专题12.4 全等三角形中的经典模型【六大题型】（原卷版）

专题124 全等三角形中的经典模型【六大题型】 【人版】 【题型1 平移模型】................................................................................................................................................. 1 【题型2 轴对称模型】............................................................................................................................................. 4 【题型3 旋转模型】................................................................................................................................................. 6 【题型4 一线三等角模型】.....................................................................................................................................9 【题型5 倍长中线模型】.......................................................................................................................................13 【题型6 截长补短模型】.......................................................................................................................................16 【知识点1 平移模型】 【模型解读】把△B 沿着某一条直线l 平行移动，所得到△DEF 与△B 称为平移型全等三角形， 图①，图②是常见的平移型全等三角线 【常见模型】 【题型1 平移模型】 【例1】（2022•义马市期末）如图，点，E，F，B 在直线l 上，E＝BF，∥BD，且＝BD， 求证：△F≌△BDE． 1 【变式1-1】（2022•曾都区期末）如图，点B，E，，F 在一条直线上，B＝DE，＝DF．老 师说：还添加一个条件就可使△B≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言： 甲：添加BE＝F，乙：添加∥DF，丙：添加∠＝∠D． （1）甲、乙、丙三个同学的说法正确的是 ； （2）请你从正确的说法中，选取一种给予证明． 【变式1-2】（2022 春•东坡区校级期末）如图，△B 中，B＝13m，B＝11m，＝6m，点E 是 B 边的中点，点D 在B 边上，现将△DBE 沿着B 方向向左平移至△DF 的位置，则四边形 DEF 的周长为 m． 【变式1-3】（2022•富顺县校级月考）如图1，，B，，D 在同一直线上，B＝D，DE∥F， 且DE＝F，求证：△F≌△DEB．如果将BD 沿着D 边的方向平行移动，如图2，3 时，其 余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 1 【知识点2 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三 角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等 【常见模型】 【题型2 轴对称模型】 【例2】（2022•安丘市期末）如图，已知△F≌△DBE，且点，B，，D 在同一条直线上，∠ ＝50°，∠F＝40°． （1）求△DBE 各内角的度数； （2）若D＝16，B＝10，求B 的长． 1 【变式2-1】（2022•陇县一模）如图，在△B 中，已知D⊥B 于点D，BE⊥于点E，∠DB＝ ∠EB．求证：D＝E． 【变式2-2】（2022•句容市期末）如图，已知△D≌△B．求证：＝BD． 1 【变式2-3】（2022•海珠区校级期中）如图，PB⊥B，P⊥，PB＝P，D 是P 上一点．求证： ∠BDP＝∠DP． 【知识点3 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这 两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共 角的条件 【常见模型】 【题型3 旋转模型】 【例3】（2022•环江县期中）如图，B＝E，B∥DE，∠1＝70°，∠D＝110°． 求证：△B≌△ED． 证明：∵∠1＝70°， ∴ （ ）． 又∵∠D＝110°， ∴ （ ）． 1 ∵B∥DE， ∴ （ ）． 在△B 和△ED 中， { (ㅤㅤㅤㅤ) (ㅤㅤㅤㅤ) AB=AE ， ∴△B≌△ED（S）． 【变式3-1】（2022 春•济南期末）如图1，△BE 是等腰三角形，B＝E，∠BE＝45°，过点B 作B⊥E 于点，在B 上截取D＝E，连接D、DE 并延长D 交BE 于点P； （1）求证：D＝BE； （2）试说明D 平分∠BE； （3）如图2，将△DE 绕着点旋转一定的角度，那么D 与BE 的位置关系是否发生变化， 说明理由． 【变式3-2】（2022•高港区校级月考）已知，如图，D、BF 相交于点，点E、在BF 上，且 BE＝F，＝DE，B＝DF．求证： （1）＝D； （2）∥DE． 1 【变式3-3】（2022•锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形△BD、△E 拼在一起（图 1），△BD 不动． （1）若将△E 绕点逆时针旋转，连接DE，M 是DE 的中点，连接MB、M（图2），证 明：MB＝M． （2）若将图1 中的E 向上平移，∠E 不变，连接DE，M 是DE 的中点，连接MB、M （图3），判断并直接写出MB、M 的数量关系． （3）在（2）中，若∠E 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、M 的 数量关系还成立吗？