专题08 一次函数与几何综合的五种考法（解析版）

专题08 一次函数与几何综合的五种考法 类型一、等腰三角形存在性问题 例．如图，直线 和直线 都经过x 轴负半轴上一点B，分别与y 轴的交点 分别为、，且 ． (1)求直线 的解析式； (2)点E 在x 轴上， 为等腰三角形，请直接写出点E 的坐标． 【答】(1) (2) 、 、 、 ． 【分析】（1）根据直线 可求出与 轴交点 ，由 可求出点点 坐标为 ，由待定系数法即可求出直线B 的解析式． （2）先根据 、 两点的坐标求出 ，然后等腰三角形的腰长分类讨论：当 时，当 时，当 时，分别求出点E 坐标． 【详解】（1）解：当 时， ， 即点 坐标为： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴即点 坐标为： ， ∴设直线 解析式为 ，得： ，解得： ， ∴直线 解析式为 ． （2）∵直线 交 轴于点 ， ∴点 坐标为 ， 又∵点 坐标为 ， ∴ ，如图： 当 时， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ； 当 时，点 与点 是关于 轴对称， 点的坐标为 ， 当 时，设点 坐标为 ， 则 ，解得： 点的坐标为 ， 综上所述，点 的坐标为 、 、 、 ． 【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点 的坐标特征，等腰三角形的判定，难点在第三问，分类讨论思想的运用是解题的关键． 【变式训练1】如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，点 是射线 上 的动点，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ，垂足为点 ，连接 ． (1)当点 在线段 上时， ①求证： ； ②若点 为 的中点，求 的面积． (2)在点 的运动过程中，是否存在某一位置，使得 成为等腰三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)①见解析；② (2) 或 ． 【分析】（1）①根据一次函数解析式得出 ，根据垂直关系以及等角的余角 相等，得出 ，进而证明 ； ②由①知： ，则 ，直线 的解析式为： ，同理可得： 直线 的解析式为： ，联立 得出 ，进而根据三角形面积 公式即可求解； （2）分当点 在线段 上时，当点 在 的延长线上时，根据等腰三角形的定义，即 可求解． 【详解】（1）①证明：当 时， ， ， 当 时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解： ，点 是 的中点， ， 由①知： ， ， ， 设直线 的解析式为： ， ， ， 同理可得：直线 的解析式为： ， 由 得， ， ， ； （2）解：如图1， 当点 在线段 上时， 若 ，由于 ，则有 ， 在 中， 是钝角， ， 即 不可能； 若 ，由于 ，则有 ， 过点作 轴于点，显然 ， 即 不可能， 当 是等腰三角形时，只有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图2， 当点 在 的延长线上时， 同理可得： ， 综上所述： 或 ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，熟练掌握全等三角形的性质与判定，坐标 与图形是解题的关键． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴 分别交于点 、 ，点 为 轴上一动点，连接 ． (1)求点 、 的坐标； (2)当点 在 轴负半轴上，且 的面积为6 时，求点 的坐标； (3)是否存在点 使得 为等腰三角形?若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理 由． 【答】(1) ， (2) (3)存在，点 的坐标为 或 或 或 【分析】（1）令 和 即可求得点的坐标 （2）由 为 的边 上的高，利用 的面积即可求得点 的坐标 （3）分三种情况讨论，即可求得点 的坐标 【详解】（1）在 中， 令 ，得 ，所以点 的坐标为 ； 令 ，得 ，所以点 的坐标为 ． （2）设点 的坐标为 ， 易得 ， ． 因为 为 的边 上的高， 所以 ， 解得 ， 所以点 的坐标为 ． （3）因为 ， ， 所以 ． 当 为等腰三角形时，需分以下三种情况： ①当 时，因为 ， 所以 ． 又因为 ， 所以此时点 的坐标为 或 ； ②当 时，因为 ， 所以 ， 所以此时点 的坐标为 ； ③当 时，如图． 设 ，则 ， ， 所以 ， ， 所以 解得 ， 所以此时点 的坐标为 ． 综上所述，存在点 使得 为等腰三角形，点 的坐标为 或 或 或 ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，属于综合题，解题的关键是根据等腰三角形的性质 求得点的坐标 类型二、直角三角形存在性问题 例．如图，直线 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点是B 的中点． (1)求点的坐标： (2)在x 轴上找一点D，使得 ，求点D 的坐标； (3)在x 轴上是否存在一点P，使得 是直角三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不 存在，请说明理由． 