专题08 一次函数与几何综合的五种考法（原卷版）

专题08 一次函数与几何综合的五种考法 类型一、等腰三角形存在性问题 例．如图，直线 和直线 都经过x 轴负半轴上一点B，分别与y 轴的交点 分别为、，且 ． (1)求直线 的解析式； (2)点E 在x 轴上， 为等腰三角形，请直接写出点E 的坐标． 【变式训练1】如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，点 是射线 上 的动点，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ，垂足为点 ，连接 ． (1)当点 在线段 上时， ①求证： ； ②若点 为 的中点，求 的面积． (2)在点 的运动过程中，是否存在某一位置，使得 成为等腰三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴 分别交于点 、 ，点 为 轴上一动点，连接 ． (1)求点 、 的坐标； (2)当点 在 轴负半轴上，且 的面积为6 时，求点 的坐标； (3)是否存在点 使得 为等腰三角形?若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理 由． 类型二、直角三角形存在性问题 例．如图，直线 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点是B 的中点． (1)求点的坐标： (2)在x 轴上找一点D，使得 ，求点D 的坐标； (3)在x 轴上是否存在一点P，使得 是直角三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不 存在，请说明理由． 【变式训练1】如图1，在同一平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ，与x 轴交于点 ，直线 与x 轴交于点． (1)填空： ， ， ； (2)如图2，点D 为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x 轴于点F． ①求线段 的长度； ②当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标； ③若 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D 的坐标． 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系 中，点为坐标原点，直线 : 与 直线 ： 交于点 ，与x 轴分别交于点 和点．点D 为线段 上一 动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x 轴于点F． (1)直线 的函数表达式． (2)当点D 在线段 上，点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标． (3)若 为直角三角形，求点D 的坐标． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 例．如图，平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，过点B 作x 轴的平行线l，点P 是在直线l 上位于第一象限内的一个动点，连接 ． (1)如图1，求出 的面积； (2)如图2，已知点是直线 上一点，若 是以 为直角边的等腰直角三角形， 求点的坐标． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线： 与 轴、 轴的正半轴分别相交于点、B，过点 作平行于 轴的直线交 于点D， ， (1)求直线的解析式； (2)求证： 是等腰直角三角形； (3)将直线沿 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与 ， 轴分别相交于点 ， 在直线 上存在点P，使得 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线 交y 轴于点，交x 轴 于点 ，点P 是直线 右边第一象限内的动点． (1)①的坐标是_____________ ②求直线 的表达式； (2)点P 是直线 上一动点，当 的面积与 的面积相等时，求点P 的坐标； (3)当 为等腰直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 类型四、全等问题 例．如图，直线l： 与x 轴、y 轴分别交于、B 两点， 于点M，点P 为 直线l 上不与点、B 重合的一个动点． (1)点坐标为________，点B 坐标为________，线段 的长为________； (2)当 的面积是4 时，求点P 的坐标； (3)在y 轴上是否存在点Q，使得以、P、Q 为顶点的三角形与 全等，若存在，请直接 写出所有符合条件的点P 的坐标，否则请说明理由． 【变式训练1】如图，一次函数 的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点B， 于点，点P 在直线 上运动，点Q 在y 轴的正半轴上运动． (1)求点，B 的坐标； (2)求 的长； (3)若以，P，Q 为顶点的三角形与 全等，求点Q 的坐标． 【变式训练2】直线 ： 分别与 ， 轴交于 ， 两点，点 的坐标为 ， ，过点 的直线交 轴正半轴于点 ，且 ． (1)求点 的坐标及直线 的函数表达式； (2)在坐标系平面内，存在点 ，使以点 ， ， 为顶点的三角形与 全等，画出 ，并求出点 的坐标． 【变式训练3】如图①，已知直线 与x 轴、y 轴分别交于点、，以 为边 在第一象限内作长方形 ． (1)点的坐标为__________，点B 的坐标为__________； (2)如图②，将 对折，使得点与点重合，折痕 交 于点 ，交 于点D，求点 D 的坐标； (3)在第一象限内，是否存在点P（点B 除外），使得 与 全等？若存在，请求 出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五、角度之间关系 例．已知：直线 分别与x 轴负半轴、y 轴正半轴交于点、B． (1)如图1，若直线 过 ，求 ． (2)如图2，点 关于 轴的对称点为 ，将线段 沿 轴正半轴移动到 ，直线 交 直线 于点 ，直线 交 轴于点 ，求 的值． (3)如图3，在（1）的条件下，在 轴上是否存在一点 ，使得 ，若存在请 求出 点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线 交y 轴于点，交x 轴于点 D．直线 交x 轴于点 ，点P 为直线 上的动点． (1)求直线 的关系式； (2)连接 ，当线段 时，直线 上有一点动M，x 轴上有一动点，直接写出 周长的最小值； (3)若 ，直接写出点P 的纵坐标． 【变式训练2】如图1，函数 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点与点关于y 轴对 称． (1)求直线B 的函数解析式； (2)设点M 是x 轴上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交直线B 于点P，交直线B 于点 Q． ①若 的面积为 ，求点M 的坐标． ②连接BM，如图2，在点M 的运动过程中是否存在点P，使 ，若存在， 请求出点P 坐标，若不存在，请说明理由． 课后训练 1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2 与 x 轴交于点 ，与y 轴交于点 B． (1)求点 ，B 的坐标； (2)若直线 ⊥B 交y 轴负半轴于点 ，求△B 的面积； (3)在y 轴上是否存在点 P，使以 ，B，P 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x 轴、y 轴于点 、点 ，且、b 满足 ． (1)＝ ；b＝ ． (2)点P 在直线 的右侧，且 ； ①若点P 在x 轴上，则点P 的坐标为 ； ②若 为直角三角形，求点P 的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点， 与直线 相交点 ，点D 是直线 与 轴的交点． (1)填空： ______， ______； (2)在射线 上有一动点E，过点E 作EF 平行于 轴交直线 于F，连接BE，当 时，求点E 的坐标； (3)点M 为直线 上一点，且 ，求点M 的坐标． 4．如图1，已知直线 与y 轴，x 轴分别交于，B 两点，过点B 在第二象限内作 且 ，连接 ． (1)求点的坐标； (2)如图2，过点作直线 轴交 于点D，交y 轴于点E ①求线段 的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B 外），使得以点M，，D 为顶点的三角形与 全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标系的原点，直线y＝2x＋4 分别交x 轴，y 轴于点 B，，点在x 轴的正半轴上，连接，若 ． (1)求点的坐标； (2)点D 在第一象限直线 上，连接D，D，设点D 的横坐标为t，△D 的面积为 S，求S 与t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）； (3)在（2）的条件下，连接D，过点作E D ∥，交直线B 于点E，连接E．若∠BE＝∠E，求S 的值．