68 反比例函数中的相似三角形问题

反比例函数中的相似三角形问题 1、阅读理解在研究函数y＝| |的图象性质时，我们用“描点”的方法画出函数的图象．列出表示几组x 与 y 的对应值： x … 6 ﹣ 4 ﹣ 3 ﹣ 2 ﹣ 1 ﹣ 1 2 3 4 6 … y＝| | … 1 2 3 6 6 3 2 1 … 描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到函数y＝| | 的图象，如图1： 可以看出，这个函数图象的两个分支分别在第一、二象限，且当x＞0 时，与函数y＝ 在第一象限的图 象相同；当x＜0 时，与函数y＝﹣ 在第二象限的图象相同．类似地，我们把函数y＝| |（k 是常数， k≠0）的图象称为“并进双曲线”． 认真观察图表，分别写出“并进双曲线”y＝| |的对称性、函数的增减性性质： ①图象的对称性性质： ； ②函数的增减性性质： ； 延伸探究：如图2，点M，分别在“并进双曲线”y＝| |的两个分支上，∠M＝90°，判断M 与的数量关 系，并说明理由． 解：阅读理解：①函数图象关于y 轴对称．②当x＞0 时，y 随x 的增大而减小．当x＜0 时，y 随x 的增大 而增大；函数图象关于y 轴对称： 故答为：当x＞0 时，y 随x 的增大而减小．当x＜0 时，y 随x 的增大而增大； 延伸探究：M＝， 理由：过M 作M⊥x 轴于，过轴B⊥x 轴于B，如图2， 设M（m， ），（，﹣ ），则m＞0，＜0， ∴＝m，M＝ ，＝﹣，B＝﹣ ， ∵∠M＝90°， ∴∠M+∠B＝90°， ∵∠M+∠M＝90°， ∴∠B＝∠M， ∵∠M＝∠B＝90°， ∴△M∽△B， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴m＝﹣6 或m＝6（舍去）， ∴m＝﹣ ， ∴＝B， ∴△M≌△B， ∴M＝． 2、如图，反比例函数y＝ 的图象经过点 ，射线B 与反比例函数的图象的另一个交点为B （﹣1，），射线与x 轴交于点E，与y 轴交于点，∠B＝75°，D⊥y 轴，垂足为D． （1）求反比例函数的解析式； （2）求D 的长； （3）在x 轴上是否存在点P，使得△PE 与△D 相似，若存在，请求出满足条件点P 的坐标，若不存在， 请说明理由． 解：（1）∵反比例函数y＝ 的图象经过点 ， ∴k＝﹣2 ， ∴反比例函数的解析式为： ； （2）过点B 作BM⊥D 于M，把B（﹣1，）代入 得 ， ∴B（﹣1，2 ）， ∴M＝BM＝2 1 ﹣， ∴∠BM＝45°， ∵∠B＝75°， ∴∠D＝75° 45° ﹣ ＝30°， ∴D＝D•t∠D＝2× ＝2； （3）存在， 如图，∵＝D﹣D＝1， ∴E＝ ＝ ， ①当P⊥x 轴时，△PE～△D，则：P1＝D＝2 ， ∴P1（﹣2 ，0）， ②当P⊥E 时，△PE～△D，∵P1＝1，∠P2P1＝90° 30° ﹣ ＝60°∴ 则 ， 综上所述，满足条件点P 的坐标为（﹣2 ，0），（﹣ ，0）． 3、如图所示，△B 为等边三角形，点的坐标为（0，4），点B 在x 轴上，点在反比例函数y＝ 的图象 上，则点B 的坐标为 ． 解：如图，作D⊥B 于D，G⊥x 轴于G，过D 点作EF∥B，交y 轴于E，交G 于F， ∵△B 是等边三角形，D⊥B， ∴BD＝D， 设点的坐标为（x， ），点B 的坐标为（，0）， ∵（0，4）， ∴B 的中点D 的坐标为（ ，2）； ∵D⊥B， ∴∠DE+∠DF＝90°， ∵∠DE+∠DE＝90°， ∴∠DE＝∠DF， ∵∠ED＝∠FD＝90°， ∴△ED∽△DF， ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝t60°， 整理，可得x﹣ ＝2 ①，2 + ＝ ②， 由①②整理得， 2+4 33 ﹣ ＝0 解得1＝2 ，x2＝﹣ （舍去）， ∴B（2 ，0） 故答为（2 ，0）． 4、如图，为反比例函数y＝ （其中x＞0）图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B，B＝4．连接，B， 且＝B．过点B 作B⊥B，交反比例函数y＝ （其中x＞0）的图象于点，连接交B 于点D，则 的值为 ． 解：过点作⊥x 轴，垂足为，交于点M，如图， ∵＝B，⊥B， ∴＝B＝ B， 设＝B＝，则（， ），（2， ）， ∵∥B， ∴M＝ B＝ ， ∴M＝﹣M＝ ﹣ ＝ ， ∵M∥B， ∴△DM∽△BD， ∴ ＝ ＝ ． 