专题12.2 全等三角形的判定【八大题型】（原卷版）

专题122 全等三角形的判定【八大题型】 【人版】 【题型1 全等三角形的判定条件】.........................................................................................................................1 【题型2 证明两个三角形全等】.............................................................................................................................2 【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】..........................................................................................3 【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】.................................................................................................. 4 【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】.................................................................................................. 5 【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】..........................................................................6 【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】..........................................................................8 【题型8 全等三角形的应用】.................................................................................................................................9 【知识点 全等图形的判定】 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SS) 两边和它们的夹角对应相等的两个 三角形全等 角边角 (S) 两角和它们的夹边对应相等的两个 三角形全等 角角边 (S) 两个角和其中一个角的对边对应相 等的两个三角形全等 斜边、直角 边 (L) 斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等 【题型1 全等三角形的判定条件】 【例1】（2022 春•顺德区期末）如图，∠＝∠D＝90°，给出下列条件：①B＝D，②B ＝，③∠B＝∠DB，④∠B＝∠D，从中添加一个条件后，能证明△B≌△DB 的是（ ） ．①②③ B．②③④ ．①②④ D．①③④ 【变式1-1】（2021 秋•庐阳区期末）如图，点B、E 在线段D 上，若∠＝∠DEF，则添加下 1 列条件，不一定能使△B≌△EFD 的是（ ） ．∠＝∠D，＝DE B．B＝DF，＝DE ．∠B＝∠DFE，＝DE D．＝DE，B＝EF 【变式1-2】（2021 秋•源汇区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，＝D，增加下列条件之一： ①B＝E；②B＝ED；③∠＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△B≌△ED 的条件有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式1-3】（2022 秋•佳木斯期末）在△B 和△DEF 中，其中∠＝∠F，则下列条件：①＝ DF，∠＝∠D；②＝DF，B＝EF；③∠＝∠D，∠B＝∠E；④B＝DE，∠B＝∠E；⑤＝ DF，B＝DE．其中能够判定这两个三角形全等的是（ ） ．①②④ B．①②⑤ ．②③④ D．③④⑤ 【题型2 证明两个三角形全等】 【例2】（2022 春•鼓楼区校级期末）如图，点，E，F，B 在同一直线上，E⊥B，DF⊥B， 垂足分别为E，F，E＝BF，∠＝∠B．求证：△DF≌△BE． 【变式2-1】（2021 秋•肥西县期末）已知，如图，B＝E，B∥DE，∠EB＝65°，∠D＝115°， 求证：△B≌△ED． 【变式2-2】（2021 秋•信州区校级期中）如图，在△B 中，点D 是B 边的中点，分别过点 B、作BE⊥D 于点E，F⊥D 交D 的延长线于点F，求证：△BDE≌△DF． 1 【变式2-3】（2022•河源模拟）如图，在四边形BD 中，D∥B，点M 为对角线上一点，连 接BM，若＝B，∠MB＝∠BD，求证：△D≌△MB． 【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】 【例3】（2022 春•徐汇区校级期末）如图，已知E∥DF，E＝F，∠B＝∠，求证：B＝D． 