专题66 反比例函数中的动点最值问题（解析版）(1)

【例1】．如图，直线 与x 轴、y 轴分别交于点和点B，点、D 分别为线段B、B 的中点，点P 为上一动点，P+PD 值最小时点P 的坐标为________ 解：当x＝0 时，y＝ ×0+4＝4， ∴点B 的坐标为（0，4）； 当y＝0 时， x+4＝0， 解得：x＝﹣6， ∴点的坐标为（﹣6，0）． ∵点、D 分别为线段B、B 的中点， ∴点的坐标为（﹣3，2），点D 坐标为（0，2）． 作点关于x 轴的对称点′，连接′D 交x 轴于点P，此时P+PD 的值最小，如图所示． ∵点的坐标为（﹣3，2）， ∴点′的坐标为（﹣3，﹣2）． 设直线′D 的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b 得： ， 例题精讲 解得： ， ∴直线′D 的解析式为y＝ x+2． 当y＝0 时， x+2＝0， 解得：x＝﹣ ， ∴点P 的坐标为（﹣ ，0）， 即点P 的坐标为（﹣15，0）． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，点是x 轴正半轴上的一个定点，点P 是双曲线y ＝ （x＞0）上的一个动点，PB⊥y 轴于点B，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边形PB 的面积将会（ ） ．逐渐增大 B．不变 ．逐渐减小 D．先增大后减小 解：设点P 的坐标为（x， ）， ∵PB⊥y 轴于点B，点是x 轴正半轴上的一个定点， ∴四边形PB 是个直角梯形， ∴四边形PB 的面积＝ （PB+）•B＝ （x+）• ＝ + ＝ + • ， ∵是定值， ∴四边形PB 的面积是个减函数，即点P 的横坐标逐渐增大时四边形PB 的面积逐渐减小． 故选：． 【变1-2】．如图，一次函数y＝2x 与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于，B 两点，点 M 在以（2，0）为圆心，半径为1 的⊙上，是M 的中点，已知长的最大值为 ，则k 的 值是 ． 解：方法一、联立 ， ∴ ， ∴ ， ∴（ ），B（ ）， ∴与B 关于原点对称， ∴是线段B 的中点， ∵是线段M 的中点， 连接BM，则∥BM，且＝ ， ∵的最大值为 ， ∴BM 的最大值为3， ∵M 在⊙上运动， ∴当B，，M 三点共线时，BM 最大， 此时B＝BM﹣M＝2， ∴（ ， ∴k＝0 或 ， ∵k＞0， ∴ ， 方法二、设点B（，2）， ∵一次函数y＝2x 与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于，B 两点， ∴与B 关于原点对称， ∴是线段B 的中点， ∵是线段M 的中点， 连接BM，则∥BM，且＝ ， ∵的最大值为 ， ∴BM 的最大值为3， ∵M 在⊙上运动， ∴当B，，M 三点共线时，BM 最大， 此时B＝BM﹣M＝2， ∴ ＝2， ∴1＝ 或2＝0（不合题意舍去）， ∴点B（ ， ）， ∴k＝ ， 故答为： ． 【例2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与边长是6 的正 方形B 的两边B，B 分别相交于M， 两点．△M 的面积为10．若动点P 在x 轴上，则 PM+P 的最小值是 2 ． 解：∵正方形B 的边长是6， ∴点M 的横坐标和点的纵坐标为6， ∴M（6， ），（ ，6）， ∴B＝6﹣ ，BM＝6﹣ ， ∵△M 的面积为10， 6×6 ∴ ﹣ ×6× ﹣ ×6× ﹣ ×（6﹣ ）2＝10， ∴k＝24， ∴M（6，4），（4，6）， 作M 关于x 轴的对称点M′，连接M′交x 轴于P，则M′的长＝PM+P 的最小值， ∵M＝M′＝4， ∴BM′＝10，B＝2， ∴M′＝ ＝ ＝2 ， 故答为2 ． 变式训练 【变2-1】．