专题18.6 三角形的中位线【九大题型】（解析版）

专题186 三角形的中位线【九大题型】 【人版】 【题型1 利用三角形的中位线求角度】................................................................................................................. 1 【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】.........................................................................................................4 【题型3 利用三角形的中位线求周长】................................................................................................................. 8 【题型4 利用三角形的中位线求面积】............................................................................................................... 12 【题型5 利用三角形的中位线求最值】............................................................................................................... 15 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】.......................................................................................................20 【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】.......................................................................................................25 【题型8 三角形中位线的实际应用】...................................................................................................................30 【题型9 与三角形中位线有关的证明】............................................................................................................... 34 【知识点 三角形的中位线】 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 【题型1 利用三角形的中位线求角度】 【例1】（2022 春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、 F、G 分别是AB ,CD , AC的中点，若∠DAC=17°，∠ACB=91°，则∠FEG等于 （ ） ．36° B．72° ．74° D．37° 【答】D 【分析】根据三角形中位线定理得到¿=GF，利用等腰三角形的性质得到 ∠FEG=∠EFG，延长FG交AB于点M，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可． 【详解】如图，延长FG交AB于点M， ∵AD=BC，E、F、G 分别是AB ,CD , AC的中点，∠DAC=17°，∠ACB=91°， 1 ∴GF ∥AD ,GF=1 2 AD ,≥∥BC ,≥¿ 1 2 BC ,≥¿GF， ∴∠FEG=∠EFG，∠DAC=∠FGC=∠AGM=17°，∠AGE=∠ACB=91°， ∴∠MGE=∠AGE−∠AGM=∠FEG+∠EFG=2∠FEG=91°−17°=74°， 解得∠FEG=37°． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的 性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【变式1-1】（2022 秋·福建泉州·九年级晋江市季延中学校考期末）如图，在△ABC中， D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=32°．现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形 所在平面内的点为A '，则∠BD A '的度数为（ ） ．58° B．116° ．122° D．148° 【答】B 【分析】如图，证明∠ADE=∠A ' DE，证明DE∥B，得到∠DE=∠B=32°，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：∠DE=∠′DE； ∵D、E 分别是边B、的中点， ∴DE 是△B 的中位线， ∴DE B ∥， ∴∠ADE=∠A ' DE=∠B=32 ∘， ∴∠BD A '=180 ∘−∠ADE−∠A ' DE=116 ∘ ． 故选B． 【点睛】该题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还考查了三角形的中位线定理等几 何知识点． 【变式1-2】（2022 春·北京·八年级人大附中校考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC 平分∠BAD ,∠ABC=90° ,∠ACB=28°，且D=，点，E 分别是，D 的中点，则 1 ∠BOE的度数为_____________． 【答】112°##112 度 【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质证得=B=，易得到∠BAC=∠OBA=62°，利 用角平分线的性质得到∠OAE=62°，利用三角形中位线定理证得E=1 2D=1 2=，得到 ∠OAE=∠AEO=62°，再利用四边形内角和定理即可求解． 【详解】连接B， 在Rt Δ ACB中，∠B=28°，点是斜边的中点， ∴∠BAC=90°−28°=62°，=B==1 2， ∴∠BAC=∠OBA=62°， ∵平分∠BD， ∴∠BAC=∠OAE=62°， ∵点，E 分别是，D 的中点，且D=， ∴E=1 2D=1 2=， ∴∠OAE=∠AEO=62°， ∴∠BOE=360°−∠OBA−∠BAC−∠OAE−∠AEO=360°−4×62°=112°， 1 故答为：112°． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线的性质，四边形内角和定理，熟练 运用性质和定理、准确识别图形是解题的关键． 【变式1-3】（2022 春·山西太原·八年级统考期末）如图，已知△B 中，D，E 分别是B，的 中点，连接DE 并延长至F．使EF＝DE，连接F．若∠B＝45°，则∠F的度数为 _____． 【答】45°##45 度 【分析】由条件可证得证得四边形BFD 为平行四边形，即可求证． 【详解】解：∵点E 为的中点，点D 为B 的中点， ∴DE∥BC，且BC=2 DE． ∵EF＝DE， ∴DF=2 DE， ∴DF=BC， ∴四边形BFD 为平行四边形， ∴∠F=∠B=45°． 故答为：45° 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形 中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】 【例2】（2022 春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，Rt △ABC中，∠BAC=90°， AB=6，BC=10，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点B作BG⊥AD于G，交AC 于F，连接EG，则线段EG的长为（ ） ．1 2 B．1 ．3 2 D．2 【答】B 【分析】根据勾股定理得到AC=8，证明△AGB≌△AGF得到AB=AF=6,BG=FG， 求得CF=2，根据三角形的中位线定理即可得到结论． 1 【详解】解：Rt △ABC中，AB=6，BC=10， ∴AC= ❑ √10 2−6 2=8， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB=∠AGF． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAG=∠FAG， 在△AGB和△AGF中 ¿， ∴△AGB≌△AGF ∴AB=AF=6,BG=FG， ∴CF=2， ∵AE是△ABC的中线， ∴BE=CE， ∴EG是△BCF的中位线， ∴EG=1 2 CF=1， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，掌握三角 形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式2-1】（2022 秋·河南南阳·九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC ,BD相交于 点，点E 在OB上，连接AE，点F 为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3， OA=4，则线段OF的长为（ ） ．5 B．2❑ √5 ．3 ❑ √3 D．6 【答】B 【分析】先根据菱形的性质找到Rt △AOE和Rt △AOB，然后利用勾股定理计算出菱形 的边长BC的长，再根据三角形中位线性质，求出OF的长． 【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分， ∴AC ⊥BD，在Rt △AOE中， 1 ∵OE=3，OA=4， ∴根据勾股定理得AE= ❑ √3 2+4 2=5， ∵AE=BE， ∴OB=AE+OE=8， 在Rt △AOB中，AB= ❑ √4 2+8 2=4 ❑ √5， 即菱形的边长为4 ❑ √5， ∵点F 为CD的中点，点为DB中点， ∴OF=1 2 BC=2❑ √5 ． 故选：B 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质， 并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键． 【变式2-2】（2022 秋·河南新乡·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC， D 是BC的中点AE⊥BE，AB=5，AC=3，则DE的长为（ ） ．1 B．3 2 ．2 D．5 2 【答】 【分析】延长AC交BE的延长线于点F，易证明△ABF是等腰三角形，则得AF的长，点 E 是BF的中点，求得CF的长，从而DE是中位线，即可求得DE的长． 【详解】延长AC交BE的延长线于点F，如图， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB=∠AEF=90°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠FAE， ∴∠ABE=∠AFE， ∴△ABF是等腰三角形， ∴AF=AB=5，点E 是BF的中点， ∴CF=AF−AC=5−3=2，DE是△BCF的中位线， 1 ∴DE=1 2 CF=1． 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助 线得到等腰三角形． 【变式2-3】（2022 秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图，△ABC的周长为26，点D，E 都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂 足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ） ．3 2 B．5 2 ．3 D．4 【答】 【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由 △ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ． 【详解】解：由题意得：BQ⊥AE，BQ平分∠ABE， ∴∠ABQ=∠EBQ，∠AQB=∠BQE=90°， 又∵BQ=BQ， ∴△ABQ≌△EBQ (ASA )， ∴AB=BE , AQ=QE， ∴△BAE是等腰三角形，Q为AE的中点， 同法可得：CA=CD，△CAD是等腰三角形，P为AD的中点， ∴△ABC的周长¿ AB+BC+ AC=BE+BC+CD=BC+BC+DE=20+DE=26， 1 ∴DE=6， ∴PQ=1 2 DE=3； 故选． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角形的中 位线定理．根据已知条件，证明三角形全等，是解题的关键． 【题型3 利用三角形的中位线求周长】 【例3】（2022 春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△B 中，D⊥B 于点D，E，F 分别 为，B 的中点．B＝10，B=8，DE＝45，则△DEF 的周长是（ ） ．145 B．125 ．95 D．135 【答】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等腰斜边的一半以及三角形中位线定理分别求出 DF , EF的长度，结果可得． 