【变式3-1】（2021 春•横山区期中）如图，B＝B，∠BD＝∠BD＝90°，点D 是EF 上一点， E⊥EF 于E，F⊥EF 于F，E＝F，连接BD，求证：Rt△DE Rt ≌ △DF． 【变式3-2】（2021 秋•石阡县期末）如图，B＝，E、D 分别是B、的中点，F⊥BD，垂足 为点F，G⊥E，垂足为点G，试判断F 与G 的数量关系，并说明理由． 【变式3-3】（2021 秋•沂源县期末）如图，D＝，B＝E，∠DB＝∠E． （1）△DE 与△B 全等吗？说明理由； （2）判断线段DF 与F 的数量关系，并说明理由． 1 【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】 【例4】（2022 秋•孟津县期末）如图，BM，分别是钝角△B 的高，点Q 是射线上的点，点 P 在线段BM 上，且BP＝，Q＝B，请问P 与Q 有什么样的关系？请说明理由． 【变式4-1】（2022 春•金牛区校级期中）如图：在△B 中，BE、F 分别是、B 两边上的高， 在BE 上截取BD＝，在F 的延长线上截取G＝B，连结D、G． （1）求证：∠BE＝∠G； （2）试判：G 与D 的关系？并说明理由． 【变式4-2】（2021 春•亭湖区校级期末）如图，△B 中，D⊥B，垂足为D．BE⊥，垂足为 G，B＝F，BE＝． （1）求证：E＝F； （2）E 与F 有何位置关系．请说明理由． 【变式4-3】（2021 春•泰兴市期末）如图，在锐角△B 中，D⊥B 于点D，点E 在D 上，DE ＝D，BD＝D，点F 为B 的中点，连接EF 并延长至点M，使FM＝EF，连接M． 1 （1）求证：BE＝； （2）试判断线段与线段M 的关系，并证明你的结论． 【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】 【例5】（2022 春•九龙坡区校级期末）如图，Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B 于点D，过点作 F∥B 且F＝D，点E 是上一点且E＝B，连接EF，DE．连接FD 交BE 于点G．下列结论 中正确的有（ ）个． ①∠FE＝∠DB；②BD＝EF；③FD 平分∠FE；④S 四边形BDE＝S 四边形DEF；⑤BG＝ GE． ．2 B．3 ．4 D．5 【变式5-1】（2021 秋•垦利区期末）如图，在△B 中，BD、E 分别是∠B 和∠B 的平分线， M⊥E 于P，交B 于M，⊥BD 于Q，交B 于，∠B＝110°，B＝6，＝5，M＝2，结论： ①P＝MP；②B＝9；③∠M＝30°；④M＝．其中正确的有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【变式5-2】（2021 春•锦州期末）如图，在△B 和△D 中，＝B，＝D（＜），∠B＝∠D＝ α，直线，BD 交于点M，连接M．下列结论：①＝BD，②∠M＝∠BM，③∠MB＝α， ④M 平分∠B，其中正确结论的个数是（ ） 1 ．4 B．3 ．2 D．1 【变式5-3】（2021 春•江北区校级期末）如图，已知B＝，点D、E 分别在、B 上且E＝ D，连接E，BD，E 交BD 于点M，连接M，过点分别作F⊥E，G⊥BD，垂足分别为 F、G，下列结论：①△EBM≌△DM；②∠EMB＝∠FG；③M 平分∠EMD；④若点E 是 B 的中点，则BM+＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△DM，则E 是B 的中点；其中正确结论 的个数为（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】 【例6】（2022 春•杏花岭区校级期中）已知B＝，D＝E，∠B＝∠DE． （1）如图1，当点D 在B 上时，求证：BD＝E； （2）如图2，当点D、E、在同一直线上，且∠B＝α，∠BE＝β 时，求∠DB 的度数（用 含α 和β 的式子表示）． 【变式6-1】（2022•南京模拟）在△B 中，B＝，点D 是射线B 上的一动点（不与点B、重 合），以D 为一边在D 的右侧作△DE，使D＝E，∠DE＝∠B，连接E． （1）如图1，当点D 在线段B 上，且∠B＝90°时，那么∠DE＝ 度； （2）设∠B＝α，∠DE＝β． ①如图2，当点D 在线段B 上，∠B≠90°时，请你探究α 与β 之间的数量关系，并证明 你的结论； 1 ②如图3，当点D 在线段B 的延长线上，∠B≠90°时，请将图3 补充完整，并直接写出此 时α 与β 之间的数量关系（不需证明）． 【变式6-2】（2022 秋•江夏区期末）已知△B，分别以B、为边作△BD 和△E，且D＝B，＝ E，∠DB＝∠E，连接D 与BE，G、F 分别是D 与BE 的中点． （1）如图1，若∠DB＝60°，则∠FG＝ ； （2）如图2，若∠DB＝90°，则∠FG＝ ； （3）如图3，若∠DB＝α，试探究∠FG 与α 的数量关系，并给予证明． 【变式6-3】（2021 秋•肥西县期末）在△B 中，B＝，D 是直线B 上一点，连接D，以D 为 一条边在D 的右侧作△DE，使E＝D，∠DE＝∠B，连接E． （1）如图，当点D 在B 延长线上移动时，若∠B＝26°，则∠DE＝ ． （2）设∠B＝α，∠DE＝β． ①当点D 在B 延长线上移动时，α 与β 之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线B 上（不与B，两点重合）移动时，α 与β 之间有什么数量关系？