专题11.5 期末专项复习之二元一次方程组十四大必考点（原卷版）

专题115 二元一次方程组十四大必考点 【人版】 【考点1 二元一次方程（组）的概念】................................................................................................................. 1 【考点2 二元一次方程组的解】.............................................................................................................................2 【考点3 解二元一次方程组】.................................................................................................................................2 【题型4 同解方程组】............................................................................................................................................. 3 【题型5 二元一次方程组的错解复原问题】.........................................................................................................3 【题型6 构造二元一次方程组求解】.....................................................................................................................4 【考点7 二元一次方程的整数解】.........................................................................................................................4 【考点8 二元一次方程组的特殊解法】................................................................................................................. 5 【考点9 二元一次方程组的新定义问题】............................................................................................................. 6 【考点10 二元一次方程（组）的规律探究】........................................................................................................7 【考点11 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】.............................................................................................8 【考点12 二元一次方程（组）的应用】................................................................................................................ 9 【考点13 三元一次方程组的解法】......................................................................................................................10 【考点14 三元一次方程组的应用】......................................................................................................................11 【考点1 二元一次方程（组）的概念】 【例1】（2022·浙江·义乌市稠州中学育集团七年级阶段练习）方程①2x 3 ﹣y＝1，②xy＝ ﹣2，③x 2−5 x＝5，④x﹣1 y +2＝0 中，为二元一次方程的是（ ） ．① B．② ．③ D．④ 【变式1-1】（2022·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（ ） ①¿；②¿；③¿；④¿． ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【变式1-2】（2022·全国·八年级单元测试）已知(a−2)x+a 2−3+ y=1是关于x，y的二 元一次方程，则a的值为________． 【变式1-3】（2022·浙江·杭州市大关中学七年级期末）关于x，y 的二元一次方程x+by= （，b，是常数），b=+1，=b+1，对于任意一个满足条件的，此二元一次方程都有一个公共 解，这个公共解为_________． 【考点2 二元一次方程组的解】 【例2】（2022·浙江·华东师范大学附属杭州学校七年级期末）方程组¿的解为¿，则被遮盖 的两个数▲和■分别为( ) 1 ．1，2 B．5，1 ．2，3 D．2，4 【变式2-1】（2022·陕西·商洛市山阳信毅九年制学校七年级阶段练习）乐乐，果果两人同 解方程组¿时，乐乐看错了方程①中的，解得¿，果果看错了方程②中的b，解得¿，求 a 2021+( −b 10 ) 2022 的值． 【变式2-2】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）若¿和¿是某二元一次方程的解， 则这个方程为（ ） ．x+2y= -3 B．2 x−y=0 ．y=3 x−5 D．x−3= y 【变式2-3】（2022·陕西汉中·七年级期末）已知关于x、y的方程组¿，则下列结论中正确 的有( ) ①当a=1时，方程组的解也是方程x+ y=2的解； ②当x= y时，a=−5 3 ； ③不论a取什么数，2 x+ y的值始终不变． ．0个 B．1个 ．2个 D．3个 【考点3 解二元一次方程组】 【例3】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期末）关于x，y方程组¿满足x，y的和 为2，则m 2−2m+1的值为______． 【变式3-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组¿的解也是方程组¿ 的解求a,b的值． 