专题19.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】（原卷版）

专题194 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】 【人版】 【题型1 一次函数与一元一次方程的解】.............................................................................................................1 【题型2 两个一次函数与一元一次方程】.............................................................................................................2 【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】..........................................................................................3 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】.................................................................................................. 3 【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】.........................................................................................................4 【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】.....................................................................................................4 【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】.........................................................................................................5 【题型8 绝对值函数与不等式】.............................................................................................................................6 【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】.................................................................................................. 8 【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】.............................................................................................9 【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】 1 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）．当函数值为0 时，即kx+b=0 就与一元一次方程完全相同． 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的形式．所以解一 元一次方程可以转化为：当一次函数值为0 时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值． 2 解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0 时，求自变量相应的取 值范围 【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 【例1】（2022 秋•白塔区校级月考）直线y＝3x﹣m 4 ﹣经过点（m，0），则关于x 的方程 3x﹣m 4 ﹣＝0 的解是 ． 【变式1-1】（2022 春•安阳县期末）一次函数y＝kx+b 的图象如图所示，则关于x 的方 程kx+b＝0 的解为 ． 1 【变式1-2】（2022 春•雷州市校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b 是常数）的图象如 图所示，则关于x 的方程kx+b＝4 的解是（ ） ．x＝3 B．x＝4 ．x＝0 D．x＝b 【变式1-3】（2022 秋•招远市期末）已知关于x 的一次函数y＝3x+的图象如图，则关于x 的一次方程3x+＝0 的解是（ ） ．x＝﹣2 B．x＝﹣3 ． D． 【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 【例2】（2022 秋•双流区期末）已知一次函数y＝5x+m 的图象与正比例函数y＝kx 的图象 交于点（﹣2，4）（k，m 是常数），则关于x 的方程5x＝kx﹣m 的解是 ． 【变式2-1】（2022 秋•龙岗区期末）如图，函数y＝2x+b 与函数y＝kx 1 ﹣的图象交于点 P，则关于x 的方程kx 1 ﹣＝2x+b 的解是 ． 【变式2-2】（2022 秋•苏州期末）已知一次函数y＝kx+1 与 的图象相交于点 （2，5），求关于x 的方程kx+b＝0 的解． 【变式2-3】（2022 秋•包河区期末）已知直线y＝x+b 和y＝x+2 交于点P（3，﹣1），则 关于x 的方程（﹣1）x＝b 2 ﹣的解为 ． 【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 【例3】（2022 春•江都区校级月考）若一次函数y＝kx+b（k 为常数且k≠0）的图象经过点 1 （﹣2，0），则关于x 的方程k（x 5 ﹣）+b＝0 的解为 ． 