专题11.3 三角形的外角【十大题型】（原卷版）

专题113 三角形的外角【十大题型】 【人版】 【题型1 三角形的外角】.........................................................................................................................................1 【题型2 三角形的外角性质（比较角的大小）】.................................................................................................. 2 【题型3 三角形的外角性质（求角）】................................................................................................................. 3 【题型4 三角形的外角性质（含角平分线）】.....................................................................................................4 【题型5 三角形的外角性质（含垂直关系）】.....................................................................................................5 【题型6 三角形的外角性质（含三角板）】.........................................................................................................6 【题型7 三角形的外角性质（含平行线）】.........................................................................................................7 【题型8 三角形的外角性质（折叠问题）】.........................................................................................................8 【题型9 三角形的外角性质（内外角平分线模型）】.........................................................................................9 【题型10 三角形的外角性质（内外角平分线规律问题）】..............................................................................11 【知识点1 三角形的外角】 三角形外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 【题型1 三角形的外角】 【例1】（2022•海沧区期末）如图，在△B 中，点D，E 分别是边B，B 上的点，连接E 和 DE，则下列是△BDE 的外角的是（ ） ．∠ED B．∠E ．∠DE D．∠BE 【变式1-1】（2022•思明区校级期末）如图，四边形BD 的对角线，BD 交于点，E 是B 边 上一点，连接E，E，则下列角中是△E 的外角的是（ ） ．∠EB B．∠D ．∠E D．∠E 【变式1-2】如图，有 个三角形，∠1 是 的外角，∠DB 是 的外角． 1 【变式1-3】（2022•江北区校级月考）如图，在∠1、∠2、∠3 和∠4 这四个角中，属于△B 外 角的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【知识点2 三角形的外角性质】 ①三角形的外角和为360°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角 形的一个外角大 于和它不相邻的任何一个内角． 【题型2 三角形的外角性质（比较角的大小）】 【例2】（2022•通川区期末）如图，∠、∠1、∠2 的大小关系是（ ） ．∠＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠ ．∠＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠＞∠1 【变式2-1】（2022•临淄区期中）点P 是△B 内任意一点，则∠P 与∠B 的大小关系是（ ） ．∠P＞∠B B．∠P＝∠B ．∠P＜∠B D．不能确定 【变式2-2】（2022 春•兴隆县期末）如图所示，下列结论正确的是（ ） ．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1 ．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B 【变式2-3】（2022•双流区期末）如图，在△B 中，∠1 是它的一个外角，E 为边上一点，延 1 长B 到D，连接DE．