专题27.5 相似三角形的应用【七大题型】（原卷版）

专题275 相似三角形的应用【七大题型】 【人版】 【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】.........................................................................................................1 【题型2 相似三角形的应用（影长问题）】.........................................................................................................3 【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】.........................................................................................................4 【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】.....................................................................................................6 【题型5 相似三角形的应用（树高问题）】.........................................................................................................8 【题型6 相似三角形的应用（河宽问题）】.........................................................................................................9 【题型7 相似三角形的应用（内接矩形问题）】...............................................................................................11 【知识点 相似三角形的应用】 在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学 问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握 并应用一些简单的相似三角形模型。 【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】 【例1】（2021·北京大兴·九年级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在 “勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问： 出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为200 步 （“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于GD 的中点，南门K 位于ED 的中 点，出东门15 步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点D 在直线 上）． 【变式1-1】（2022·湖南株洲·九年级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上 部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆B，从木杆的顶端B 观察 1 井水水岸D，视线BD 与井口的直径交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米， AE=0.4米，那么D 为（ ）米． ．5 B．4 ．3 D．2 【变式1-2】（2022·河北·二模）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑 方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步 见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFG 是一座正方形小城，北门位于FG 的中 点，南门B 位于E 的中点．从北门出去正北方向20 步远的处有一树木，从南门出去向南行 走14 步，再向西行走1775 步，恰好能看见处的树木，则正方形小城的边长为（ ） ．105 步 B．200 步 ．250 步 D．305 步 【变式1-3】（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）《海岛算经》是中国最早的一 部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年（公元263 年）所撰，本为《九章算术注》之 第十卷，题为《重差》，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可 及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、远得名《海岛算经》，亦为地图学提 供了数学基础． 《海岛算经》中的第4 道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺 端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股 八尺五寸．问谷深几何？ 大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段M，在山谷边缘处放置一个直角 三角尺B，∠B＝90°，＝6 尺，，，在一条直线上，⊥M，从点处望山谷底部M 处时，视线 经过B 上的点E 处，测得E 长为9 尺1 寸；将三角尺沿着射线方向向上平移3 丈得到 △A ' B 'C '，从A '处望山谷底部M 处时，视线经过B 'C '上的点F 处，测得F C '长为8 尺5 寸．求山谷深为几丈．（注：1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸） 1 【题型2 相似三角形的应用（影长问题）】 【例2】（2022·浙江金华·九年级期末）如图，小明在8：30 测得某树的影长为16m，13： 00 时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ ） ．