专题18.6 三角形的中位线【九大题型】（原卷版）

专题186 三角形的中位线【九大题型】 【人版】 【题型1 利用三角形的中位线求角度】................................................................................................................. 1 【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】.........................................................................................................2 【题型3 利用三角形的中位线求周长】................................................................................................................. 3 【题型4 利用三角形的中位线求面积】................................................................................................................. 5 【题型5 利用三角形的中位线求最值】................................................................................................................. 6 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】.........................................................................................................7 【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】.........................................................................................................8 【题型8 三角形中位线的实际应用】...................................................................................................................10 【题型9 与三角形中位线有关的证明】............................................................................................................... 11 【知识点 三角形的中位线】 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 【题型1 利用三角形的中位线求角度】 【例1】（2022 春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、 F、G 分别是AB ,CD , AC的中点，若∠DAC=17°，∠ACB=91°，则∠FEG等于 （ ） ．36° B．72° ．74° D．37° 【变式1-1】（2022 秋·福建泉州·九年级晋江市季延中学校考期末）如图，在△ABC中， D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=32°．现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形 所在平面内的点为A '，则∠BD A '的度数为（ ） 1 ．58° B．116° ．122° D．148° 【变式1-2】（2022 春·北京·八年级人大附中校考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC 平分∠BAD ,∠ABC=90° ,∠ACB=28°，且D=，点，E 分别是，D 的中点，则 ∠BOE的度数为_____________． 【变式1-3】（2022 春·山西太原·八年级统考期末）如图，已知△B 中，D，E 分别是B，的 中点，连接DE 并延长至F．使EF＝DE，连接F．若∠B＝45°，则∠F的度数为 _____． 【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】 【例2】（2022 春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，Rt △ABC中，∠BAC=90°， AB=6，BC=10，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点B作BG⊥AD于G，交AC 于F，连接EG，则线段EG的长为（ ） ．1 2 B．1 ．3 2 D．2 【变式2-1】（2022 秋·河南南阳·九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC ,BD相交于 1 点，点E 在OB上，连接AE，点F 为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3， OA=4，则线段OF的长为（ ） ．5 B．2❑ √5 ．3 ❑ √3 D．6 【变式2-2】（2022 秋·河南新乡·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC， D 是BC的中点AE⊥BE，AB=5，AC=3，则DE的长为（ ） ．1 B．3 2 ．2 D．5 2 【变式2-3】（2022 秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图，△ABC的周长为26，点D，E 都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂 足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ） ．3 2 B．5 2 ．3 D．4 【题型3 利用三角形的中位线求周长】 【例3】（2022 春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△B 中，D⊥B 于点D，E，F 分别 为，B 的中点．B＝10，B=8，DE＝45，则△DEF 的周长是（ ） 1 ．145 B．125 ．95 D．135 【变式3-1】（2022 春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，已知矩形 ABCD的对角线AC的长为10cm，连接矩形各边中点E、F、G、得四边形EFGH，则四 边形EFGH的周长为（ ）cm． ．10 B．20 ．30 D．40 【变式3-2】（2022 春·河南信阳·八年级统考期末）如图，点D 是△ABC内一点， BD⊥CD，AD=11，BD=8，CD=6，点E，F，G，分别是B，，D，BD 的中点，则 四边形EFG 的周长是（ ）． ．14 B．18 ．21 D．24 【变式3-3】（2022 春·重庆·八年级重庆南开中学校考期末）如图，矩形BD 的对角线，BD 交于点，E 为B 边上一点，连接DE，F 为DE 的中点，连接F，F，若△BED的周长为 10，则△OCF的周长为（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 1 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 【例4】（2022 春·山东德州·八年级校考期末）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F， G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是________ 【变式4-1】（2022 春·广东深圳·八年级统考期末）如图，EF 是△B 的中位线，点是EF 上 一点，且满足OE=2OF，则△B 的面积与△的面积之比为（ ） ．2:1 B．3:2 ．5:3 D．3:1 【变式4-2】（2022 春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在给定的△B 中，动点D 从点 B 出发沿B 方向向终点运动，DE∥交B 于点E，DF∥B 交于点F，是EF 的中点，在整个运 动过程中，△B 的面积的大小变化情况是（ ） ．不变 B．一直增大 ．先增大后减小 D．先减小后增大 【变式4-3】（2022 春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在△B 中，D，E 分别是B，的中 点，F 是B 边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△B 的面积为18 m❑ 2，则△DEF 的面 积是__m❑ 2 1 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 【例5】（2022 秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°， BC=2❑ √3，E，F 分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，分别为AE，EF的 中点，连接GH，则GH的最小值为（ ） ．❑ √3 B． ❑ √6 2 ． ❑ √6 3 D．