【变式3-1】（2022•姜堰区一模）若一次函数y＝x+b（、b 为常数，且≠0）的图象过点 （2，0），则关于x 的方程（x+1）+b＝0 的解是 ． 【变式3-2】（2022 秋•庐阳区校级期中）若关于x 的一次函数y＝kx+b 的图象经过点（﹣ 1，0），则方程k（x+2）+b＝0 的解为 ． 【变式3-3】（2022 秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx 2 ﹣向下平移4 个单位长度得直线y ＝kx+m，已知方程kx+m＝0 的解为x＝3，则k＝ ，m＝ ． 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 【例4】（2022 春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组{ y=kx+3 y=ax+b的解为 ． 【变式4-1】（2022•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如 图所示，则关于x，y 的方程组{ y−k1 x=b1 y−k2 x=b❑2 的解是 ． 【变式4-2】（2022 秋•西乡县期末）已知二元一次方程组{ x−y=−5 x+2 y=−2的解为{ x=−4 y=1 ，则 在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5 与直线l2：y¿−1 2x 1 ﹣的交点坐标为（ ） ．（4，1） B．（1，﹣4） ．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1） 【变式4-3】（2022•德城区二模）若以关于x、y 的二元一次方程x+2y﹣b＝0 的解为坐标的 1 点（x，y）都在直线y¿−1 2x+b 1 ﹣上，则常数b 的值为（ ） ．1 2 B．1 ．﹣1 D．2 【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 【例5】（2022 秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y 的方程组{ y=kx+b y=(3k−1)x+2 （1）当k，b 为何值时，方程组有唯一一组解； （2）当k，b 为何值时，方程组有无数组解； （3）当k，b 为何值时，方程组无解． 【变式5-1】（2022 秋•苏州期末）若二元一次方程组{ 3 x+ y=−1 2 x+my=−8有唯一的一组解，那 么应满足的条件是（ ） ．m=2 3 B．m≠2 3 ．m=−2 3 D．m≠−2 3 【变式5-2】（2022 春•覃塘区期中）如果关于x，y 的方程组{ x+ y=1 ax+by=c有唯一的一组解， 那么，b，的值应满足的条件是（ ） ．≠b B．b≠ ．≠ D．≠且≠1 【变式5-3】（2022 春•高明区期末）k 为何值时，方程组{ kx−y=−1 3 3 y=1−6 x 有唯一一组解；无 解；无穷多解？ 【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 【例6】（2022•海淀区校级自主招生）已知一次函数y＝kx+b 中x 取不同值时，y 对应的值 列表如下： x … ﹣m2 1 ﹣ 1 2 … y … 2 ﹣ 0 2+1 … 则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，为常数）的解集为（ ） ．x＞1 B．x＞2 ．x＜1 D．无法确定 【变式6-1】（2022 春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b 的图象经过点（﹣3， 2），B（1，0），则关于x 的不等式kx+b＜2 解集为 ． 1 【变式6-2】（2022 春•湖南期中）已知关于x 的不等式x+1＞0（≠0）的解集是x＜1，则 直线y＝x+1 与x 轴的交点是（ ） ．（0，1） B．（﹣1，0） ．（0，﹣1） D．（1，0） 【变式6-3】（2022 春•高明区校级期末）如图，直线y＝kx+b 与直线y¿−1 2 x+ 5 2交于点 （m，2），则关于x 的不等式kx+b≤−1 2x+5 2 的解集是（ ） ．x≤2 B．x≥1 ．x≤1 D．x≥2 【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 【例7】（2022•钟山县校级模拟）直线l1：y＝k1x+b 与直线l2：y＝k2x 在同一平面直角坐标 系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k2x＞k1x+b 的解集为（ ） ．x＞3 B．x＜3 ．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【变式7-1】（2022•烟台）如图，直线y＝x+2 与直线y＝x+相交于点P（m，3），则关于 x 的不等式x+2≤x+的解集为 ． 1 【变式7-2】（2022 春•楚雄州期末）已知关于x 的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点 （2，4）、B（0，3）． （1）求一次函数y＝kx+b 的解析式； （2）若关于x 的一次函数y＝mx+（m＜0）的图象也经过点，则关于x 的不等式 mx+≥kx+b 的解集为 ． 【变式7-3】（2022 春•潮安区期末）已知直线y＝kx+5 交x 轴于，交y 轴于B 且坐标为 （5，0），直线y＝2x 4 ﹣与x 轴于D，与直线B 相交于点． （1）求点的坐标； （2）根据图象，写出关于x 的不等式2x 4 ﹣＞kx+5 的解集； （3）求△D 的面积． 【题型8 绝对值函数与不等式】 【例8】（2022 秋•临海市校级月考）小敏学习了一次函数后，尝试着用相同的方法研究函 数y＝|x﹣b|+的图象和性质． （1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x 2| ﹣和y＝|x 2|+1 ﹣ 的图象； （2）猜想函数y＝﹣|x+1|和y＝﹣|x+1| 3 ﹣的图象关系； （3）尝试归纳函数y＝|x﹣b|+的图象和性质； （4）当﹣2≤x≤5 时，求y＝﹣2|x 3|+4 ﹣ 的函数值范围． 