+2 的解集是______． 【答】x＜3 【详解】解：把P(m，5)代入y=x+2 得m+2=5，解得m=3，则P(3，5)， 观察图象，当x＜3 时，一次函数y=kx+b 的图象在一次函数y=x+2 的图象上方，即当x＜3 时，kx+b>-x-2， 所以关于x 的不等式kx+b>-x-2 的解集为x＜3． 故答为：x＜3． 【变式训练4】如图，直线y1＝x＋b 与y2＝kx 1 ﹣相交于点P，点P 的横坐标为﹣1，则关 于x 的不等式kx 1 ﹣＜x＋b 的解集为______． 【答】 【详解】解：观察图象得：当 时，直线y1＝x＋b 在y2＝kx 1 ﹣的上方， ∴关于x 的不等式kx 1 ﹣＜x＋b 的解集为 ．故答为： 课后训练 1．已知不等式 的解是 ，下列有可能是函数 的图像的是( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】根据题意，不等式 的解是 ， 则当 时，函数图象位于 轴下方，据此只有D 选项符合题意，故选D 2．如图所示为两个一次函数的图象，则关于 ， 的方程 的解为________． 【答】 【详解】解如图所示：函数 与函数 ，交于点(2，4)，则一次函数交点 的横纵坐标就是方程组的解，故答为： ． 3．函数 和 的图象相交于点 ，则方程 的解为______． 【答】 【详解】解：由题意知 的解为两直线交点的横坐标 故答为： ． 4．已知一次函数 (k、b 为常数，且 ， )与 的图象相交于点 ，则关于x 的方程 的解为 ____________． 【答】 【详解】解：把 代入 得： ，解得＝ ，∴ ， ∵ 可化为 ，∴根据图象信息可得关于x 的方程 的解为 ， ∴关于x 的方程 的解为x＝ ．故答为： ． 5．如图，直线 与直线 相交于点 ，则关于x 的不等式 的解集为______． 【答】 【详解】根据图像可知，当 时，直线在直线 上方，所以 的解集为 故答为： 6．如图，直线 与直线 交于点 ，由图象可知，不等式 的解为______． 【答】 【详解】由图象知：不等式 的解为 故答为： 7．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 与直线 相交于点 ．根据图象可知，关于 的不等式 的解集是_ _____ 【答】x >2 【详解】由图象知，当x>2 时，函数 的图象位于函数 的图形上方 所以关于 的不等式 的解集是x >2，故答为：x >2 8．如图，直线l1：y1＝x+b 经过( 3 ﹣，0)，(0，1)两点，直线l2：y2＝kx 2 ﹣；①若l1∥l2，则k 的值为 _____；②当x＜1 时，总有y1＞y2，则k 的取值范围是 ________． 【答】 ≤k≤ 【详解】①将点(-3，0)、( 0，1)代入 ，得： ，解得： ， ∴直线的解析式为： ，∵ ，∴ ， ②将x=1 代入 ，得： ，∴直线l1经过(1， )， 将(1， )代入 ，得： ，解得 ， ∵直线l2经过定点(0，-2)， 当直线l2绕着点(0，-2)顺时针旋转至两直线平行之间任意位置时都满足题意， ∴ ， 故答为： ， ． 9．如图，一次函数 的图象与x 轴交于点(3，0)，与y 轴交于点B(0，4)，与正比例 函数 的图象交于点，且点的横坐标为2，则不等式 的解集为______． 【答】x＜2 【详解】解：由图象可得：当x＜2 时，x＜kx+b，所以不等式x＜kx+b 的解集为x＜2， 故答为：x＜2． 10．直线y＝kx+b 与直线y＝5 4 ﹣x 平行，且与直线y＝﹣3(x 6) ﹣ 相交，交点在y 轴上，求 直线y＝kx+b 对应的函数解析式． 【答】 ． 【详解】解：∵直线 与直线 平行，∴ ， 对于函数 ， 当 时， ， 将点 代入 得： ，解得 ， 则直线 对应的函数解析式为 ．