【变式3-2】（2022·山东·聊城市东昌府区水城双语学校七年级阶段练习）解方程组 (1)¿ (2)¿ 【变式3-3】（2022·江苏泰州·七年级期末）在等式y＝x2＋bx＋1 中，当x＝－1 时，y＝6； 当x＝2 时，y＝11． （1）求，b 的值； （2）当x＝－3 时，求y 的值． 【题型4 同解方程组】 【例4】（2022·山东济宁·七年级期末）已知方程组¿和方程组¿有相同的解，则a，b的值分 别为（ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 【变式4-1】（2022·湖北武汉·七年级期末）已知方程组¿与¿有相同的解，则m+n=¿_____ __． 【变式4-2】（2022·黑龙江·大庆市高新区学校七年级期末）关于x，y 的两个方程组¿和¿有 1 相同的解，则a b 的值是（ ） ．2 3 B．3 2 ．−2 3 D．1 2 【变式4-3】（2022·陕西安康·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组¿和¿的解相同， 求a+b的值． 【题型5 二元一次方程组的错解复原问题】 【例5】（2021·山东滨州·七年级期末）解方程组¿时，一学生把c看错而得到¿，而正确的 解是¿，那么a+b+c的值为（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【变式5-1】（2022·四川巴中·七年级期末）甲、乙两人解关于x、y 的方程组¿时，甲因看 错得到方程组的解为¿，乙将方程②中的b 写成了它的相反数得到方程组的解为¿． (1)求、b 的值； (2)求原方程组的解． 【变式5-2】（2018·江西宜春·七年级期末）已知方程组¿由于甲看错了方程①中的a得到方 程组的解为¿；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为¿，若按正确的a，b计算，请你求 原方程组的解． 【变式5-3】（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组¿时，由 于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为¿；乙看错了方程组中的b，而得解为¿． (1)甲把看成了什么，乙把b 看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【题型6 构造二元一次方程组求解】 【例6】（2022·浙江湖州·七年级期末）小王和小明分别计算同一道整式乘法题： (3 x+m) (4 x+n)，小王由于抄错了一个多项式中m的符号，得到的结果为12 x 2−17 x+6， 小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为6 x 2−5 x−6，则这道题的正确 结果是_________． 【变式6-1】（2022·山东济宁·七年级期末）对于实数x，y，定义新运算x*y=x+by+1．其中， b 为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5=10，4*7=28，则3*6=（ ） ．18 B．19 ．20 D．21 【变式6-2】（2022·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）当x=1时，多项式 a+bx+c x 2+d x 3+e x 4+f x 5的值是32，且当x=−1该多项式值为0，则a+c+e的值是 （ ） ．8 B．16 ．32 D．无法确定 【变式6-3】（2022·安徽安庆·七年级期末）当、b 都是整数时，我们称（，b）为一个有序 1 整数对，如（-2，2）和（2，-2）是两个不同的有序整数对，则满足|-b|+|b|=1 的有序整数 对有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．6 个 【考点7 二元一次方程的整数解】 【例7】（2022·上海市静安区实验中学课时练习）二元一次方程3x+8y=27 的所有正整数解 为_________；整数解有_______个． 【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x 的方程9 x−3=kx+14有整数解， 求满足条件的所有整数k 的值． 【变式7-2】（2022·重庆一中八年级开学考试）对任意一个四位数m，若m 满足各数位上 的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这 个数为“M 数”，将一个“M 数”m 的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位 数，把这四个新三位数的和与3 的商记为F (m)．例如，“M 数”m=1234，去掉千位上的 数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数 字得到123，这四个新三位数的和为234+134+124+123=615，615÷3=205，所以 F (1234 )=205． (1)计算：F (1213)，F (8567)； (2)若“M 数”n=8900+10 x+ y（1≤x ≤9，1≤y ≤9，x，y 都是正整数），F (n)也是 “M 数”，且F (n)能被8 整除．求F [F (n)]的值． 【变式7-3】（2022·重庆涪陵·七年级期末）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自 然数m，若m的十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个自然数m为“三峡数”． 当三位自然数m为“三峡数”时，交换m的百位数字和个位数字后会得到一个三位自然数n， 规定F(m)=m−n 99 ．例如：当m=583时，因为5+3=8，所以583 是“三峡数”；此时 n=385，则F(m)=m−n 99 =583−385 99 =198 99 =2． (1)判断341 和153 是否是“二峡数”？并说明理由； (2)求F (352)的值； (3)若三位自然数m=100a+10 (a+b)+b（即m的百位数字是a，十位数字是a+b，个位数 字是b，1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整数，1≤a+b≤9）为“三峡数”，且F (m)=5时， 求满足条件的所有三位自然数m． 【考点8 二元一次方程组的特殊解法】 【例8】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）数学方法： 解方程组：¿，若设2 x+ y=m，x−2 y=n，则原方程组可化为¿，解方程组得¿，所以¿， 解方程组得¿，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法 1 叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y 的二元一次方程组¿，的解为¿，那么关于m、的二元一次方程 组¿的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组¿． (3)拓展应用：已知关于x，y 的二元一次方程组¿的解为¿， 求关于x，y 的方程组¿的解． 