5、如图，等边△B 的边B 与y 轴交于点，点是反比例函数y＝ （x＞0）的图象上一点，且B＝2，则等 边△B 的边长为 ． 解：设点（， ），等边三角形的边长为b， 过点作x 轴的平行线交y 轴于点M，过点B 作y 轴的平行线交M 的延长线于点E，过点作⊥B 与点， 则＝ B＝ b，＝ b， ∵＝ b，＝ b， ∴＝﹣＝ b， ∵M∥BE， ∴ ＝ ，即 ＝ ，则E＝3， ∵∠＝∠M＝∠BE， ∴△∽△EB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：BE＝ ， B2＝E2+BE2，则b2＝92+ 2＝ 2， ∵点（， ）， ∴B2＝2+ ＝ 2， 解得：2＝3，b＝2 ， 故答为2 ． 6、如图，已知点（2，3）和点B（0，2），点在反比例函数y＝ 的图象上，作射线B，再将射线B 绕点 按逆时针方向旋转α 度，tα＝ ，交反比例函数图象于点，则点的坐标为 ． 解：如图，过B 作BF⊥于F，过F 作FD⊥y 轴于D，过作E⊥DF 于E， 则△EF∽△FDB， tα ∵ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴设BD＝，则EF＝2， ∵点（2，3）和点B（0，2）， ∴DF＝2 2 ﹣，D＝B﹣BD＝2﹣， ∴E＝2DF＝4 4 ﹣， ∵E+D＝3， 4 4+2 ∴﹣ ﹣＝3， 解得＝ ， ∴F（ ， ）， 设直线F 的解析式为y＝kx+b，则 ，解得 ， ∴y＝ x+ ， ∵点在反比例函数y＝ 的图象上， ∴y＝ ， 解方程组 ，可得 或 ， ∴（﹣ ，﹣ ）， 故答为（﹣ ，﹣ ）． 7、如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，（0，﹣2），＝3D，点在反比例函数y＝ 上，且y 轴平分∠B，若则k ＝ ． 解：过作E⊥x 轴，垂足为E， ∵（0，﹣2）， ∴＝2， ∵＝3D， ∴ ＝ ， ∵∠ED＝∠D＝90°，∠DE＝∠D ∴△DE∽△D， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴E＝1； 又∵y 轴平分∠B，⊥BD， ∴B＝D， ∵∠B＝90°， ∴∠D＝∠DE＝∠BE， ∴△BE～△D， ∴ ＝ 设DE＝，则B＝D＝2，BE＝5， ∴ ＝ ， ∴＝ ， ∴E＝3＝ ， ∴（ ，1） ∴k＝ ×1＝ ． 故答为： ． 8、如图，已知直线l：y＝﹣x+4 分别与x 轴、y 轴交于点，B，双曲线 （k＞0，x＞0）与直线l 不相交， E 为双曲线上一动点，过点E 作EG⊥x 轴于点G，EF⊥y 轴于点F，分别与直线l 交于点，D，且∠D＝ 45°，则k＝ ． 解：点、B 的坐标分别为（4，0）、（0，4）， 即：＝B，∴∠B＝45°＝∠D， ∠D＝∠D，∴△D∽△D， ∴D2＝D•D， 设点E（m，），则点D（4﹣，），点（m，4﹣m）， 则D2＝（4﹣）2+2＝22 8+16 ﹣ ， D＝ （m+ 4 ﹣），D＝ ， 即22 8+16 ﹣ ＝ （m+ 4 ﹣）× ， 解得：m＝8＝k， 故答为8． 9、如图，如图，一次函数y＝﹣x+b 与反比例函数 的图象交于点（m，1）和B （1，﹣3）． （1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ； （2）点P 是x 轴正半轴上一点，连接P，BP．当△BP 是直角三角形时，求出点P 的坐标． 解：（1）∵点（m，1）和B （1，﹣3）在反比例函数 的图象上， ∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，k＝m×1， ∴m＝﹣3， ∴点（﹣3，1）， ∴反比例函数解析式为：y＝ ； ∵一次函数y＝﹣x+b 过点B（1，﹣3）， 3 ∴﹣＝﹣1+b， ∴b＝﹣2， ∴一次函数解析式为：y＝﹣x 2 ﹣； 故答为：y＝﹣x 2 ﹣， ； （2）如图1，当∠BP＝90°时，过点P 作D⊥x 轴，过点作⊥D 于，过点B 作BD⊥D 于D， 设点P 的坐标为（x，0）， ∴＝x+3，P＝1，PD＝3，BD＝x 1 ﹣， ∵∠PB＝90°， ∴∠P+∠BPD＝90°， 又∵∠P+∠P＝90°， ∴∠P＝∠BPD， 又∵∠＝∠BDP＝90°， ∴△P∽△PBD， ∴ ， ∴ ， ∴x1＝ ﹣1，x2＝﹣1﹣ （舍去）， ∴点P（﹣1+ ，0）； 当∠BP＝90°时， ∵直线y＝﹣x 2 ﹣与x 轴交于点，与y 轴交于点D， ∴点（﹣2，0），点D（0，﹣2）， ∴＝2，D＝2，D＝2 ，B＝3 ， t ∵∠D＝ ， ∴ ， ∴P＝6， ∵点（﹣2，0）， ∴点P（4，0）， 综上所述：点P 的坐标为（ ，0）或（4，0）． 