已知在平面直角坐标系中有两点（0，1），B（﹣1，0），动点P 在反比例函 数y＝ 的图象上运动，当线段P 与线段PB 之差的绝对值最大时，点P 的坐标为 （ 1 ， 2 ）或（﹣ 2 ，﹣ 1 ） ． 解：如图， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， 将（0，1）、B（﹣1，0）代入，得： ， 解得： ， ∴直线B 的解析式为y＝x+1， 直线B 与双曲线y＝ 的交点即为所求点P，此时|P﹣PB|＝B，即线段P 与线段PB 之差 的绝对值取得最大值， 由 可得 或 ， ∴点P 的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1）， 故答为：（1，2）或（﹣2，﹣1）． 【变2-2】．如图，一次函数y1＝mx+（m≠0）的图象与双曲线y2＝ （k≠0）相交于（﹣ 1，2）和B（2，b）两点，与y 轴交于点，与x 轴交于点D． （1）求双曲线的解析式； （2）经研究发现：在y 轴负半轴上存在若干个点P，使得△PB 为等腰三角形．请直接写 出P 点所有可能的坐标． 解：（1）∵点（﹣1，2）在双曲线y2＝ （k≠0）上， ∴k＝﹣1×2＝﹣2， ∴反比例函数解析式为y2＝﹣ ， （2）∵点B 在双曲线y2＝﹣ 上， 2 ∴b＝﹣2， ∴b＝﹣1， ∴B（2，﹣1）， 将点（﹣1，2），B（2，1）代入一次函数y1＝mx+（m≠0）中，得 ， ∴ ， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1； 令x＝0，则y＝1， ∴（0，1）， 设P（0，p）（p＜0）， ∵B（2，﹣1）， ∴B＝ ＝2 ，BP＝ ，P＝1﹣p， ∵△PB 为等腰三角形， ∴①当B＝BP 时，2 ＝ ， ∴p＝1（舍）或p＝﹣3， ∴P（0，﹣3）， ②当B＝P 时，2 ＝1﹣p， ∴p＝1 2 ﹣ ， ∴P（0，1 2 ﹣ ）， ③当BP＝P 时， ＝1﹣p， ∴p＝﹣1， ∴P（0，﹣1），故满足条件的点P 的坐标为（0，﹣3）或（0，1 2 ﹣ ）或（0，﹣ 1）． 1．如图，点是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的一个动点，过点作M∥x 轴，交直线y＝ ﹣2x+4 于点M，则△M 面积的最小值是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 解：设点的坐标为（ ，m），则点M 的坐标为（2﹣ m，m）（m＞0）， ∴M＝ ﹣（2﹣ m）＝ m+ 2 ﹣， ∴S△M＝ M•m＝ m2﹣m+3＝ （m 2 ﹣）2+2， ∴当m＝2 时，△M 面积最小，最小值为2． 故选：B． 2．如图，在△B 中，B＝＝，∠B＝18°，动点P、Q 分别在直线B 上运动，且始终保持∠PQ ＝99°．设BP＝x，Q＝y，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ） ． B． ． D． 解：∵B＝＝，∠B＝18°， ∴∠B＝∠B＝ （180° 18° ﹣ ）＝81°， ∴∠B＝∠PB+∠PB＝81°， ∵∠PQ＝99°，∠B＝18°， ∴∠PB+∠Q＝99° 18° ﹣ ＝81°， ∴∠PB＝∠Q， 同理可得∠PB＝∠Q， ∴△PB∽△Q， ∴ ＝ ， 即 ＝ ， 整理得，y＝ ， ∵x、y 都是边的长度，是正数， ∴y 与x 之间的函数关系用图象表示是反比例函数在第一象限内的部分， 纵观各选项，只有符合． 故选：． 3．如图，已知、B 是反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）图象上的两点，B∥x 轴，交y 轴于点， 动点P 从坐标原点出发，沿→→B→匀速运动，终点为，过点P 作PM⊥x 轴，P⊥y 轴， 垂足分别为M、．设四边形MP 的面积为S，点P 运动的时间为t，则S 关于t 的函数图 象大致为（ ） ． B． ． D． 解：①点P 在B 上运动时，此时四边形MP 的面积S＝K，保持不变，故排除B、D； ②点P 在B 上运动时，设路线→→B→的总路程为l，点P 的速度为，则S＝×P＝×（l﹣ t），因为l，，均是常数， 所以S 与t 成一次函数关系．故排除． 故选：． 4．已知点是双曲线y＝ 在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点B，以B 为 一边作等边△B．随着点的运动，点的位置也不断变化，但始终在一个函数的图象上运动， 则这个函数的表达式为 y ＝﹣ ． 解：设（， ）， ∵点与点B 关于原点对称， ∴＝B， ∵△B 为等边三角形， ∴B⊥，＝ ， ∵＝ ， ∴＝ ， 过点作D⊥x 轴于点D， 则可得∠D＝∠D（都是∠D 的余角）， 设点的坐标为（x，y），则t∠D＝t∠D，即 ＝ ， 解得：y＝﹣2x， 在Rt△D 中，D2+D2＝2，即y2+x2＝32+ ， 将y＝﹣2x 代入，（4+1）x2＝3× 可得：x2＝ ， 故x＝ ，y＝﹣2x＝﹣ ， 则xy＝﹣3， 故可得：y＝﹣ （x＞0）． 故答为：y＝﹣ （x＞0）． 5．如图，点P 是双曲线：y＝ （x＞0）上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线B：y＝ x 2 ﹣于点Q，连接P，Q．当点P 在曲线上运动，且点P 在Q 的上方时，△PQ 面积的最 大值是 3 ． 解：∵PQ⊥x 轴， ∴设P（x， ），则Q（x， x 2 ﹣）， ∴PQ＝ ﹣ x+2， ∴S△PQ＝ （ ﹣ +2）•x＝﹣ （x 2 ﹣）2+3， ∵﹣ ＜0， ∴△PQ 面积有最大值，最大值是3， 故答为3． 6．如图，直线B 与x 轴交于点（1，0），与y 轴交于点B（0，2），将线段B 绕点顺时针 旋转90°得到线段，反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象经过点．已知点P 是反比例 函数y＝ （k≠0，x＞0）图象上的一个动点，则点P 到直线B 距离最短时的坐标为 （ ， ） ． 解：（1）设直线B 的解析式为y＝x+b， 将点（1，0），点B（0，2）代入得 ， 解得 ， ∴直线B 为y＝﹣2x+2； ∵过点作D⊥x 轴， ∵线段B 绕点顺时针旋转90°得到线段， ∴△B≌△D（S）， ∴D＝B＝2，D＝＝1， ∴（3，1）， ∴k＝3， ∴y＝ ； 设与B 平行的直线y＝﹣2x+， 联立﹣2x+＝ ， 2 ∴﹣x2+x 3 ﹣＝0， 当△＝2 24 ﹣ ＝0 时，＝2 或﹣2 （舍弃），此时点P 到直线B 距离最短， 解方程﹣2x2+2 x 3 ﹣＝0 得x＝ ＝ ， ∴P（ ， ）， 故答为P（ ， ）． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，B 在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上运动，且始终 保持线段B＝4 的长度不变．M 为线段B 的中点，连接M．则线段M 长度的最小值是 （用含k 的代数式表示）． 解：如图，因为反比例函数关于直线y＝x 对称，观察图象可知：当线段B 与直线y＝x 垂直时，垂足为M，此时M＝BM，M 的值最小， ∵M 为线段B 的中点， ∴＝B， ∵点，B 在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上， ∴点与点B 关于直线y＝x 对称， ∵B＝4 ， ∴可以假设（m， ），则B（m+4， ﹣4）， ∴（m+4）（ ﹣4）＝k， 整理得k＝m2+4m， ∴（m，m+4），B（m+4，m）， ∴M（m+2，m+2）， ∴M＝ ＝ ＝ ， ∴M 的最小值为 ． 故答为 ． 8．如图，点是反比例函数y＝ 在第一象限的图象上的一点，过点作B⊥y 轴于点B．连接， 以点为圆心，分别以B，为半径作直角扇形B 和D，并连接D，则阴影部分面积的最小 值是 2 π +2 ． 