【答】(1) (2)点D 的坐标为 或 (3)存在，满足条件的 点的坐标为 或 【分析】（1）先求出点B 的坐标，再依据点是的中点，求出点的坐标． （2）先根据题意求出 ，设点 ，则 ，再根据三角形面积公式可求 的长，解得m 的值，即可得出点D 的坐标． （3）假设存在，设点P 的坐标为 ，分两种情况讨论：① ，② ，由直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）∵直线 与y 轴交于点B， 令 得， ， ∴ ， ∴ ， ∵点是B 的中点， ∴ ， ∴ ． （2）∵直线 与x 轴交于点， 令 得， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设点 ，则 ， ∴ ，解得 或 ， ∴点D 的坐标为 或 ； （3）假设存在，设点P 的坐标为 ， 因为 确定，所以 是直角三角形需分2 种情况分析： ①若 ，此时点P 与原点重合，坐标为 ； ②若 ，则 ， ∵ ， ， ， ； ∵ ， ， ， ∴ ，解得 ，此时点 的坐标为 ， 综上所述，满足条件的 点的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，直角三角形性质，勾股定理， 利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【变式训练1】如图1，在同一平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ，与x 轴交于点 ，直线 与x 轴交于点． (1)填空： ， ， ； (2)如图2，点D 为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x 轴于点F． ①求线段 的长度； ②当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标； ③若 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D 的坐标． 【答】(1)8， ， (2)① ；②点E 的坐标为 ；③点D 的坐标为 或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点作 轴于点，作 轴于点G，根据勾股定理得到 ，于是得到结论； ②利用勾股定理求出 ，可得 ，即可得答； ③分两种情况讨论，当 时，求出 ，得 ，得 ，得点D 坐标；当 时，设 ，则 ，由勾股定 理得： ，求出 ，得点D 坐标． 【详解】（1）解：把 代入 ， ∵ ， ∴ ， ∴直线 ： ， 把 代入 ， ∴ ， ∴ ， 把 代入 ， ∵ ， ∴ ． 故答为：8， ， ； （2）解：①∵直线 ： ， ∴点的坐标为 ， 如下图，过点作 轴于点，作 轴于点G，则 ， ， ∵ 翻折得到 ∴ ， ∴ ②当E 点落在y 轴上时， 在 中， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴点E 的坐标为 ； ③如下图， 当 时，由翻折得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴点D 的坐标为 ； 如下图， 当 时， ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得： ， 解得： ， ∴ ， ∴点D 的坐标为 ， 综上，点D 的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质 和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线． 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系 中，点为坐标原点，直线 : 与 直线 ： 交于点 ，与x 轴分别交于点 和点．点D 为线段 上一 动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x 轴于点F． (1)直线 的函数表达式． (2)当点D 在线段 上，点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标． (3)若 为直角三角形，求点D 的坐标． 【答】(1) ；(2) ；(3) 或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作 轴于M， 轴于，则 ，由折叠得 ，利 用勾股定理列得 ，代入计算即可得到 的长，由此得到答； （3）分两种情况：①当 时，过作 轴于G，得到 ，从而得 到答；当 时，由折叠得 ， ，设 ，则 ，利用勾股定理得到 ，求出m，再求D 即可得到答． 【详解】（1）解：将 代入直线 中，解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 将点的坐标代入，得 ，∴ ， 将点的坐标代入直线 中，解得 ， ∴直线 的解析式为： （2）（3）过点作 轴于M， 轴于，则 ， 由折叠得 ，∴ ， ∴ ，解得 （负值已舍去）， 又E 在y 轴负半轴，∴ ； （3）分两种情况：①当 时，如图， 由折叠得 ， ， 过作G x ⊥轴于G， ， ， ，∴ ； ②当 时，如图， 由折叠得 ， ，∴ ， 由、B 两点坐标可得： ， 设 ，则 ，∴ ， ∴ ，解得 ， ∴ ，∴ ，综上， 或 ． 