说明理由． 1 【知识点4 一线三等角模型】 【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD DE ⊥ ，B⊥，E DE ⊥ ，那么一定有 ∠B= E ∠ 【题型4 一线三等角模型】 【例4】（2022 春•香坊区期末）已知，在△B 中，B＝，D，，E 三点都在直线m 上，且DE ＝9m，∠BD＝∠E＝∠B （1）如图①，若B⊥，则BD 与E 的数量关系为 BD ＝ E ，E 与D 的数量关系为 E ＝ D ； （2）如图②，判断并说明线段BD，E 与 DE 的数量关系； （3）如图③，若只保持∠BD＝∠E，BD＝EF＝7m，点在线段DE 上以2m/s 的速度由点 D 向点E 运动，同时，点在线段EF 上以xm/s 的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时 间为t（s）．是否存在x，使得△BD 与△E 全等？若存在，求出相应的t 的值；若不存在， 请说明理由． 1 【变式4-1】（2022•东至县期末）如图，在△B 中，B＝，D、、E 三点都在直线m 上，并 且有∠BD＝∠E＝∠B＝α，若DE＝10，BD＝3，求E 的长． 【变式4-2】（2022 春•历下区期中）D 是经过∠B 定点的一条直线，＝B，E、F 分别是直 线D 上两点，且∠BE＝∠F＝∠β． （1）若直线D 经过∠B 内部，且E、F 在射线D 上， 1 ①若∠B＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BE F，EF |BE﹣F|．（填“＞”， “＜”，“＝”）； ②若0°＜∠B＜180°，且∠β+∠B＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明 理由； （2）如图3，若直线D 经过∠B 外部，且∠β＝∠B，请直接写出线段EF、BE、F 的数量 关系（不需要证明）． 【变式4-3】（2022•余杭区月考）如图①，点B、在∠M 的边M、上，点E，F 在∠M 内部 的射线D 上，∠1、∠2 分别是△BE、△F 的外角．已知B＝，∠1＝∠2＝∠B．求证： △BE≌△F． 应用：如图②，在△B 中，B＝，B＞B，点D 在边B 上，且D＝2BD，点E，F 在线段D 上．∠1＝∠2＝∠B，若△B 的面积为15，求△BE 与△DF 的面积之和． 1 【知识点5 倍长中线模型模型】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用 “倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造 出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 1 【题型5 倍长中线模型】 【例5】（2022 秋•博兴县期末）如图，BD 是△B 的中线，B＝6，B＝4，求中线BD 的取值 范围． 【变式5-1】（2022•涪城区校级月考）如图，在△B 中，D 是B 边的中点，E 是D 上一点， BE＝，BE 的延长线交于F，求证：∠EF＝∠EF． 【变式5-2】（2022•浠水县校级模拟）（1）在△B 中，D 为△B 的中线，B＝6，＝4，则D 的取值范围是 ； （2）如图，在△B 中，D 为△B 的中线，点E 在中线D 上，且BE＝，连接并延长BE 交 于点F．求证：F＝FE． 1 【变式5-3】（2022•丹阳市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验 活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，D 是△B 的中线，延长D 至点E，使ED＝D，连接BE，写出图中全等的两 个三角形 【理解与应用】 （2）填空：如图2，EP 是△DEF 的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x 的取值范 围是 ． （3）已知：如图3，D 是△B 的中线，∠B＝∠B，点Q 在B 的延长线上，Q＝B，求证： Q＝2D． 1 【知识点6 截长补短模型】 【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系截长，指在长线段中截取一 段等于已知线段;补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段该类题目中常出现等腰三 角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程 【题型6 截长补短模型】 【例6】（2022 秋•西岗区期末）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在△B 中，D 平分∠B，∠B＝2∠．求证：＝B+BD； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取E，使得E＝B，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决 问题． 方法二：如图3，延长B 到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而 解决问题． 1 （1）根据阅读材料，任选一种方法证明＝B+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方 法，解决下面的问题； （2）如图4，四边形BD 中，E 是B 上一点，E＝ED，∠DB＝2∠B，∠DE+∠B＝90°，探 究D、E、BE 之间的数量关系，并证明． 【变式6-1】（2022•蕲春县期中）已知：如图，在△B 中，∠B＝60°，△B 的角平分线D、E 交于点． 求证：＝E+D． 1 【变式6-2】（2022•新抚区校级月考）如图，四边形BD 中，∠＝∠B＝90°，E 是B 的中点 DE 平分∠D． （1）求证：E 平分∠BD； （2）求证：D+B＝D； （3）若B＝12，D＝13，求S△DE． 1 【变式6-3】（2022•黄石期末）已知△B 和△DEF 为等腰三角形，B＝，DE＝DF，∠B＝ ∠EDF，点E 在B 上，点F 在射线上． （1）如图1，若∠B＝60°，点F 与点重合，求证：F＝E+D； （2）如图2，若D＝B，求证：F＝E+B． 1