10m B．8m ．6m D．4m 【变式2-1】（2022·江苏徐州·中考真题）如图，公内有一个垂直于地面的立柱B，其旁边 有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30 ∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm， 在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60m 的木杆的影长为90m （其影子完全落在地面上）．求立柱B 的高度． 【变式2-2】（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小 明在点D 处，自己的影长DF=4 m，沿BD方向到达点F 处再测自己的影长FG=5m，如 1 果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度． 【变式2-3】（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期末）如图,小华在晚上由路灯走向路灯 B，当她走到P 点时,发现她身后影子的顶端刚好接触到路灯的底部,当她向前再步行12m 到 Q 点时，发现她身前影子的顶端刚好接触到路灯 B 的底部已知小萌的身高是16m，两路灯 的高度都是96m，且P=QB=x m (1)求两路灯之间的距离 (2)当小萌在，B 之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子的长的和变吗? 请说明理由 【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】 【例3】（2022·山东临沂·二模）如图，EF 是一个杠杆，可绕支点自由转动，若动力F 动和 阻力F阻的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力F阻不变时，则杠杆向下运动时F 动的大 小变化情况是（ ） 1 ．越来越小 B．不变 ．越来越大 D．无法确定 【变式3-1】（2019·全国·九年级专题练习）如图，是用杠杆撬石头的示意图，C是支点， 当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动，现有一块石 头，要使其滚动，杠杆B端必须向上翘10cm，已知杠杆上的AC与BC长度之比为5:1，则 要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压多少厘米？ 【变式3-2】一根均匀的木棒所受重力G=10，小亮以木棒的一端为支点，竖直向上将木棒 的另一端缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F，若点B 为的中点，，BD 分 别垂直地面于点，D，则根据杠杆平衡原理得拉力F 的大小为（ ） ．5 B．10 ．15 D．20 【变式3-3】（2021·甘肃白银·九年级期末）如图，以点为支点的杠杆，在端用竖直向上的 拉力将重为G 的物体匀速拉起，当杠杆水平时，拉力为F；当杠杆被拉至1时，拉力为F1， 过点B1作B1⊥，过点1作1D⊥，垂足分别为点、D．在下列结论中： ①△O B1C ∽△O A1 D；②•=B•D；③•G=D•F1；④F=F1，正确的是（ ） ．①②④ B．②③④ ．①②③ D．①②③④ 【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】 【例4】（2019·四川·成都市双流区立格实验学校九年级阶段练习）刘徽，公元3 世纪人， 是中国历史上最杰出的数学家之一．《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵 1 的数学遗产．《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度， 立两根高3 丈的标杆B 和DE，两杆之间的距离BD＝1000 步，点D、B、成一线，从B 处退 行123 步到点F 处，人的眼睛贴着地面观察点，点、、F 也成一线，从DE 退行127 步到点 G 处，从G 观察点，，E，G 三点也成一线，试计算山峰的高度及B 的长（这里古制1 步＝6 尺，1 里＝180 丈＝1800 尺＝300 步，结果用步来表示）． 【变式4-1】（2022·陕西·武功县育局育学研究室一模）千佛铁塔位于陕西省咸阳市之北杜 镇，用纯铁铸成，中空有梯可攀登，四角柱铸成金刚力士像，顶立层楼，各层环周铸铁佛 多尊，故名“千佛塔”，此塔为中国现存铁塔中最高的一座．某数学兴趣小组本着用数学 知识解决实际问题的想法，欲测量该塔的高度．如图，在点处有一建筑物，小丽同学站在 建筑物上，眼睛位于点D 处，她手拿一支长05 米的竹竿EF，边观察边移动竹竿（竹竿EF 始终与地面垂直），当移动到如图所示的位置时，眼睛D 与竹竿、塔的顶端E、共线，同 时眼睛D 与它们的底端F、B 也恰好共线，此时测得∠BDC=63°，小丽的眼睛距竹竿的 距离为05 米，小丽的眼睛距地面的高度CD=17米，已知AB⊥BC，DC ⊥BC．请你根 据以上测量结果计算该塔的高度B．【参考数据：tan 63°≈2】 【变式4-2】（2022·陕西·模拟预测）延安宝塔，是历史名城延安的标志，是革命圣地的象 征，坐落在陕西省延安市主城东南的宝塔山景区内．周末，数学实践小组的同学带着测量 工具测量延安宝塔的高度．测量方如下：首先，在处竖立一根高4m 的标杆B，发现地面上 的点D、标杆顶端B 与宝塔顶端M 在一条直线上，测得AD=4.3m；然后，移开标杆，在 处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高为1m 时，恰好测得点M 的仰角为45°已知 MN ⊥ND，AB⊥ND，点D、、在一条直线上，点，、B 在一条直线上，求延安宝塔的 高M． 1 【变式4-3】（2022·陕西西安·一模）“揽月阁”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文 化的标志性建筑，阳光明媚的一天，某校九年级一班的兴趣小组去测量揽月阁的高度．揽 月阁前面有个高1 米的平台，身高18 米的小强在台上走动，当小强走到点处，小红蹲在台 下点处，其视线通过边缘点M 和小强头顶点D 正好看到塔顶点，测得CM=0.9米，然后 小强从正前方跳下后，往前走到点E 处，此时发现小强头顶F 在太阳下的影子恰好和塔顶 在地面上的影子重合于点P 处，测得NE=5米，EP=1米．请你根据以上数据帮助兴趣小 组求出揽月阁的高度． 