【点睛】此题考查一次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，折叠的性质，等腰直 角三角形的性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 例．如图，平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，过点B 作x 轴的平行线l，点P 是在直线l 上位于第一象限内的一个动点，连接 ． (1)如图1，求出 的面积； (2)如图2，已知点是直线 上一点，若 是以 为直角边的等腰直角三角形， 求点的坐标． 【答】(1) 的面积为40 (2)点的坐标为 或 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）当点 在直线的上方时，证明 ，得到 且 ，即可 求解；当点 在直线的下方时，同理可解． 【详解】（1）∵点 ，点 ， ∴ ， 过点P 作 于， ∵直线 轴，点B 在z 轴上， ∴ ， ∴ ． 故答为：40； （2）设点 ，点 ， 当点 在直线的上方时，如图， 过点 作直线 ，交 轴于点 ，交过点 与 轴的平行线于点 ，、 为等腰直角三角形，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 且 ， 则 且 ， 解得： ， 即点 的坐标为 （不合题意的值已舍去）； 当点 在直线的下方时，如图， 过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ， 同理可得： ， 且 ， 或 ， 解得： 或 ， 即点 的坐标为 或 （舍去）， 综上，点 的坐标为： 或 ． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角 形的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第三问注意考虑问题要全面，做到不重不漏． 本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线： 与 轴、 轴的正半轴分别相交于点、B，过点 作平行于 轴的直线交 于点D， ， (1)求直线的解析式； (2)求证： 是等腰直角三角形； (3)将直线沿 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与 ， 轴分别相交于点 ， 在直线 上存在点P，使得 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标． 【答】(1) (2)见解析 (3) 或 或 或 或 【分析】（1）根据题意可得 ，再由 ，求出m 的值，即可； （2）先求出 ，再由两点坐标公式分别求出 的三边长，即可； （3）分若以点P 为直角顶点时；若以点 为直角顶点时；若以点 为直角顶点时，即可 求解． 【详解】（1）解：∵过点 作平行于 轴的直线交 于点D， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，解得： ， ∴直线的解析式为： ； （2）解：对于直线： ， 当 时， ，当 时， ， ∴ ， ∵点 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ 是等腰直角三角形； （3）解：设直线 交x 轴于点F，则点 ， ∴ ， 设平移后直线的解析式为 ， 当 时， ，当 时， ， ∴点 ， 如图，若以点P 为直角顶点时，过点P 作 轴于点E，此时 ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 此时点P 的坐标为 ； 如图，若以点P 为直角顶点时，过点P 作 轴于点E，此时 ， ， ， ， 同理此时点P 的坐标为 ； 如图，若以点 为直角顶点时，过点P 作 轴于点G，则 ， 同理 ， ∴ ， ， ∴ 或0（舍去）， ∴ ， ∴ ， ∴此时点P 的坐标为 ； 如图，若以点 为直角顶点时，过点 作 轴于点M，则 ， ， 同理 ， ∴ ， ， ∴ （舍去）； 如图，若以点 为直角顶点时， 同理 ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 此时点P 的坐标为 ； 如图，若以点 为直角顶点时， 同理 ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∴此时点P 的坐标为 ； 综上所述，点P 的坐标为 或 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理 及其逆定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线 交y 轴于点，交x 轴 于点 ，点P 是直线 右边第一象限内的动点． (1)①的坐标是_____________ ②求直线 的表达式； (2)点P 是直线 上一动点，当 的面积与 的面积相等时，求点P 的坐标； (3)当 为等腰直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 【答】(1)① ，②直线 的解析式是 ；(2) ；(3) ； ； 【分析】（1）把 代入 即可求点的坐标；把B 点的坐标代入 求得 即可求得结果； （2）设点P 的坐标为 ，先求出 ，再由 可得 ，根据 求出，即可求点P 的坐标； （3）当点P 为顶点时，过点P 作 轴，过点作 垂直于 的延长线于点F， 证明 可得 ， ，根据四边形 是矩形可得 ，最后根据点、B 的坐标可得即可求出结果； 当点B 为顶点时，过点P 作 轴，证明 可得 ， ，最后 根据点、B 的坐标可得即可求出结果； 当点为顶点时，过点P 作 轴，证明 可得 ， ，最后 根据点、B 的坐标可得即可求出结果． 