10、如图，直线y＝﹣ x+6 与反比例函数y＝ （x＞0）分别交于点D、（B＜），经探索研究发现：结论 B＝D 始终成立．另一直线y＝mx（m＞0）交线段B 于点E，交反比例函数y＝ （x＞0））图象于点 F． （1）当B＝5 时： ①求反比例函数的解析式． ②若BE＝3E，求点F 的坐标． （2）当BE：D＝1：2 时，请直接写出k 与m 的数量关系． 解：（1）①针对于直线y＝﹣ x+6，令x＝0，则y＝6， ∴（0，6）， ∴＝6， 令y＝0，则0＝﹣ x+6， ∴x＝8， ∴D（8，0）， ∴D＝8， ∴D＝10， ∵B＝5， ∴B+D＝D﹣B＝5， ∵B＝D， ∴B＝ ， 过点B 作BG⊥y 轴于G， ∴∠GB＝90°＝∠B， ∵∠BG＝∠D， ∴△BG∽D， ∴ ， ∴ ， ∴G＝ ，BG＝2， ∴G＝﹣G＝ ， ∴B（2， ）， ∵点B 在反比例函数y＝ （x＞0））图象上， ∴k＝2× ＝9， ∴反比例函数的解析式为y＝ ； ②∵B＝5， ∴BE+E＝5， ∵BE＝3E， ∴BE＝ ， ∴E＝B+BE＝ ， 过点E 作E⊥y 轴于， ∴∠E＝90°＝∠B， ∵∠E＝∠D， ∴△E∽△D， ∴ ， ∴ ， ∴＝ ，BG＝5， ∴＝﹣＝ ， ∴E（5， ）， ∴直线E 的解析式为y＝ x， 联立 ，解得， （舍）或 ， ∴F（2 ， ）； （2）∵BE：D＝1：2， ∴BE＝，则D＝2， ∴B＝D＝2， ∴E＝B+BE＝3， 过点E 作E⊥y 轴于， 同（1）的方法得，△E∽△D， ∴ ， ∴ ， ∴＝ ，E＝ ， ∴＝﹣＝6﹣ ， ∴E（ ，6﹣ ）， 将点E 坐标代入直线y＝mx（m＞0）中，解得 m＝6﹣ ， ∴＝ ， 将点E 的坐标代入反比例函数y＝ （x＞0）中， 解得，k＝ （6﹣ ）＝ （10 3 ﹣）＝ × （10﹣ ）＝ ． 11、如图，分别位于反比例函数y＝ 、y＝ 在第一象限图象上的两点、B 与原点在同一直线上，且 ． （1）求k 的值； （2）过点作x 轴的平行线交y＝ 的图象于点，连接B，求△B 的面积． 解：（1）过点、B 分别作E、BF 分别垂直于x 轴，垂足为E、F． 则△E∽△BF，又 ＝ ， ∴ ＝ ． 由点在函数y＝ 的图象上， 设的坐标是（m， ）， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴F＝3m，即B 的坐标是（3m， ）． 又点B 在y＝ 的图象上， ∴k＝3m× ＝9； （2）由（1）可知，（m， ），B（3m， ）． 又已知过作x 轴的平行线交y＝ 的图象于点． ∴的纵坐标是 ， 把y＝ 代入y＝ 得x＝9m， ∴的坐标是（9m， ）， ∴＝9m﹣m＝8m． ∴S△B＝ ×8m× ＝8． 12、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ 与x 轴，y 轴分别相交于，B 两点，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点，点的横坐标为4． （1）求k 的值； （2）过点作D⊥y 轴，垂足为D，点E 是该反比例函数y＝ （x＞0）的图象上一点，连接ED，E，且 ED＝E； ①求点E 的坐标； ②求点E 到直线y＝ 的距离d 的值． 解：（1）点在直线 上，点的横坐标为4， ∴ ， ∴ ， ∵点在反比例函数 的图象上， ∴k＝4× ＝2； （2）①ED＝E， ∴点E 在线段D 的垂直平分线上． ∵D⊥y 轴，垂足为D， ∴D∥x 轴． ∵点的坐标为 ， ∴点E 的横坐标为2， ∵点E 在反比例函数 的图象上， ∴点E 的坐标为（2，1）； ②过点E 作EF⊥直线B，垂足为F， ∴∠EFB＝90°，EF＝d， 过点E 作EG⊥x 轴，垂足为G，延长EG 交B 于点， ∴E∥y 轴， ∴∠EF＝∠B， ∵∠EF＝∠B＝90°， Rt ∴ △EF Rt ∽ △B， ∴ ． 设点的坐标为（，b）． ∵E（2，1）， ∴＝2，EG＝1， 又∵点在直线 上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当y＝0 时，x＝3， ∴（3，0），则＝3． 当x＝0 时， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ．