64 反比例函数中的平行四边形问题

反比例函数中的平行四边形问题 1、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 的图象过等边三角形B 的顶点B，＝2，点在反 比例函数图象上，连接、． （1）求反比例函数解析式； （2）若四边形B 的面积为3 ，求点的坐标． 解：（1）作BD⊥于D，如图， ∵△B 为等边三角形， ∴D＝D＝ ＝1， ∴BD＝ D＝ ， ∴B（﹣1，﹣ ）， 把B（﹣1，﹣ ）代入y＝ 得k＝﹣1×（﹣ ）＝ ， ∴反比例函数解析式为y＝ ； （2）设（t， ）， ∵四边形B 的面积为3 ， ∴ ×2× + ×2× ＝3 ，解得t＝ ， ∴点坐标为（ ，2 ）． 2、如图，在平面直角坐标系中，四边形BD 是平行四边形，点、B 在x 轴上，点、D 在第二象限，点M 是 B 中点．已知B＝6，D＝8，∠DB＝60°，点B 的坐标为（﹣6，0）． （1）求点D 和点M 的坐标； （2）如图①，将▱BD 沿着x 轴向右平移个单位长度，点D 的对应点D′和点M 的对应点M′恰好在反比 例函数y＝ （x＞0）的图象上，请求出的值以及这个反比例函数的表达式； （3）如图②，在（2）的条件下，过点M，M′作直线l，点P 是直线l 上的动点，点Q 是平面内任意一 点，若以B′，′，P、Q 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标． 解：（1）∵B＝6，点B 的坐标为（﹣6，0）， ∴点（﹣12，0）， 如图1，过点D 作DE⊥x 轴于点D， 则ED＝Ds∠DB＝8× ＝4 ，同理E＝4， 故点D（﹣8，4 ），则点（﹣2，4 ）， 由中点公式得，点M（﹣4，2 ）； （2）图象向右平移了个单位，则点D′（﹣8，4 ）、点M′（﹣4，2 ）， ∵点D′M′都在函数上， ∴（﹣8）×4 ＝（﹣4）×2 ， 解得：＝12， 则k＝（12 8 ﹣）×4 ＝16 ， 故反比例函数的表达式为＝ ； （3）由（2）知，点M′的坐标为（8，2 ），点B′、′的坐标分别为（6，0）、（10，4 ）， 设点P（m，2 ），点Q（s，t）； ①当B′′是矩形的边时，如图2，求解的矩形为矩形B′′PQ 和矩形B′′Q′P′， 过点′作′⊥l 交于点，′＝4 2 ﹣ ＝2 ， 直线B′′的倾斜角为60°，则∠M′P′＝30°，P＝′÷t∠M′P′＝2 ＝6， 故点P 的坐标为（16，2 ）， 由题意得：点P、Q′关于点′对称，由中点公式得，点Q 的坐标为（12，﹣4 ）； 同理点Q、Q′关于点M′对称，由中点公式得，点Q′（4，6 ）； 故点Q 的坐标为：（12，﹣4 ）或（4，6 ）； ②当B′′是矩形的对角线时， ∵B′′的中点即为PQ 的中点，且PQ＝B′′， ∴ ，解得： ， ， 故点Q 的坐标为（4，2 ）或（12，2 ）； 综上，点Q 的坐标为：（12，﹣4 ）或（4，6 ）或（4，2 ）或（12，2 ）． 3、如图，四边形BD 是平行四边形，点（1，0），B（4，1），（4，4）．反比例函数y＝ （x＞0）的图 象经过点D，点P 是一次函数y＝kx+4 4 ﹣k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点． （1）求反比例函数的解析式； （2）通过计算，说明一次函数y＝kx+4 4 ﹣k（k≠0）的图象一定过点； （3）对于一次函数y＝kx+4 4 ﹣k（k≠0），当随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必 写过程）． 解：（1）∵四边形BD 是平行四边形， ∴D＝B， ∵B（4，1），（4，4）， ∴B⊥x 轴，D＝B＝3， 而点坐标为（1，0）， ∴点D 的坐标为（1，3）． ∵反比例函数y＝ （x＞0）的函数图象经过点D（1，3）， 3 ∴＝ ， ∴m＝3， ∴反比例函数的解析式为y＝ ； （2）当x＝4 时，y＝kx+4 4 ﹣k＝4k+4 4 ﹣k＝4， ∴一次函数y＝kx+4 4 ﹣k（k≠0）的图象一定过点； （3）设点P 的横坐标为， ∵一次函数y＝kx+4 4 ﹣k（k≠0）过点，并且y 随x 的增大而增大时， ∴k＞0，P 点的纵坐标要小于4，横坐标大于4， 当纵坐标小于4 时， ∵y＝ ， ∴ ＜4，解得：＞ ， 则的范围为＞1 或＜ ． 4、小亮在研究矩形的面积S 与矩形的边长x，y 之间的关系时，得到如表数据： x 05 1 15 2 3 4 6 12 y 12 6 ■ 3 2 15 1 05 结果发现一个数据被墨水涂黑了， （1）被墨水涂黑的数据为 ； （2）y 与x 的函数关系式为 ，且y 随x 的增大而 ； （3）如图是小亮画出的y 关于x 的函数图象，点B、E 均在该函数的图象上，其中矩形B 的面积记为 S1，矩形DEF 的面积记为S2，请判断S1与S2的大小关系，并说明理由； （4）在（3）的条件下，DE 交B 于点G，反比例函数y＝ 的图象经过点G 交B 于点，连接G、，则四 边形GB 的面积为 ． 解：（1）从表格可以看出xy＝6， ∴墨水盖住的数据是6÷15＝4； 故答为4； （2）由xy＝6，得到y＝ ，y 随x 的增大而减少； 故答为y＝ ；减少； （3）S1＝•＝k＝6，S2＝D•F＝k＝6， ∴S1＝S2； （4）∵S 四边形B＝•B＝6，S△G＝ D•G＝ ×2＝1，S△G＝ •＝ ×2＝1， ∴S 四边形GB＝S 四边形B﹣S△G﹣S△＝6 1 1 ﹣﹣＝4； 故答为4； 5、如图，在平面直角坐标系中，四边形BD 是平行四边形，点、B 在x 轴上，点、D 在第二象限，点M 是 B 中点．已知B＝6，D＝8，∠DB＝60°，点B 的坐标为（﹣6，0）． （1）求点D 和点M 的坐标； （2）如图①，将▱BD 沿着x 轴向右平移个单位长度，点D 的对应点D′和点M 的对应点M′恰好在反比 例函数y＝ （x＞0）的图象上，请求出的值以及这个反比例函数的表达式； （3）如图②，在（2）的条件下，过点M，M′作直线l，点P 是直线l 上的动点，点Q 是平面内任意一 点，若以B′，′，P、Q 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标． 解：（1）∵B＝6，点B 的坐标为（﹣6，0）， ∴点（﹣12，0）， 如图1，过点D 作DE⊥x 轴于点D， 则ED＝Ds∠DB＝8× ＝4 ，同理E＝4， 故点D（﹣8，4 ），则点（﹣2，4 ）， 由中点公式得，点M（﹣4，2 ）； （2）图象向右平移了个单位，则点D′（﹣8，4 ）、点M′（﹣4，2 ）， ∵点D′M′都在函数上， ∴（﹣8）×4 ＝（﹣4）×2 ， 解得：＝12， 则k＝（12 8 ﹣）×4 ＝16 ， 故反比例函数的表达式为＝ ； （3）由（2）知，点M′的坐标为（8，2 ），点B′、′的坐标分别为（6，0）、（10，4 ）， 设点P（m，2 ），点Q（s，t）； ①当B′′是矩形的边时，如图2，求解的矩形为矩形B′′PQ 和矩形B′′Q′P′， 过点′作′⊥l 交于点，′＝4 2 ﹣ ＝2 ， 直线B′′的倾斜角为60°，则∠M′P′＝30°，P＝′÷t∠M′P′＝2 ＝6， 故点P 的坐标为（16，2 ）， 由题意得：点P、Q′关于点′对称，由中点公式得，点Q 的坐标为（12，﹣4 ）； 同理点Q、Q′关于点M′对称，由中点公式得，点Q′（4，6 ）； 故点Q 的坐标为：（12，﹣4 ）或（4，6 ）； ②当B′′是矩形的对角线时， ∵B′′的中点即为PQ 的中点，且PQ＝B′′， ∴ ，解得： ， ， 故点Q 的坐标为（4，2 ）或（12，2 ）； 综上，点Q 的坐标为：（12，﹣4 ）或（4，6 ）或（4，2 ）或（12，2 ）． 6、已知，在直角坐标系中，平行四边形B 的顶点，坐标分别为（2，0），（﹣1，2），反比例函数y＝ 的图象经过点B（m≠0） （1）求出反比例函数的解析式 （2）将▱B 沿着x 轴翻折，点落在点D 处，作出点D 并判断点D 是否在反比例函数y＝ 的图象上 （3）在x 轴是否存在一点P 使△P 为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）分别过点、B 作x 轴的垂线，垂足分别为：E、F， ∵四边形B 为平行四边形，则∠E＝∠BF，＝B， Rt ∴ △E Rt ≌ △BF，∴F＝E＝1， 故点B（1，2），故m＝2， 则反比例函数表达式为：y＝ ； （2）翻折后点D 的坐标为：（﹣1，﹣2）， ∵（﹣1）•（﹣2）＝2， ∴D 在反比例函数y＝ 的图象上； （3）当P＝时，点P（ ，0）； 当＝P 时，点P（﹣2，0）； 当P＝P 时，设点P（m，0）， 则m2+（m+1）2+4，解得：m＝﹣25； 综上，点P 的坐标为：（ ，0）或（﹣2，0）或（﹣25，0）． 7、如图，四边形BD 是平行四边形，点（1，0），B（4，1），（4，4）．反比例函数y＝ （x＞0）的图 象经过点D，点P 是一次函数y＝kx+4 4 ﹣k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点． （1）求反比例函数的解析式； （2）通过计算，说明一次函数y＝kx+4 4 ﹣k（k≠0）的图象一定过点； （3）对于一次函数y＝kx+4 4 ﹣k（k≠0），当随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必 写过程）． 解：（1）∵四边形BD 是平行四边形， ∴D＝B， ∵B（4，1），（4，4）， ∴B⊥x 轴，D＝B＝3， 而点坐标为（1，0）， ∴点D 的坐标为（1，3）． ∵反比例函数y＝ （x＞0）的函数图象经过点D（1，3）， 3 ∴＝ ， ∴m＝3， ∴反比例函数的解析式为y＝ ； （2）当x＝4 时，y＝kx+4 4 ﹣k＝4k+4 4 ﹣k＝4， ∴一次函数y＝kx+4 4 ﹣k（k≠0）的图象一定过点； （3）设点P 的横坐标为， ∵一次函数y＝kx+4 4 ﹣k（k≠0）过点，并且y 随x 的增大而增大时， ∴k＞0，P 点的纵坐标要小于4，横坐标大于4， 当纵坐标小于4 时， ∵y＝ ， ∴ ＜4，解得：＞ ， 则的范围为＞1 或＜ ． 8、如图，为反比例函数y＝ （其中x＞0）图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B，B＝4．连接，B， 且＝B．过点B 作B⊥B，交反比例函数y＝ （其中x＞0）的图象于点，连接交B 于点D，则 的值为 ． 解：过点作⊥x 轴，垂足为，交于点M，如图， ∵＝B，⊥B， ∴＝B＝ B， 设＝B＝，则（， ），（2， ）， ∵∥B， ∴M＝ B＝ ， ∴M＝﹣M＝ ﹣ ＝ ， ∵M∥B， ∴△DM∽△BD， ∴ ＝ ＝ ． 9、如图，点（1，3）为双曲线 上的一点，连接并延长与双曲线在第三象限交于点B，M 为y 轴正半轴 上一点，连接M 并延长与双曲线交于点，连接BM、B，已知△MB 的面积为 ，则点的坐标为 ． 解：连接， ∵点（1，3）为双曲线 上， ∴k＝3，即：y＝ ； 由双曲线的对称性可知：＝B， ∴S△MB＝S△M，S△B＝S△， ∴S△M＝ S△BM＝ ， 设点M（0，m），（， ）， ∴ m＝ ，即，m＝ ，① 设直线M 的关系式为y＝kx+b，将M（0，m）（1，3）代入得， b＝m，k＝3﹣m， ∴直线M 的关系式为y＝（3﹣m）x+m， 把（， ）代入得， ＝（3﹣m）×+m，② 由①和②解得，＝ ， 当＝ 时， ＝ ， ∴（ ， ）， 故答为：（ ， ）． 10、如图，等边△B 的边B 与y 轴交于点，点是反比例函数y＝ （x＞0）的图象上一点，且B＝2，则 等边△B 的边长为 ． 解：设点（， ），等边三角形的边长为b， 过点作x 轴的平行线交y 轴于点M，过点B 作y 轴的平行线交M 的延长线于点E，过点作⊥B 与点， 则＝ B＝ b，＝ b， ∵＝ b，＝ b， ∴＝﹣＝ b， ∵M∥BE， ∴ ＝ ，即 ＝ ，则E＝3， ∵∠＝∠M＝∠BE， ∴△∽△EB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：BE＝ ， B2＝E2+BE2，则b2＝92+ 2＝ 2， ∵点（， ）， ∴B2＝2+ ＝ 2， 解得：2＝3，b＝2 ， 故答为2 ． 11、如图，直线y＝mx 1 ﹣交y 轴于点B，交x 轴于点，以B 为边的正方形BD 的顶点（﹣1，）在双曲线y ＝﹣ （x＜0）上，D 点在双曲线y＝ （x＞0）上，则k 的值为 ． 解：∵（﹣1，）在双曲线y＝﹣ （x＜0）上， ∴＝2， ∴（﹣1，2）， ∵点B 在直线y＝mx 1 ﹣上， ∴B（0，﹣1）， ∴B＝ ＝ ， ∵四边形BD 是正方形， ∴B＝B＝ ， 设（，0）， ∴ ＝ ， ∴＝﹣3（舍）或＝3， ∴（3，0）， ∴点B 向右平移3 个单位，再向上平移1 个单位， ∴点D 是点向右平移3 个单位，再向上平移1 个单位， ∴点D（2，3）， ∵D 点在双曲线y＝ （x＞0）上， ∴k＝2×3＝6， 故答为：6． 12、如图，已知点（2，3）和点B（0，2），点在反比例函数y＝ 的图象上，作射线B，再将射线B 绕点 按逆时针方向旋转α 度，tα＝ ，交反比例函数图象于点，则点的坐标为 ． 解：如图，过B 作BF⊥于F，过F 作FD⊥y 轴于D，过作E⊥DF 于E， 则△EF∽△FDB， tα ∵ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴设BD＝，则EF＝2， ∵点（2，3）和点B（0，2）， ∴DF＝2 2 ﹣，D＝B﹣BD＝2﹣， ∴E＝2DF＝4 4 ﹣， ∵E+D＝3， 4 4+2 ∴﹣ ﹣＝3， 解得＝ ， ∴F（ ， ）， 设直线F 的解析式为y＝kx+b，则 ，解得 ， ∴y＝ x+ ， ∵点在反比例函数y＝ 的图象上， ∴y＝ ， 解方程组 ，可得 或 ， ∴（﹣ ，﹣ ）， 故答为（﹣ ，﹣ ）． 13、如图，点是双曲线y＝﹣ 在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点B，以B 为底作 等腰△B，且∠B＝120°，点在第一象限，随着点的运动点的位置也不断变化，但点始终在双曲线y＝ 上 运动，则k 的值为 ． 解：作D⊥x 轴于D，E⊥x 轴于E，连接，如图， ∵B 过原点， ∴点与点B 关于原点对称， ∴＝B， ∵△B 为等腰三角形， ∴⊥B， ∴∠B＝120°， ∴∠B＝30°， ∴＝ ， ∵∠D+∠E＝90°，∠D+∠D＝90°， ∴∠D＝∠E， Rt ∴ △D Rt ∽ △E， ∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝3， 而S△D＝ ×| 6| ﹣＝3， ∴S△E＝1， 即 |k|＝1， 而k＞0， ∴k＝2． 14、以矩形B 的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，使点、分别在x、y 轴的正半轴上，双曲线y＝ （x ＞0）的图象经过B 的中点D，且与B 交于点E，过边上一点F，把△BF 沿直线BF 翻折，使点落在矩形 内部的一点′处，且′E∥B，若点′的坐标为（2，4），则t∠BF 的值为 ． 解：连接D、E．设B＝B′＝m，则E′＝m 2 ﹣． ∵D＝BD， ∴S△D＝ ＝ S 矩形BD， ∵S△E＝ ＝S△D＝ S 矩形BD， ∴E＝EB， ′ ∵（2，4）， ∴E＝EB＝4， 在Rt△BE′中，∵B′2＝BE2+E′2， ∴m2＝42+（m 2 ﹣）2， ∴m＝5， ∴E（5，4）， ∴B（5，8），则B＝5， 延长E′交y 轴于G，则EG⊥y 轴， ′ ∴G＝2，G＝4， ∴在Rt△FG′中，′F2＝′G2+FG2，即（4﹣FG）2＝22+FG2， ∴FG＝ ， ∴F＝4﹣ ＝ ， t ∴∠BF＝ ＝ ＝ ． 故答是： ． 15、如图，正方形BD 的边长为5，点的坐标为（﹣4，0），点B 在y 轴上，若反比例函数y＝ （k≠0）的 图象过点，则该反比例函数的表达式为 ； 解：如图，过点作E⊥y 轴于E，在正方形BD 中，B＝B，∠B＝90°， ∴∠B+∠BE＝90°， ∵∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝∠BE， ∵点的坐标为（﹣4，0）， ∴＝4， ∵B＝5， ∴B＝ ＝3， 在△B 和△BE 中， ， ∴△B≌△BE（S）， ∴＝BE＝4，E＝B＝3， ∴E＝BE﹣B＝4 3 ﹣＝1， ∴点的坐标为（3，1）， ∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象过点， ∴k＝xy＝3×1＝3， ∴反比例函数的表达式为y＝ ． 故答为：y＝ ． 16、如图，点在双曲线y＝ 的第一象限的那一支上，B 垂直于y 轴与点B，点在x 轴正半轴上，且＝2B， 点E 在线段上，且E＝3E，点D 为B 的中点，若△DE 的面积为3，则k 的值为 ． 解：连D，如图， ∵E＝3E，△DE 的面积为3， ∴△DE 的面积为1， ∴△D 的面积为4， 设点坐标为（，b），则B＝，＝2B＝2， 而点D 为B 的中点， ∴BD＝D＝ b， ∵S 梯形B＝S△BD+S△D+S△D， ∴ （+2）×b＝ × b+4+ ×2× b， ∴b＝ ， 把（，b）代入双曲线y＝ ， ∴k＝b＝ ． 故答为： ． 17、如图，已知直线y＝﹣x+2 分别与x 轴，y 轴交于，B 两点，与双曲线y＝ 交于E，F 两点，若B＝ 2EF，则k 的值是 ． 解：作F⊥x 轴，E⊥y 轴，F 与E 交于D，如图， 由直线y＝﹣x+2 可知点坐标为（2，0），B 点坐标为（0，2），＝B＝2， ∴△B 为等腰直角三角形， ∴B＝2 ， ∴EF＝ B＝ ， ∴△DEF 为等腰直角三角形， ∴FD＝DE＝ EF＝1， 设F 点横坐标为t，代入y＝﹣x+2，则纵坐标是﹣t+2，则F 的坐标是：（t，﹣t+2），E 点坐标为 （t+1，﹣t+1）， ∴t（﹣t+2）＝（t+1）•（﹣t+1），解得t＝ ， ∴E 点坐标为（ ， ）， ∴k＝ × ＝ ． 故答为 ．