请直 接写出你的结论． 【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】 【例7】（2022 春•沙坪坝区校级期中）如图，在△B 中，∠B、∠B 的平分线交于点D，延长 1 BD 交于E，G、F 分别在BD、B 上，连接DF、GF，其中∠＝2∠BDF，GD＝DE． （1）当∠＝80°时，求∠ED 的度数； （2）求证：F＝FG+E． 【变式7-1】（2022•黄州区校级模拟）如图，∠BD＝∠E＝90°，B＝D，E＝，F⊥B，垂足 为F． （1）求证：△B≌△DE； （2）求∠FE 的度数； （3）求证：D＝2BF+DE． 【变式7-2】（2021 秋•两江新区期末）在Rt△B 中，∠B＝90°，点D 是B 延长线上一点， 点E 是线段B 上一点，连接DE．＝DE，B＝BE． （1）求证：B＝BD； （2）BF 平分∠B 交于点F，点G 是线段FB 延长线上一点，连接DG，点是线段DG 上 一点，连接交BD 于点K，连接KG．当KB 平分∠KG 时，求证：K＝DG+KG． 【变式7-3】（2022 春•济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形 BD 以D 为顶点作∠MD，交边、B 于M、． （1）若∠D＝30°，∠MD＝60°，当∠MD 绕点D 旋转时，M、M、B 三条线段之间有何种 数量关系？证明你的结论； 1 （2）当∠D+∠MD＝90°时，M、M、B 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、改在、B 的延长线上，完成图3，其余条件 不变，则M、M、B 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【题型8 全等三角形的应用】 【例8】（2022 春•二七区期末）为了测量一池塘的两端，B 之间的距离，同学们想出了如 下的两种方： 方①如图1，先在平地上取一个可直接到达，B 的点，再连接，B，并分别延长至点 D，B 至点E，使D＝，E＝B，最后量出DE 的距离就是B 的长； 方②如图2，过点B 作B 的垂线BF，在BF 上取，D 两点，使B＝D，接着过D 作BD 的垂线DE，在垂线上选一点E，使、、E 三点在一条直线上，则测出DE 的长即是B 的 距离． 问：（1）方①是否可行？请说明理由； （2）方②是否可行？请说明理由； （3）小明说在方②中，并不一定需要BF⊥B，DE⊥BF，只需要 就可以了，请把 小明所说的条件补上． 【变式8-1】（2021 春•普宁市期末）学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外 测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别 到测量者连线之间的夹角大小）．小明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端 点、B 之间的距离． 1 （1）小明小组提出了测量方：在池塘南面的空地上（如图），取一个可直接到达、B 的点，用绳子连接和B，并利用绳子分别延长至D、B 至E，使用拉尺丈量D＝、E＝ B，确定D、E 两个点后，最后用拉尺直接量出线段DE 的长，则端点、B 之间的距离就 是DE 的长．你认为小明小组测量方正确吗？请说明理由． （2）你还有不同于小明小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方（在备 用图1 中画出简图，但不必说明理由）． （3）假设池塘南面（即点D、E 附近区域）没有足够空地（或空地有障碍物或不可直达 等不可测量情况），而点B 的右侧区域有足够空地并可用于测量，请你设计一个可行的 测量方（在备用图2 中画出图形），并说明理由． 【变式8-2】（2022 春•金乡县期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们 想要测量小明家所在单元楼B 的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小 华在自己家阳台处测得E 处的俯角为∠1，小明站在E 处测得眼睛F 到B 楼端点的仰角为 ∠2，发现∠1 与∠2 互余，已知EF＝1 米，BE＝D＝20 米，BD＝58 米，试求单元楼B 的 高． 【变式8-3】（2022 春•郑州期末）阅读并完成相应的任务． 如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的B 点（B 与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知 道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方示意图（不完 整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达D 点； 1 ③他到达D 点后向左转90 度直行，当自己，电线杆与游艇在一 条直线上时停下来，此时小明位于点E 处． 测量数据 ＝20 米，D＝20 米，DE＝8 米 （1）任务一：根据题意将测量方示意图补充完整． （2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是 米． ②请你说明小明方正确的理由． 1