【题型5 相似三角形的应用（树高问题）】 【例5】（2011·辽宁大连·中考真题）为了测量校内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用 实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测 量方：把镜子放在离树(B)87m 的点E 处，然后观测考沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在 镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得DE＝27m，观测者目高D＝16m，则树高B 约是____． （精确到01m） 1 【变式5-1】（2021·全国·九年级专题练习）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知 其高山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平人目高七尺问山 高几何？” 大意如下：如图，今有山AB位于树CD的西面山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9 丈5尺，人站在离树3里的F处，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺， 问山B 的高约为多少丈？(1丈¿10尺，结果精确到个位) 【变式5-2】（2022·全国·九年级单元测试）小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁 有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把 镜子放在点，人在F 点时正好在镜子中看到树尖；第二次把镜子放在D 点，人在G 点正好 看到树尖．已知小明的眼睛距离地面170m，量得D＝12m，F＝18m，D＝38m．请你求出 松树的高． 【变式5-3】（2021·陕西宝鸡·一模）傍晚，小张和妈妈在某公散步，发现公的一路灯旁有 一棵古老的大树，小华激动地说：妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长DF＝ 16m．妈妈沿BD 的方向到达点F 处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高 为16m（即D＝EF＝16m），B⊥BG，D⊥BG，求这棵大树的高度． 【题型6 相似三角形的应用（河宽问题）】 【例6】（2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级期中）为了估计河的宽度，我们可以在 河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC， 1 CE⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD=120m，DC=40m，EC=30m， 那么这条河的大致宽度是（ ） ．60m B．90m ．100m D．120m 【变式6-1】（2019·全国·九年级单元测试）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一 个目标点，在近岸取点B，，D，E，使点，B，D 在一条直线上，且D DE ⊥ ，点，，E 也在 一条直线上且DE B ∥．如果B＝24m，BD＝12m，DE＝40m，则河的宽度B 约为( ) ．20m B．18m ．28m D．30m 【变式6-2】（2022·贵州毕节·二模）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸 边每隔5m 有一棵树，小华站在离南岸20m 的点P 处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰 好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已 知龙舟的长为185m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为_______m． 【变式6-3】（2022·陕西·西安工业大学附中九年级期中）为了加快城市发展，保障市民出 行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小 颖想通过自己所学的数学知识计算该桥F 的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对 1 岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点B 和点，分别在B、的延长线上取点 D、E，使得DE∥B．经测量，B＝120 米，DE＝210 米，且点E 到河岸B 的距离为60 米． 已知F⊥B 于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥F 的长度． 【题型7 相似三角形的应用（内接矩形问题）】 【例7】（2020·江苏无锡·九年级期中）一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为 1cm，面积为1c m 2，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、② 中正方形的面积较大的是( ) ．① B．② ．一样大 D．无法判断 【变式7-1】（2021·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）如图有一块直角边B＝4m，B＝3m 的Rt△B 的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边 长为（ ） ．6 7 B．30 37 ．12 7 D．60 37 【变式7-2】（2019·浙江宁波·九年级期末）如图，已知在RtΔABC中，∠C为直角， AC=5，BC=12，在RtΔABC内从左往右叠放边长为1 的正方形小纸片，第一层小纸片 的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则第二层最多能叠放___个正方形小纸片 1 【变式7-3】（2021·浙江台州·九年级期末）一块材料的形状是等腰△B，底边 B=120 m，高 D=120 m． (1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在 B 上，其余两个顶点分别在B， 上 （如图 1），则这个正方形的边长为多少？ (2)若把这块材料加工成正方体零件（如图 2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表 面积为多少？ 1