70 反比例函数中的直角三角形问题

反比例函数中的直角三角形问题 1、如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于、B 两点，过点作垂直x 轴于点，连 结B．若△B 的面积为2． （1）求k 的值； （2）x 轴上是否存在一点D，使△BD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y= （m≠0）的图象交于、 B 两点，与x 轴交于点，点的坐标为（，6），点的坐标为（-2，0），且t =2 ∠ ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标； （3）在x 轴上求点E，使△E 为直角三角形．（直接写出点E 的坐标） 【答】（1）y= ，y=2x+4；（2）B（-3，-2）；（3）E1（1，0），E2（13，0） 3、如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝ （≠0）的图象在第一象限交于，B 两点，点的坐标 为（m，6），B 点的坐标为（2，3），连接，过B 作B⊥y 轴，垂足为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在射线B 上是否存在一点D，使得△D 是直角三角形，求出所有可能的D 点坐标． 解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝ 的图象上， ∴＝3×2＝6， ∴反比例函数的表达式为y＝ ， ∵点的纵坐标为6， ∵点在反比例函数y＝ 图象上， ∴（1，6）， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9； （2）如图，①当∠D1＝90°时， 设B 与交于E，则E（ ，3）， ∴E＝E＝D1E＝ ， ∵E（ ，3）， ∴D1的坐标为（ ，3）； ②当∠D2＝90°时， 可得直线D2的解析式为：y＝﹣ x+ ， 当y＝3 时，x＝19， ∴D2的坐标为（19，3）， 综上所述，当△D 是直角三角形，D 点坐标为（ ，3）或（19，3） 4、如图1，在平面直角坐标系xy 中，函数y＝ （m 为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q （1，m），直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于，D 两点． （1）求∠D 的度数； （2）如图2，连接Q、P，当∠DQ＝∠D﹣∠P 时，求此时m 的值； （3）如图3，点，点B 分别在x 轴和y 轴正半轴上的动点．再以、B 为邻边作矩形MB．若点M 恰好在 函数y＝ （m 为常数，m＞1，x＞0）的图象上，且四边形BPQ 为平行四边形，求此时、B 的长度． 解：（1）设直线PQ 的解析式为y＝kx+b，则有 ， 解得 ， ∴y＝﹣x+m+1， 令x＝0，得到y＝m+1， ∴D（0，m+1）， 令y＝0，得到x＝m+1， ∴（m+1，0）， ∴＝D， ∵∠D＝90°， ∴∠D＝45°． （2）如图2，过Q 作QM⊥y 轴于M，过P 作P⊥于，过作⊥D 于， ∵P（m，1）和Q（1，m）， ∴MQ＝P＝1，M＝＝m， ∵∠MQ＝∠P＝90°， ∴△MQ≌△P（SS）， ∴Q＝P，∠DQ＝∠P， ∵∠DQ＝∠D﹣∠P，∠D＝45°， ∴∠DQ＝∠P＝∠Q＝∠P＝225°， ∴MQ＝Q＝P＝P＝1， ∵∠D＝∠D＝45°， ∴△DMQ 和△P 都是等腰直角三角形， ∴DQ＝P＝ ， ∵＝D＝m+1， ∴D＝ ＝ ， ∵D＝DQ+PQ+P， ∴ ＝2 +2， ∴m＝ +1； （3）如图3， ∵四边形BPQ 为平行四边形， ∴B∥PQ，B＝PQ， ∴∠B＝45°， ∵∠B＝90°， ∴＝B， ∴矩形MB 是正方形， ∵点M 恰好在函数y＝ （m 为常数，m＞1，x＞0）的图象上， ∴M（ ， ），即＝B＝ ， ∵B＝PQ， ∴ ， 解得：m＝ 或 （舍）， ∴＝B＝ ＝ ＝ ＝ ． 