1 【变式5-1】（2023 秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，点A，B的坐标 分别为A （2，0），B（0，2），点C为平面直角坐标系内一点，BC=1，点M为 线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为（ ） ．2❑ √2−1 B．2❑ √2+1 ． ❑ √2+ 1 2 D． ❑ √2−1 2 【变式5-2】（2023 秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中， AB=8，AD=4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的 最小值是___________． 【变式5-3】（2022 春·甘肃兰州·八年级校考期末）已知菱形BD 的两条对角线分别为6 和 8，M、分别是边B、D 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM+P 的最小值是（ ） 1 ．5 B．5❑ √3 ．5❑ √2 D．不能确定 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 【例6】（2022 春·辽宁丹东·八年级校考期末）如下图，在边长为的等边△ABC中，分别 取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2， B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去，经过第2022 次操作后得△A2022B2022C2022，则 △A2022B2022C2022的面积为__________． 【变式6-1】（2022 秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直 线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1 次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还 原纸片后，再将△ADC沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为 第2 次操作，折痕D1 E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去，经过第4 次操作 后得到的折痕D3 E3到BC的距离记为h4，若h1=1，则h4的值是（ ） ．31 16 B．17 4 ．15 8 D．1 8 【变式6-2】（2022 秋·山东济南·九年级统考期中）如图，△ABC是边长为1 的等边三角 形，分别取AC 、BC边的中点D、E，连接DE，作EF ∥AC得到四边形EDAF，它的周 1 长记作C1；分别取EF ，BE的中点D1，E1，连接D1 E1，作E1 F1∥EF，得到四边形 E1 D1 F F1，它的周长记作C2，…，照此规律作下去，则C2022等于___________． 【变式6-3】（2022 秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在△A1 A2 A3中， ∠A1 A3 A2=90°，∠A2=30°，A1 A3=1．A4 、A5分别是A1 A2、A2 A3的中点，连 接A3 A4 、A4 A5；A6、A7分别是A3 A4 、A4 A5的中点，连接A5 A6、A6 A7；……按 此规律进行下去，则△A2021 A2022 A2023中最短边的长度为_______． 【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】 【例7】（2022 春·浙江杭州·九年级期末）如图，在6×6的方格纸中，线段AB的两个端点 分别落在格点上，请按要求画图： （1）在图1 中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ垂直． （2）在图2 中画一个以AB为中位线的格点△≝¿． 【变式7-1】（2022 秋·山西晋城·九年级统考期末）请在如图所示的正方形和等边三角形格 内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P 向线段B 引平行线． 1 【变式7-2】（2022·浙江温州·校考二模）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长 都是1，四边形ABCD是平行四边形，连结AC（点A，B，C，D均在格点上），请按要 求完成下列作图任务．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕 迹． （1）在图1 中作△ABC的中位线EF，且AC=2 EF； （2）在图2 中取边AD上点G，以AG，AC为邻边作▱GACH，且▱GACH的面积等于 △ABC的面积． 【变式7-3】（2022·四川乐山·三模）如图，在4×4 的正方形格图中，点、B 均在格点上， 请按要求完成下列解答： （注：作图仅能使用无刻度的直尺，且要求保留作图痕迹．请你借助格图完成第（2）、 （3）、（4）小题的作图）． (1)直接写出线段B 的长为； (2)在格图中找一个格点，连接B，使B⊥B； (3)在格图中，用正确的方法画出线段B 的中点D； (4)连接并在线段上找一点E，连接DE，使DE∥B． 1 【题型8 三角形中位线的实际应用】 【例8】（2022 春·湖北·八年级校考期中）如图，某花木场有一块如四边形ABCD形状的 空地，其中AD // BC ,∠B=∠BCD，其各边中点分别是E、F、G、，测得对角线 AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆的总长度是（ ） ．40m B．30m ．20m D．10m 【变式8-1】（2022 春·广东惠州·八年级校联考期末）如图，，B 两点被池塘隔开，在B 外 选一点，连接和B．分别取，B 的中点D，E，测得D，E 两点间的距离为20m，则，B 两 点间的距离为______m． 【变式8-2】（2022 春·重庆南岸·八年级统考期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆， 经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图 是▱ABCD，规划后博物馆的平面图是四边形EFGH，其中点，B，，D 分别是边 EF , FG ,GH , HE的中点．如果原来博物馆的平面图▱ABCD的面积为300m 2，则规划后 博物馆的平面图EFGH占地面积为________m 2． 【变式8-3】（2022 秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图（1），要在燃气管道l 上修建一个 泵站，分别向、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 1 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l 看成一条直 线（图2），问题就转化为：要在直线l 上找一点P，使P 与BP 的和最小，她的做法是这 样的： ①作点B 关于直线l 的对称点B′； ②连接B′交直线l 于点P，则点P 即为所求． 请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△B 中，点D、E 分别是B、边的中点， B＝6，B 边上的高为4，请你在B 边上确定一点P，使△PDE 的周长最小． (1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求△PDE 周长的最小值． 【题型9 与三角形中位线有关的证明】 【例9】（2022 秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O，BD=2BC，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．求证： (1)BE⊥AC； (2)连接AF，求证：四边形AGEF是菱形． 【变式9-1】（2022 秋·吉林长春·九年级统考期末）【材呈现】 如图是华师版九年级上册数学材第80 页的第3 题，请完成这道题的证明． 1 【结论应用】 （1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD的延长线交NM的延长线于点 E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN=∠F． （2）若（1）中的∠A+∠ABC=122°，则∠F的大小为 ． 【变式9-2】（2022 秋·安徽合肥·九年级校联考期末）如图，在△ABC和△ADE中， AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点旋转，连 接BE、CD，F 为BE的中点，连接AF． (1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2 AF； (2)当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由． 【变式9-3】（2022 春·吉林松原·八年级校考期末）阅读材料：如图1，四边形BD 的对角 线，BD 交于点，点M 是B 边上的一点，过点M 分别作ME∥BD，MF∥交直线，BD 于点 E，F，显然四边形EMF 是平行四边形． 1 (1)当对角线AC，BD满足______时，四边形OEMF是矩形． (2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的 平行四边形，并写出证明过程． (3)如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA， ME，MF三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 1