则下列结论正确的是（ ） ．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 ．∠1＝∠2+ 3 ∠ D．∠3＝∠ 【题型3 三角形的外角性质（求角）】 【例3】（2022•石阡县模拟）如图，已知△B 的外角∠D＝120°，∠＝80°，则∠B 的度数是（ ） ．30° B．40° ．50° D．60° 【变式3-1】（2022•梁子湖区期末）三角形中，三个内角的比为1：3：6，它的三个外角 的比为（ ） ．1：3：6 B．6：3：1 ．9：7：4 D．3：5：2 【变式3-2】（2022 春•光明区期末）某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BD＝ 110°，∠D＝30°，那么∠的度数是（ ） ．50° B．60° ．70° D．80° 【变式3-3】（2022 春•江阴市期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠＝60°，∠B＝ 40°，∠＝30°，则∠D+∠E 等于（ ） ．100° B．110° ．120° D．130° 1 【题型4 三角形的外角性质（含角平分线）】 【例4】（2022•沈阳模拟）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D 平分∠B 交B 边于点D，若∠＝ 26°，则∠DB 的度数是（ ） ．61° B．64° ．71° D．109° 【变式4-1】（2022 春•宜兴市校级月考）如图，在△B 中，在B 上存在一点D，使得∠D＝ ∠B，角平分线E 交D 于点F．△B 的外角∠BG 的平分线所在直线M 与B 的延长线交于点 M，若∠M＝35°，则∠FE＝ ． 【变式4-2】（2022 春•邗江区期中）如图，∠BD，∠D 的角平分线交于点P，若∠＝50°， ∠D＝10°，则∠P 的度数为（ ） ．15° B．20° ．25° D．30° 【变式4-3】（2022•武冈市期末）如图，已知P 是三角形B 内一点，∠BP＝120°，∠＝ 70°，BD 是∠BP 的角平分线，E 是∠P 的角平分线，BD 与E 交于点F，则∠BF 等于（ ） ．100° B．90° ．85° D．95° 【题型5 三角形的外角性质（含垂直关系）】 【例5】（2022•赤峰）如图，点D 在B 的延长线上，DE⊥B 于点E，交于点F．若∠＝ 35°，∠D＝15°，则∠B 的度数为（ ） 1 ．65° B．70° ．75° D．85° 【变式5-1】（2022 春•鄂州校级期中）如图，BD，E 是△B 的两条高，且交于点， 问：（1）∠1 和∠2 大小如何？ （2）若∠＝50°，∠B＝70°，求∠3 和∠4 度数． 【变式5-2】（2022 春•普陀区期末）如图，已知△B 中，BD、E 分别是边、B 上的高，BD 与E 交于点，如果设∠B＝°，那么用含的代数式表示∠B 的度数是（ ） ．45°+° B．90° ° ﹣ ．90°+° D．180° ° ﹣ 【变式5-3】（2022 春•腾冲县期末）已知：如图所示，∠B＝66°，∠B＝54°，BE 是边上的 高，F 是B 边上的高，是BE 和F 的交点，求：∠BE，∠F 和∠B 的度数． 1 【题型6 三角形的外角性质（含三角板）】 【例6】（2022 春•宿城区期末）将一副直角三角板如图放置，∠＝30°，∠F＝45°．若边B 经过点D，则∠EDB＝ °． 【变式6-1】（2022•亭湖区校级一模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α 的大小 为（ ） ．105° B．75° ．65° D．55° 【变式6-2】（2022•丹东期末）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α 等于（ ） ．105° B．115° ．120° D．135° 【变式6-3】（2022•安徽二模）一副三角板如图放置，则∠1+ 2 ∠的度数为（ ） ．30° B．45° ．60° D．75° 1 【题型7 三角形的外角性质（含平行线）】 【例7】（2022•沙湾区模拟）如图，直线∥b，则∠1＝（ ） ．100° B．110° ．125° D．135° 【变式7-1】（2022 春•东西湖区校级月考）如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是 （ ） ．α+β+γ B．α+β γ ﹣ ．β+γ α ﹣ D．α β+γ ﹣ 【变式7-2】（2022•泸州）如图，直线∥b，直线分别交，b 于点，，点B 在直线b 上， B⊥，若∠1＝130°，则∠2 的度数是（ ） ．30° B．40° ．50° D．70° 【变式7-3】（2022•细河区期末）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝40°，△B 的外角∠BD 的平分线BE 交的延长线于点E． （1）求∠BE 的度数； （2）过点D 作DF∥BE，交的延长线于点F，求∠F 的度数． 