解：如图，过点D 作DE 垂直于的延长线于点E，则∠ED＝90°， 由题意可知，B＝，＝D，∠B＝∠D＝90°， ∵B⊥y 轴， ∴∠B＝90°， ∴∠B+∠E＝90°，∠DE+∠E＝90°， ∴∠B＝∠DE， ∴△B≌△ED（S）， ∴DE＝B． ∵点是反比例函数y＝ 在第一象限的图象上的一点， ∴B•B＝4， ∴S△B＝ B•B＝2， ∴S△D＝ •DE＝ B•B＝2， ∴S 阴影＝S△D+S 扇形D ＝2+ ＝2+ ∵（B﹣B）2≥0， ∴B2 2 ﹣B•B+B2≥0， ∴B2+B2≥2B•B， ∴S 阴影≥2+ ×2B•B＝2+2π． 故答为：2+2π． 9．如图，点是反比例函数y＝ （k＞0）图象第一象限上一点，过点作B⊥x 轴于B 点，以 B 为直径的圆恰好与y 轴相切，交反比例函数图象于点，在B 的左侧半圆上有一动点 D，连接D 交B 于点E．记△BDE 的面积为S1，△E 的面积为S2，连接B，△B 是 等腰直 角 三角形，则若S1﹣S2的值最大为1，则k 的值为 4 +4 ． 解：如图连接B、′，作⊥x 轴于． 由题意⊙′与反比例函数图象均关于直线y＝x 对称， ∴点、关于直线y＝x 对称，设（m，2m）则（2m，m）， ∴B′＝＝m，B′∥， ∴四边形B′是平行四边形，∵B＝，∠B＝90°， ∴四边形B′是正方形． ∴∠B＝45°， ∴△B 是等腰直角三角形， ∵S1﹣S2＝S△DB﹣S△B，△B 的面积是定值， ∴△DB 的面积最大时，S1﹣S2的值最大， ∴当D′⊥B 时，△DB 的面积最大， ∴ m•（m+ m）﹣ •2m•m＝1， ∴m2＝2（ +1）， ∵k＝2m2， ∴k＝4 +4， 故答为：等腰直角三角形，4 +4． 10．如图，正比例函数y＝ x 的图象与反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象交于点， 过点作x 轴的垂线，垂足为M，已知△M 的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点不重合），且B 点的横坐 标为1，P 为x 轴上一点，求使P+PB 的值最小时点P 的坐标． 解：（1）设点的坐标为（，b），则由 ，得b＝2＝k， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）由条件知：两函数的交点为 ， 解得： ， ， ∴点坐标为：（2，1）， 作出点关于x 轴对称点点，连接B， P 点即是所求则点（2，﹣1）， ∵B（1，2）， 设直线B 的解析式为：y＝kx+b， ， 解得： ， ∴直线B 的解析式为：y＝﹣3x+5， 当y＝0 时，x＝ ， ∴点P（ ，0）． 11．如图，正比例函数y＝2x 的图象与反比例函数y＝ 的图象交于、B 两点，过点作垂直 x 轴于点，连接B，若△B 面积为 2． （1）求k 的值 （2）x 轴上是否存在一点D，使△BD 是以B 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于、B 两点， ∴、B 两点关于原点对称， ∴＝B， ∴△B 的面积＝△的面积＝2÷2＝1， 又∵是反比例函数y＝ 图象上的点，且⊥x 轴于点， ∴△的面积＝ |k|， ∴ |k|＝1， ∵k＞0， ∴k＝2． 故这个反比例函数的解析式为y＝ ； （2）x 轴上存在一点D，使△BD 为直角三角形． 将y＝2x 与y＝ 联立成方程组得： ， 解得： ， ， ∴（1，2），B（﹣1，﹣2）， ∵△BD 是以B 为斜边的直角三角形 ∴∠DB＝90°，如图3， ∵为线段B 的中点， ∴D＝ B＝， ∵（1，2）， ∴＝1，＝2， 由勾股定理得：＝ ＝ ， ∴D＝ ， ∴D（ ，0）． 根据对称性，当D 为直角顶点，且D 在x 轴负半轴时，D（﹣ ，0）． 故x 轴上存在一点D，使△BD 以B 为斜边的直角三角形，点D 的坐标为（ ，0）或 （﹣ ，0）． 12．