5、如图，反比例函数y＝ 的图象经过点 ，射线B 与反比例函数的图象的另一个交点为B （﹣1，），射线与x 轴交于点E，与y 轴交于点，∠B＝75°，D⊥y 轴，垂足为D． （1）求反比例函数的解析式； （2）求D 的长； （3）在x 轴上是否存在点P，使得△PE 与△D 相似，若存在，请求出满足条件点P 的坐标，若不存在， 请说明理由． 解：（1）∵反比例函数y＝ 的图象经过点 ， ∴k＝﹣2 ， ∴反比例函数的解析式为： ； （2）过点B 作BM⊥D 于M，把B（﹣1，）代入 得 ， ∴B（﹣1，2 ）， ∴M＝BM＝2 1 ﹣， ∴∠BM＝45°， ∵∠B＝75°， ∴∠D＝75° 45° ﹣ ＝30°， ∴D＝D•t∠D＝2× ＝2； （3）存在， 如图，∵＝D﹣D＝1， ∴E＝ ＝ ， ①当P⊥x 轴时，△PE～△D，则：P1＝D＝2 ， ∴P1（﹣2 ，0）， ②当P⊥E 时，△PE～△D，∵P1＝1，∠P2P1＝90° 30° ﹣ ＝60°∴ 则 ， 综上所述，满足条件点P 的坐标为（﹣2 ，0），（﹣ ，0）． 6、如图①，直线y＝﹣ x+b 与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于（2，6），B（，3）两点，B∥x 轴 （点在点B 的右侧），且B＝m，连接，过点作D⊥x 轴于点D，交反比例函数图象于点E． （1）求b 的值和反比例函数的解析式； （2）填空：不等式﹣ x+b＞ 的解为 ； （3）当平分∠BD 时，求 的值； （4）如图②，取B 中点F，连接DF，F，BD，当四边形BDF 为平行四边形时，求点F 的坐标． （1）将（2，6）代入y＝﹣ x+b 得，﹣3+b＝6， 解得：b＝9， 将（2，6）代入y＝ 得，k＝12， ∴反比例函数的解析式为：y＝ ； （2）当y＝3 时，3＝ ， 解得：x＝4， ∴B（4，3）， 由图象可知不等式﹣ x+b＞ 的解为：2＜x＜4， 故答为：2＜x＜4； （3）将B（，3）代入y＝ 得， ＝3， 解得：＝4， ∵平分∠BD， ∴∠B＝∠D， ∵B∥x 轴， ∴∠B＝∠D， ∴∠B＝∠B， ∴B＝B， ∵B（4，3）， ∴B＝B＝5， ∴（9，3）， ∴E（9， ），D（9，0）， ∴DE＝ ，E＝3﹣ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ； （4）作⊥B 于，则（2，3）， ∴＝3，B＝2， ∵四边形BDF 为平行四边形， ∴B∥DF，B＝DF， ∴∠FD＝∠BQ， ∵∠B＝∠DF＝90°，∠B＝∠BQ， ∴∠FD＝∠B， ∴△B≌△DF（S）， ∴F＝B＝2， ∵F 是B 中点， ∴BF＝F＝ B＝2， ∵B（4，3）， ∴F（6，3）． 7、定义：在平面直角坐标系中，把点先向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位的平移称为一次斜平移． 已知点（1，0），点经过次斜平移得到点B，点M 是线段B 的中点． （1）当＝3 时，点B 的坐标是 ，点M 的坐标是 ； （2）如图1，当点M 落在y＝ 的图象上，求的值； （3）如图2，当点M 落在直线l 上，点是点B 关于直线l 的对称点，B 与直线l 相交于点． ①求证：△B 是直角三角形； ②当点的坐标为（5，3）时，求M 的长． 解：（1）根据平移的性质，点（1，0）经过次斜平移得到点B 的坐标为（1+，2）， ∴当＝3 时，点B 的坐标是（4，6）， ∵点M 是线段B 中点， ∴点M 的坐标是（25，3）， 故答为：（4，6），（25，3） （2）由题意，（1，0），B（1+，2）， ∴线段B 中点M（ ，）， ∵点M 落在y＝ 的图象上， ∴ ×＝4， 解得＝2 或＝﹣4（舍去）， ∴＝2； （3）①连接M，如图1， ∵M 是B 的中点， ∴M＝BM， 由轴对称可知：BM＝M， ∴M＝M＝BM， ∴∠M＝∠M，∠MB＝∠MB， ∵∠M+∠M+∠MB+∠MB＝180°， ∴∠M+∠MB＝90°，即∠B＝90°， ∴△B 是直角三角形； ②∵点的坐标为（5，3），点（1，0）， ∴＝ ＝5， ∵点是点B 关于直线l 的对称点， ∴B＝， ∵点M 是线段B 的中点． ∴M＝BM， ∴M＝ ＝ ． 8、如图（1），正方形BD 顶点、B 在函数y＝ （k＞0）的图象上，点、D 分别在x 轴、y 轴的正半轴上， 当k 的值改变时，正方形BD 的大小也随之改变． （1）若点的横坐标为5，求点D 的纵坐标； （2）如图（2），当k＝8 时，分别求出正方形′B′′D′的顶点′、B′两点的坐标； （3）当变化的正方形BD 与（2）中的正方形′B′′D′有重叠部分时，求k 的取值范围． 解：（1）如图，过点作E⊥y 轴于点E，则∠ED＝90°． ∵四边形BD 为正方形， ∴D＝D，∠D＝90°， ∴∠D+∠ED＝90°． ∵∠D+∠D＝90°， ∴∠ED＝∠D， 在△ED 和△D 中 ， ∴△ED≌△D（S）， ∴D＝E＝5， ∴点D 的纵坐标为5； （2）作′M⊥y 轴于M，B′⊥x 轴于点， 设D′＝，′＝b， 同理可得△B′′ ′ ≌△D′ ′ ≌△D′E， ′ ∴＝D′＝′M＝，B′＝′＝D′M＝b， ′ ∴（，+b），B′（+b，b）， ∵点′、B′在反比例函数y＝ 的图象上， ∴（+b）＝8，b（+b）＝8， ∴解得＝b＝2 或＝b＝﹣2（舍去）， ′ ∴、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）； （3）设直线′B′的解析式为y＝mx+， 把′（2，4），B′（4，2）代入得 ， 解得 ， ∴直线′B′解析式为y＝﹣x+6， 同样可求得直线′D′解析式为y＝﹣x+2， 由（2）可知△D 是等腰直角三角形， 设点的坐标为（m，2m），点D 坐标为（0，m）， 当点在直线′D′上时，则2m＝﹣m+2，解得m＝ ， 此时点的坐标为（ ， ）， ∴k＝ × ＝ ； 当点D 在直线′B′上时，有m＝6，此时点的坐标为（6，12）， ∴k＝6×12＝72； 综上可知：当变化的正方形BD 与（2）中的正方形′B′′D′有重叠部分时，k 的取值范围为 ≤x≤72． 9、如图，如图，一次函数y＝﹣x+b 与反比例函数 的图象交于点（m，1）和B （1，﹣3）． （1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ； （2）点P 是x 轴正半轴上一点，连接P，BP．当△BP 是直角三角形时，求出点P 的坐标． 解：（1）∵点（m，1）和B （1，﹣3）在反比例函数 的图象上， ∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，k＝m×1， ∴m＝﹣3， ∴点（﹣3，1）， ∴反比例函数解析式为：y＝ ； ∵一次函数y＝﹣x+b 过点B（1，﹣3）， 3 ∴﹣＝﹣1+b， ∴b＝﹣2， ∴一次函数解析式为：y＝﹣x 2 ﹣； 故答为：y＝﹣x 2 ﹣， ； （2）如图1，当∠BP＝90°时，过点P 作D⊥x 轴，过点作⊥D 于，过点B 作BD⊥D 于D， 设点P 的坐标为（x，0）， ∴＝x+3，P＝1，PD＝3，BD＝x 1 ﹣， ∵∠PB＝90°， ∴∠P+∠BPD＝90°， 又∵∠P+∠P＝90°， ∴∠P＝∠BPD， 又∵∠＝∠BDP＝90°， ∴△P∽△PBD， ∴ ， ∴ ， ∴x1＝ ﹣1，x2＝﹣1﹣ （舍去）， ∴点P（﹣1+ ，0）； 当∠BP＝90°时， ∵直线y＝﹣x 2 ﹣与x 轴交于点，与y 轴交于点D， ∴点（﹣2，0），点D（0，﹣2）， ∴＝2，D＝2，D＝2 ，B＝3 ， t ∵∠D＝ ， ∴ ， ∴P＝6， ∵点（﹣2，0）， ∴点P（4，0）， 综上所述：点P 的坐标为（ ，0）或（4，0）． 10、如图，一次函数y＝﹣x+3 的图象与反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象交于（1，）和B 两点， 与x 轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P 在x 轴上，且△P 的面积为5，求点P 的坐标； （3）若点P 在y 轴上，是否存在点P，使△BP 是以B 为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符 合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）把点（1，）代入y＝﹣x+3，得＝2， ∴（1，2）， 把（1，2）代入反比例函数 ， ∴k＝1×2＝2； ∴反比例函数的表达式为 ； （2）∵一次函数y＝﹣x+3 的图象与x 轴交于点， ∴（3，0）， 设P（x，0）， ∴P＝|3﹣x|， ∴S△P＝ |3﹣x|×2＝5， ∴x＝﹣2 或x＝8， ∴P 的坐标为（﹣2，0）或（8，0）； （3）存在， 理由如下：联立 ， 解得： 或 ， ∴B 点坐标为（2，1）， ∵点P 在y 轴上， ∴设P（0，m）， ∴B＝ ＝ ，P＝ ，PB＝ ， 若BP 为斜边， ∴BP2＝B2+P2 ， 即 ＝2+ ， 解得：m＝1， ∴P（0，1）； 若P 为斜边， ∴P2＝PB2+B2 ， 即 ＝ +2， 解得：m＝﹣1， ∴P（0，﹣1）； 综上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）． 11、如图，直线y＝﹣ x+6 与反比例函数y＝ （x＞0）分别交于点D、（B＜），经探索研究发现：结论 B＝D 始终成立．另一直线y＝mx（m＞0）交线段B 于点E，交反比例函数y＝ （x＞0））图象于点 F． （1）当B＝5 时： ①求反比例函数的解析式． ②若BE＝3E，求点F 的坐标． （2）当BE：D＝1：2 时，请直接写出k 与m 的数量关系． 解：（1）①针对于直线y＝﹣ x+6，令x＝0，则y＝6， ∴（0，6）， ∴＝6， 令y＝0，则0＝﹣ x+6， ∴x＝8， ∴D（8，0）， ∴D＝8， ∴D＝10， ∵B＝5， ∴B+D＝D﹣B＝5， ∵B＝D， ∴B＝ ， 过点B 作BG⊥y 轴于G， ∴∠GB＝90°＝∠B， ∵∠BG＝∠D， ∴△BG∽D， ∴ ， ∴ ， ∴G＝ ，BG＝2， ∴G＝﹣G＝ ， ∴B（2， ）， ∵点B 在反比例函数y＝ （x＞0））图象上， ∴k＝2× ＝9， ∴反比例函数的解析式为y＝ ； ②∵B＝5， ∴BE+E＝5， ∵BE＝3E， ∴BE＝ ， ∴E＝B+BE＝ ， 过点E 作E⊥y 轴于， ∴∠E＝90°＝∠B， ∵∠E＝∠D， ∴△E∽△D， ∴ ， ∴ ， ∴＝ ，BG＝5， ∴＝﹣＝ ， ∴E（5， ）， ∴直线E 的解析式为y＝ x， 联立 ，解得， （舍）或 ， ∴F（2 ， ）； （2）∵BE：D＝1：2， ∴BE＝，则D＝2， ∴B＝D＝2， ∴E＝B+BE＝3， 过点E 作E⊥y 轴于， 同（1）的方法得，△E∽△D， ∴ ， ∴ ， ∴＝ ，E＝ ， ∴＝﹣＝6﹣ ， ∴E（ ，6﹣ ）， 将点E 坐标代入直线y＝mx（m＞0）中，解得 m＝6﹣ ， ∴＝ ， 将点E 的坐标代入反比例函数y＝ （x＞0）中， 解得，k＝ （6﹣ ）＝ （10 3 ﹣）＝ × （10﹣ ）＝ ． 13、如图，已知直线y＝2x+2 与x 轴交于点，与y 轴交于点，矩形BE 的顶点B 在第一象限的反比例函数y ＝ 图象上，过点B 作BF⊥，垂足为F，设F＝t． （1）求∠的正切值； （2）求点B 的坐标（用含t 的式子表示）； （3）已知直线y＝2x+2 与反比例函数y＝ 图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DE⊥x 轴，求 m 的值． 解：（1）∵直线y＝2x+2 与x 轴交于点，与y 轴交于点， ∴点（﹣1，0），点（0，2） ∴＝1，＝2， t ∴∠＝ ＝ ； （2）∵四边形BE 是矩形， ∴∠B＝90°， + ∴∠∠BF＝90°，且∠BF+∠BF＝90°， ∴∠＝∠BF， ∵F＝t， ∴F＝2﹣t， t ∵∠BF＝t∠＝ ， ∴BF＝4 2 ﹣t， ∴点B（4 2 ﹣t，t）； （3）如图，连接DE，交x 轴于点， ∵DE⊥x 轴， ∴∠E＝90°， ∴∠E+∠E＝90°，且∠+∠E＝90°，∠+∠＝90°，∠+∠BF＝90°， ∴∠E＝∠BF，且∠FB＝∠E，E＝B， ∴△BF≌△E（S） ∴＝BF＝4 2 ﹣t，F＝E， ∵点（﹣1，0）， ∴点（3 2 ﹣t，0）， ∴当x＝3 2 ﹣t 时，y＝2（3 2 ﹣t）+2＝8 4 ﹣t， ∴点D 坐标为（3 2 ﹣t，8 4 ﹣t）， ∵点D，点B 都在反比例函数y＝ 上， ∴（3 2 ﹣t）（8 4 ﹣t）＝t（4 2 ﹣t） ∴t1＝2（不合题意舍去），t2＝ ； ∴点B（ ， ） ∴m＝ × ＝ ． 14、如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝ （k＜0）的图象交于、B 两点，点在第二象 限，且点的横坐标为﹣1，点D 在x 轴负半轴上，连接D 交反比例函数图象于另一点E，为∠BD 的平分 线，过点B 作的垂线，垂足为，连接E，若D＝2DE，△E 的面积为 ． （1）根据图象回答：当x 取何值时，y1＜y2； （2）求△D 的面积； （3）若点P 的坐标为（m，k），在y 轴的轴上是否存在一点M，使得△MP 是直角三角形，若存在，请 直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝ （k＜0）的图象交于、B 两点，且点的横坐标为﹣1， ∴点，点B 关于原点对称， ∴点B 的横坐标为1， ∴当x 取﹣1＜x＜0 或x＞1 时，y1＜y2； （2）连接，E， 由图象知，点，点B 关于原点对称， ∴＝B， ∵⊥B， ∴∠B＝90°， ∴＝ B＝， ∴∠＝∠， ∵为∠BD 的平分线， ∴∠＝∠D， ∴∠＝∠D， ∴D∥， ∴S△E＝S△E＝ ， ∵D＝2DE， ∴E＝DE， ∴S△D＝2S△E＝3； （3）作EF⊥x 轴于F，作⊥x 轴于， 则EF∥， ∵D＝2DE， ∴DE＝E， ∵EF∥， ∴ ＝ ＝1， ∴DF＝F， ∴EF 是△D 的中位线， ∴EF＝ ， ∵S△EF＝S△＝﹣ ， ∴F•EF＝•， ∴＝ F， ∴＝F， ∴DF＝F＝＝ D， ∴S△＝ S△D＝ 3＝1， ∴﹣ ＝1， ∴k＝﹣2， ∴y＝﹣ ， ∵点在y＝﹣ 的图象上， ∴把x＝﹣1 代入得，y＝2， ∴（﹣1，2）， ∵点在直线y＝mx 上， ∴m＝﹣2， ∴P（﹣2，﹣2）， 在y 轴上找到一点M，使得△MP 是直角三角形， 当∠MP＝90°时，PM⊥y 轴， 则M＝2， ∴点M 的坐标为（0．﹣2）； 当∠PM＝90°时，过P 作PG⊥y 轴于G，则△PM 是等腰直角三角形， ∴M＝2PG＝4， ∴点M 的坐标为（0．﹣4）； 综上所述，点M 的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．