【详解】解：∵ E，F 分别为，B 的中点， ∴EF=1 2 AB=5， ∵D⊥B， ∴∠CDB=90°， ∴△CDB为直角三角形， DF=1 2 BC=4， ∴ △≝¿的周长¿ DF+EF+DE=4+5+4.5=13.5， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识点，熟 练掌握以上知识点是解本题的关键． 【变式3-1】（2022 春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，已知矩形 ABCD的对角线AC的长为10cm，连接矩形各边中点E、F、G、得四边形EFGH，则四 边形EFGH的周长为（ ）cm． 1 ．10 B．20 ．30 D．40 【答】B 【分析】根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半，而矩 形对角线是相等的，都为10，那么就求得了各边长，让各边长相加即可． 【详解】解：连接BD，由矩形性质可知，BD=AC=10 cm， ∵H、G是AD与CD的中点， ∴GH是△ACD的中位线， ∴GH=1 2 AC=5（m）， 同理EF=5 cm，EH=FG=1 2 BD=5 cm， ∴四边形EFGH的周长为20m 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是 解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三 边的一半． 【变式3-2】（2022 春·河南信阳·八年级统考期末）如图，点D 是△ABC内一点， BD⊥CD，AD=11，BD=8，CD=6，点E，F，G，分别是B，，D，BD 的中点，则 四边形EFG 的周长是（ ）． 1 ．14 B．18 ．21 D．24 【答】 【分析】根据三角形中位线定理可得四边形GFE 是平行四边形，E 的长度；勾股定理可得 B，进而求得G 的长度，最后求得平行四边形的周长． 【详解】∵点E，F，G，分别是B，，D，BD 的中点 ∴EF ∥BC 且EF ＝1 2 BC GH ∥BC 且GH ＝1 2 BC HE＝1 2 AD=11 2 ∴EF ∥HG 且EF ＝HG ∴四边形GFE 是平行四边形． BD D ∵ ⊥， B=10 ∴ ∴HG＝1 2 BC=5 ∴平行四边形GFE 周长是2 HG+2 HE=21 故答为: 【点睛】此题考查了平行四边形的周长,解题的关键是用三角形中位线定理和勾股定理求出 相关边长． 【变式3-3】（2022 春·重庆·八年级重庆南开中学校考期末）如图，矩形BD 的对角线，BD 交于点，E 为B 边上一点，连接DE，F 为DE 的中点，连接F，F，若△BED的周长为 10，则△OCF的周长为（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【答】B 【分析】根据矩形的性质可得=BD，OC=1 2 BD，∠BD=90°，再由三角形中位线定理和直 角三角形的性质，可得CF=1 2 DE，OF=1 2 BE，从而得到 1 OF+CF+OC=1 2 (BE+DE+BD )，即可求解． 【详解】解：∵四边形BD 是矩形， = ∴BD，OC=1 2 AC，∠BD=90°， ∴OC=1 2 BD， ∵点F 为DE 的中点， ∴F 为△BDE 的中位线，CF=1 2 DE， ∴OF=1 2 BE， ∵△BED的周长为10， ∴BE+DE+BD=10， ∴OF+CF+OC=1 2 BE+ 1 2 DE+ 1 2 BD=1 2 (BE+DE+BD )=5， ∴△OCF的周长为5． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理和直角三角形的性质，熟练掌握 矩形的性质，三角形中位线定理和直角三角形的性质是解题的关键． 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 【例4】（2022 春·山东德州·八年级校考期末）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F， G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是________ 【答】45##9 2##4 1 2 【分析】先根据等底同高可得S△AEF=1.5，S△AEG=1.5，S△BCE=6再根据三角形中位线 定理可得S△FGE= 1 4 S△BCE=1.5，然后根据S△AFG=S△AEF+S△AEG+S△FGE即可得． 【详解】解：∵△ABC的面积是12，点D 是BC的中点， ∴由等底同高得：S△ABD=S△ACD=1 2 S△ABC=1 2 ×12=6， 1 同理可得：S△ABE=S△DBE=1 2 S△ABD=3， S△ACE=S△DCE=1 2 S△ACD=3， S△AEF=S△ABF=1 2 S△ABE=1.5， S△AEG=S△ACG=1 2 S△ACE=1.5， ∴S△BCE=S△DBE+S△DCE=6， ∵点F 是BE的中点，点G 是CE的中点， ∴FG是△BCE的中位线， ∴S△FGE= 1 4 S△BCE=1.5， 则S△AFG=S△AEF+S△AEG+S△FGE=1.5+1.5+1.5=4.5． 故答为：45． 【点睛】本题考查了三角形中线的应用、三角形中位线定理等知识点，根据三角形中位线 定理求出△FGE的面积，是解题关键． 【变式4-1】（2022 春·广东深圳·八年级统考期末）如图，EF 是△B 的中位线，点是EF 上 一点，且满足OE=2OF，则△B 的面积与△的面积之比为（ ） ．2:1 B．3:2 ．5:3 D．3:1 【答】D 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥B，EF＝1 2B， 再求出E 与B 的关系，然后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵EF 是△B 的中位线， ∴EF∥B，EF＝1 2B， ∵E＝2F， ∴E＝1 2× 2 1+2B＝1 3B， 设点到B 的距离为， 1 则S△B＝1 2B•，S△＝1 2E•＝1 2×1 3B•＝1 6B•， △ ∴B 的面积与△的面积之比＝3：1． 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的面积， 熟记定理并用B 表示出E 是解题的关键． 【变式4-2】（2022 春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在给定的△B 中，动点D 从点 B 出发沿B 方向向终点运动，DE∥交B 于点E，DF∥B 交于点F，是EF 的中点，在整个运 动过程中，△B 的面积的大小变化情况是（ ） ．不变 B．一直增大 ．先增大后减小 D．先减小后增大 【答】 【分析】根据平行四边形的性质得出在整个运动过程中，的轨迹是△B 的中位线，到B 的距 离相等，根据同底等高的三