1 【题型8 三角形的外角性质（折叠问题）】 【例8】（2022•东城区校级期末）如图，将一张三角形纸片B 的一角折叠，使点落在△B 外 的'处，折痕为DE．如果∠＝α，∠E′＝β，∠BD'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ） ．γ＝2α+β B．γ＝α+2β ．γ＝α+β D．γ＝180° α β ﹣﹣ 【变式8-1】（2022•武昌区月考）如图，把△B 纸片沿DE 折叠，则（ ） ．∠＝∠1+ 2 ∠ B．2∠＝∠1+ 2 ∠ ．3∠＝2 1+ 2 ∠ ∠ D．3∠＝2（∠1+ 2 ∠） 【变式8-2】（2022 春•宜兴市校级期末）如图，将△B 的∠折叠，使点在边上，折痕为 DE，则（ ） ．∠BD＝∠DE+90° B．∠BD＝2∠DE ．∠BD+∠DE＝180° D．∠BD＝3∠DE 【变式8-3】（2022 春•长安区期末）如图1 和图2，在三角形纸片B 中，点D，E 分别在边， B 上，沿DE 折叠，点落在点'的位置． 1 （1）如图1，当点′落在D 边上时，∠DE 与∠1 之间的数量关系为 （只填序号）， 并说明理由； ①∠DE＝∠1 ②∠DE＝2 1 ∠ 1 ∠＝2∠DE （2）如图2，当点落在△B 内部时，直接写出∠DE 与∠1，∠2 之间的数量关系． 【题型9 三角形的外角性质（内外角平分线模型）】 【例9】（2022 春•茌平区期末）．如图，在 中， ， 的平分线交于点 ， 是 与 平分线的交点， 是 的两外角平分线的交点，若 ， 则 的度数为 ． B． ． D． 【变式9-1】（2022•中原区校级期末）如图，BP 是△B 中∠B 的平分线，P 是∠B 的外角的平 分线，如果∠BP＝20°，∠P＝50°，则∠P＝ °． 1 【变式9-2】（2022•郏县期末）如图在△B 中，B，分别平分∠B，∠B，交于，E 为外角∠D 的平分线，B 的延长线交E 于点E，记∠B＝∠1，∠BE＝∠2，则以下结论①∠1＝2 2 ∠， ②∠B＝3 2 ∠，③∠B＝90°+ 1 ∠，④∠B＝90°+ 2 ∠正确的是（ ） ．①②③ B．①③④ ．①④ D．①②④ 【变式9-3】（2022 春•江都区月考）如图①，在△B 中，∠B 与∠B 的平分线相交于点P． （1）如果∠＝70°，求∠BP 的度数； （2）如图②，作△B 外角∠MB，∠B 的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠之间的数量关 系． （3）如图③，延长线段BP，Q 交于点E，在△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角 的3 倍，求∠的度数． 【题型10 三角形的外角性质（内外角平分线规律问题）】 【例10】（2022 春•靖江市月考）如图1，在△B 中，∠B，∠B 的角平分线交于点，则∠B＝ 90°+ ∠＝ ×180°+ ∠． 如图2，在△B 中，∠B，∠B 的两条三等分角线分别对应交于1，2，则∠B1＝ ×180°+ 1 ∠，∠B2＝ ×180°+ ∠． 根据以上阅读理解，你能猜想（等分时，内部有﹣1 个点）（用的代数式表示）∠B 1 ﹣＝ （ ） ． ×180°+ ∠ B． ×180°+ ∠ ． ×180°+ ∠ D． ×180°+ ∠ 【变式10-1】（2022•曲靖期末）如图，在△B 中，∠B＝128°，P 是△B 的内角∠B 的平分线 BP1与外角∠E 的平分线P1的交点；P2是△BP1的内角∠P1B 的平分线BP2与外角∠P1E 的平 分线P2的交点；P3是△BP2的内角∠P2B 的平分线BP3与外角∠P2E 的平分线P3的交点； 依次这样下去，则∠P6的度数为（ ） ．2° B．4° ．8° D．16° 【变式10-2】（2022•市北区期末）【探究发现】 如图1，在△B 中，点P 是内角∠B 和外角∠D 的角平分线的交点，试猜想∠P 与∠之间的 数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 如图2，在△B 中，点P 是内角∠B 和外角∠D 的等分线的交点，即∠PB＝ ∠B，∠PD＝ ∠D， 试猜想∠P 与∠之间的数量关系，并证明你的猜想． 1 【应用创新】 已知，如图3，D、BE 相交于点，∠B、∠DE、∠E 的角平分线交于点P，∠＝35°，∠E＝ 25°，则∠BPD＝ ． 【变式10-3】（2022 春•宝应县期中）【问题引入】 （1）如图1，△B，点是∠B 和∠B 相邻的外角平分线的交点，若∠＝40°，请求出∠B 的度 数． 【深入探究】 （2）如图2，在四边形BD 中，点是∠B 和∠D 的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°， 请求出∠的度数． 【类比猜想】 （3）如图3，在△B 中，∠B＝ ∠DB，∠B＝ ∠EB，∠＝α，则∠B＝ （用α 的代数 式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）． （4）如果B，分别是△B 的外角∠DB，∠EB 的等分线，它们交于点，∠B＝ ∠DB，∠B ＝ ∠EB 则∠B＝ （用、的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）． 1