如图，一次函数y＝x+2 的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点（1，），B 两点． （1）求反比例函数的解析式及点B 的坐标； （2）在x 轴上找一点，使|﹣B|的值最大，求满足条件的点的坐标及△B 的面积． 解：（1）∵直线y＝x+2 经过点（1，）， ∴＝3， ∵反比例函数y＝ 经过（1，3）， ∴k＝3， ∴y＝ ， 由 ，解得 或 ， ∴B（﹣3，﹣1）． （2）作点B 关于x 轴的对称点B′，连接B′，延长B′交x 轴于点，点即为所求； ∵（1，3），B′（﹣3，1）， ∴直线B′的解析式为y＝ x+ ， ∴（﹣5，0）， ∴S△B＝S△BB′+S△BB′＝ ×2×2+ ×2×4＝6． 13．如图，一次函数y＝2x 3 ﹣的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于点（﹣1，），B 两 点． （1）求反比例函数的解析式与点B 的坐标； （2）连接、B，求△B 的面积； （3）点D 是反比例函数图象上的一点，当∠BD＝90°时，求点D 的坐标． 解：（1）∵点（﹣1，）在一次函数y＝2x 3 ﹣的图象上， ∴＝﹣5， ∴点（﹣1，﹣5）， ∵点（﹣1，﹣5）在反比例函数 的图象上， ∴k＝﹣1×（﹣5）＝5， ∴ ； 联立 ， 解得： ， ， ∴点 ； （2）设y＝2x 3 ﹣与y 轴的交点为点E，则点E（0，﹣3）， ∴E＝3， ∴S△B＝S△E+S△BE＝ ×3×1+ ×3× ＝ ； （3）设点 ， 如图，分别过点D，B 作y 轴的平行线DM，B，过点作M⊥DM 于M，交B 于，则 M⊥B， ∴∠M＝∠＝90°， ∴∠DM+∠DM＝90°， ∵∠BD＝90°， ∴∠B+∠DM＝90°， ∴∠B＝∠DM， ∴△B∽△DM， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：1＝﹣10，2＝﹣1（舍）， ∴ ． 14．如图，直线y＝2x+3 与y 轴交于点，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点B，过 点B 作B⊥x 轴于点，且点的坐标为（1，0）． （1）求反比例函数的解析式； （2）点D（，1）是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的点，在x 轴上是否存在点P，使 得PB+PD 最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵B⊥x 轴于点，且点的坐标为（1，0）， ∴在直线y＝2x+3 中，当x＝1 时，y＝2+3＝5， ∴点B 的坐标为（1，5）， 又∵点B（1，5）在反比例函数y＝ 上， ∴k＝1×5＝5， ∴反比例函数的解析式为：y＝ ； （2）将点D（，1）代入y＝ ，得：＝5， ∴点D 坐标为（5，1） 设点D（5，1）关于x 轴的对称点为D′（5，﹣1）， 过点B（1，5）、点D′（5，﹣1）的直线解析式为：y＝kx+b， 可得： ， 解得： ， ∴直线BD′的解析式为：y＝﹣ x+ ， 根据题意知，直线BD′与x 轴的交点即为所求点P， 当y＝0 时，得：﹣ x+ ＝0，解得：x＝ ， 故点P 的坐标为（ ，0）． 15．如图，在矩形B 中，＝3，＝2，F 是B 上的一个动点（F 不与，B 重合），过点F 的反 比例函数y＝ （x＞0）的图象与B 边交于点E． （1）当F 为B 的中点时，求该反比例函数的解析式和点E 的坐标． （2）设过（1）中的直线EF 的解析式为y＝x+b，直接写出不等式x+b＜ 的解集． （3）当k 为何值时，△EF 的面积最大，最大面积是多少？ 解： （1）∵四边形B 为矩形，＝3，＝2， ∴B＝2，B＝3， ∵F 为B 的中点， ∴点F 坐标为（3，1）， ∵点F 在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上， ∴k＝3×1＝3， ∴反比例函数解析式为y＝ ，