【变式8-1】（2022·上海市复旦实验中学八年级期末）用换元法解方程组¿时，可设 1 x =u, 1 y+1=v ,则原方程组可化为关于u、v 的整式方程组为_____． 【变式8-2】（2022·陕西·西大附中浐灞中学八年级期末）解方程组：¿ 【变式8-3】（2022·北京朝阳·七年级期末）阅读下列材料并填空： （1）对于二元一次方程组¿我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表( 4 3 54 1 3 36)， 求得一次方程组的解¿，用数可表示为( 1 0 a 0 1 b)．用数表可以简化表达解一次方程组的过程 如下，请补全其中的空白： ． 从而得到该方程组的解为¿． （2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组¿的过程． 【考点9 二元一次方程组的新定义问题】 【例9】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）我们规定：[m]表示不超过m的最 大整数，例如：[3.1]=3，[0]=0，[−3.1]=−4，则关于x和y的二元一次方程组¿的解为 （ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 【变式9-1】（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期末）如果一个正整数m=²-b²(,b 均为正整 数，且≠b)我们称这个数为“平方差数”，则,b 为m 的一个平方差分解，规定：F(m)=b a,例 如：8=8×1=4×2，由8= ²-b²=(a−b)(a+b)，可得{a+b=8 a−b=1或{a+b=4 a−b=2因为,b 为正整数， 解得{a=3 b=1，所以F（8）=1 3试求F（45）的值为_____ 【变式9-2】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非 零实数、b．都有※b= x- by． (1)若2 2 =-3 ※ ，求x- y 的值； 1 (2)若3 (-2)= 3 ※ ，(-2) 3= 8 ※ ，求x、y 的值． 【变式9-3】（2022·江苏南通·七年级期末）定义：数对(x , y )经过一种运算可以得到数对 (x' , y ' )，将该运算记作： d (x , y )=(x' , y ' )，其中¿（a，b为常数）． 例如，当a=1，b=1时，d (−2,3)=(1,−5)． (1)当a=2，b=1时，d (3,1)=¿__________； (2)若d (−3,5)=(−1,9)，求a和b的值； (3)如果组成数对(x , y )的两个数x，y满足二元一次方程x−3 y=0时，总有 d (x , y )=(−x ,−y )，则a=¿__________，b=¿__________． 【考点10 二元一次方程（组）的规律探究】 【例10】（2022 秋·四川成都·七年级统考期末）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮 出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州．图1 是我国古 代传说中的洛书，图2 是洛书的数字表示，洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9 个数填 入3×3的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3 的 幻方中也有类似于图1 的数字之和的这个规律，则a+b的值为（ ） ．2 B．−2 ．4 D．6 【变式10-1】（2022 春·北京石景山·七年级统考期末）下面反映了，按一定规律排列的方 程组和它们解之间的对应关系： 序号 1 2 3 …… 方程组 {2 x+ y=3 x−2 y=4 { 2 x+ y=5 x−4 y=16 { 2 x+ y=7 x−6 y=36 方程组 解 { x=2 y=−1 { x=4 y=−3 { x=6 y=−5 1 按此规律，第个方程组为___________，它的解为___________（为正整数） 【变式10-2】（2022 秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图所示的各图表示由若干盆花组成 的形如三角形的图，每条边(包括两个顶点)有(＞1)盆花，每个图花盆的总数为s．按此规律 推断，以s，为未知数的二元一次方程为______． 【变式10-3】（2022 秋·湖北省直辖县级单位·七年级统考期中）观察表一，寻找规律，表 二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则+b m ﹣＝_____． 【考点11 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 【例11】（2022 秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）阅读下列材 料，回答问题． 对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数 为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三 位数，把这三个新三位数的和与111 的商记为F (n)．例如n=123，对调百位与十位上的数 字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三 个新三位数的和为213+321+132=666，因为666÷111=6，所以F (123)=6． (1)计算：F (341)=¿ ，F (625)=¿ ； (2)若s，t都是“相异数”，其中s=100 x+32，t=150+ y，1≤x ≤9，1≤y ≤9且x，y都 是正整数，规定k=F (s)−F (t )，当F (s)+F (t )=19时，求k的最小值． 【变式11-1】（2022 春·广西南宁·七年级统考期末）【阅读理解】我们知道方程2x+3y＝12 有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例如：由2x+3y＝12，得：y=12−2 x 3 =4−2 3 x（x、y 为正整数）． 1 要使y=4−2 3 x为正整数，则2 3 x为正数可知：x 为3 的倍数，从而x＝3，代入 y=4−2 3 x=2． 所以2x+3y＝12 的正整数解为¿． (1)【类比探究】请根据材料求出方程3