1 【变式8-1】（2022 秋•玄武区期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函 数y＝|x|的图象和性质，并解决问题． （1）完成下列步骤，画出函数y＝|x|的图象； ①列表、填空； x … 3 ﹣ 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 3 … y … 3 1 1 2 3 … ②描点； ③连线． （2）观察图象，当x 时，y 随x 的增大而增大； （3）根据图象，不等式|x|＜1 2x+3 2 的解集为 ． 【变式8-2】（2022 春•确山县期末）画出函数y＝|x| 2 ﹣的图象，利用图象回答下列问题： （1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y 的最小值； （2）利用图象直接写出不等式|x| 2 ﹣＞0 的解集； （3）若直线y＝kx+b（k，b 为常数，且k≠0）与y＝|x| 2 ﹣的图象有两个交点（m， 1），B（1 2，−3 2 ），直接写出关于x 的方程|x| 2 ﹣＝kx+b 的解． 【变式8-3】（2022 春•重庆期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连 线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|2x+4|+x+m 1 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）如表是部分x，y 的对应值： x … 6 ﹣ 5 ﹣ 4 ﹣ 3 ﹣ 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 … y … 0 2 ﹣ 3 ﹣ 4 ﹣ 1 ﹣ 2 5 8 … 根据表中的数据可以求得m＝ ，＝ ； （2）请在给出的平面直角坐标系中，描出以如表中各组对应值为坐标的点，再根据描 出的点画出该函数的图象； （3 ）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质 ； （4）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣4，﹣2）和点（1，5），结合你所 画的函数图象，直接写出不等式kx+b＜|2x+4|+x+m 的解集． 【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】 【例9】（2022 秋•青田县月考）如图，可以得出不等式组{ ax+b＜0 cx+d ＞0的解集是（ ） 1 ．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 ．﹣1＜x＜4 D．x＞4 【变式9-1】（2022 春•南康区期末）如图，直线y＝﹣x+m 与直线y=1 2 x+3交点的横坐标 为﹣2．则关于x 的不等式组{ −x+m＞1 2 x+3 1 2 x+3＞0 的解集为 ． 【变式9-2】（2022•富阳区二模）如图，直线y＝kx+b 经过点（﹣1，3），B（−5 2 ，0）两 点，则不等式组0＜kx+b＜﹣3x 的解集为 ． 【变式9-3】（2022•青羊区校级自主招生）如图，直线y1＝x+2 与y2＝bx+4 交于点 （1，+2），将直线y1＝x+2 向下平移后得到y3＝x 5 ﹣，则能使得y3＜y2＜y1的x 的所有 整数值分别为（ ） ．1，2，3 B．2，3 ．2，3，4 D．3，4，5 【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 【例10】（2022•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ） 1 ．{ 2 x+ y ≥5 3 x+4 y ≥9 y ≥0 B．{ 2 x+ y ≤5 3 x+4 y ≤9 y ≥0 ．{ 2 x+ y ≥5 3 x+4 y ≥9 x ≥0 D．{ 2 x+ y ≤5 3 x+4 y ≥9 x ≥0 【变式10-1】（2022 秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（ ） ．x﹣y≤ 5 ﹣ B．x+y≥ 5 ﹣ ．x+y≤5 D．x﹣y≤5 【变式10-2】（2012 春•南岸区期末）如图，用不等式表示阴影区域为（ ） ．x+y≤0，且x﹣y≥0 B．x+y≥0，且x﹣y≥0 ．x+y≥0，且x﹣y≤0 D．x+y≤0，且x﹣y≤0 【变式10-3】（2022 春•广水市期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程x﹣ 1 y＝0 的一个解{ x=1 y=1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x ﹣y＝0 的解为坐标的点的全体叫作方程x﹣y＝0 的图象．一般地，在平面直角坐标系中， 任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x﹣y＝0 的图象称为直线 x﹣y＝0． 直线x﹣y＝0 把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M （x0，y0）的坐标满足不等式x﹣y≤0，那么点M（x0，y0）就在直线x﹣y＝0 的上方区域 内．特别地，x＝k（k 常数）表示横坐标为k 的点的全体组成的一条直线，y＝m（m 为 常数）表示纵坐标为m 的点的全体组成的一条直线． 请根据以上材料，探索完成以下问题： （1）已知点（2，1）、B（8 3 ，3 2）、（13 6 ，5 4 ）、D（4，9 2），其中在直线3x 2 ﹣y＝ 4 上的点有 （只填字母）；请再写出直线3x 2 ﹣y＝4 上一个点的坐标 ； （2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组{ 0≤x ≤4 0≤y ≤3则所有的点P 组成的图形的面积 是 ； （3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组{ 0≤x ≤1 0≤y ≤2 x−y ≥0 ，请在平面直角坐标系中画出所 有的点P 组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积． 1