【详解】（1）解：①∵直线 交y 轴于点， ∵当 时， ， ∴点 ， 故答为： ； ②解：∵直线 交x 轴于点 ， ∴把点B 代入 可得： ， ， ∴直线 的解析式是 ． （2）解：如图直线 与y 轴相交于点E，且直线 过点P， ∴点E 的坐标为 ， ∵设点P 的坐标为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ∴点P 的坐标为： ． （3）解：如图1，当点P 为顶点时，过点P 作 轴，过点作 垂直于 的延长线 于点F， ∵ 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ∴四边形 是矩形， ， ， ， 、 ， ， ， ， ， ， ， ∴点P 的坐标为 ； 如图2，当点B 为顶点时，过点P 作 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 、 ， ， ， ， ， ∴点P 的坐标为 ； 如图3，当点为顶点时，过点P 作 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 、 ， ， ， ， ， ∴点P 的坐标为 ， 故答为： ； ； ． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，等腰直角三角形的性质和矩形的性质及全等三 角形的性质的判定，熟练求一次函数的解析式和构造全等三角形是解题的关键． 类型四、全等问题 例．如图，直线l： 与x 轴、y 轴分别交于、B 两点， 于点M，点P 为 直线l 上不与点、B 重合的一个动点． (1)点坐标为________，点B 坐标为________，线段 的长为________； (2)当 的面积是4 时，求点P 的坐标； (3)在y 轴上是否存在点Q，使得以、P、Q 为顶点的三角形与 全等，若存在，请直接 写出所有符合条件的点P 的坐标，否则请说明理由． 【答】(1) ， ， (2) 或 (3)存在，P 点坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ， 【分析】（1）令 ，求出 ，令 ，求出 ，再利用等积法求 的长即可； （2）设点 ，由 ，可求点 坐标为 或 ； （3）当 时， ，则 ， 或 ， ；当 时， ，则 ， 或 ， ． 【详解】（1）解：令 ，则 ， ， 令 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答为： ， ， ； （2）设点 ， ， ， 点 的横坐标为2 或 ， 点 坐标为 或 ； （3）存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 全等，理由如下： ①如图1，图2，当 时， ， 或 ， ， 或 ， ； ②如图3，图4，当 时， ， ， 或 ， ； 综上所述： 点坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ， ． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等 的判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． 【变式训练1】如图，一次函数 的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点B， 于点，点P 在直线 上运动，点Q 在y 轴的正半轴上运动． (1)求点，B 的坐标； (2)求 的长； (3)若以，P，Q 为顶点的三角形与 全等，求点Q 的坐标． 【答】(1) ， ；(2) (3)Q 的坐标为 或 或 【分析】（1）将 和 分别代入 求解即可； （2）首先根据点和点B 的坐标得到 ，然后利用勾股定理求出 ，然 后利用 代入求解即可； （3）首先根据题意得到 是 的斜边，Q 为直角顶点，然后设 ，则 ，然后分3 种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）在 中，令 得 ，令 得 ， ∴ ， ； （2）由（1）知 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3）∵以，P，Q 为顶点的三角形与 全等， ∴ 是 的斜边，Q 为直角顶点， 设 ，则 ， 当 ，P 在下方时，如图： 则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当 ，P 在上方时，如图： ∵ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当 时，如图： 则 ， ∴ ； 综上所述，Q 的坐标为 或 或 ． 【点睛】此题考查了一次函数与三角形综合题，全等三角形的性质等知识，解题的关键是 熟练掌握以上知识点． 【变式训练2】直线 ： 分别与 ， 轴交于 ， 两点，点 的坐标为 ， ，过点 的直线交 轴正半轴于点 ，且 ． (1)求点 的坐标及直线 的函数表达式； (2)在坐标系平面内，存在点 ，使以点 ， ， 为顶点的三角形与 全等，画出