专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型（原卷版）

专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借 助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大。 M O N A B C B A O N M C 【模型证明】如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角，∠B 是圆周 角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 D B A O N M C C' 在三角形’D 中， 又 【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒 问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解 题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（2023·广东珠海·九年级统考期末）如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角 度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好（ ） ．甲 B．乙 ．丙 D．丁 例2．（2023·四川宜宾·校考二模）如图，已知点、B 的坐标分别是 、 ，点为x 轴正半轴上一动 点，当 最大时，点的坐标是（ ） ． B． ． D． 例3．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，在矩形BD 中，B＝4，D＝8，M 是D 的中点，点P 是B 上一个动点，若∠DPM 的度数最大，则BP＝ ． 例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门B 的张角越 大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1 所示，运动员 带球在直线D 上行进时，当存在一点Q，使得 （此时也有 ）时，恰好能使 球门B 的张角 达到最大值，故可以称点Q 为直线D 上的最佳射门点． (1)如图2 所示，B 为球门，当运动员带球沿D 行进时， ， ， 为其中的三个射门点，则在这三个射 门点中，最佳射门点为点______；(2)如图3 所示，是一个矩形形状的足球场，B 为球门， 于点 D， ， ．某球员沿D 向球门B 进攻，设最佳射门点为点Q．①用含的代数式表示DQ 的长 度并求出 的值；②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为 ，若此时守门员站在 张角 内，双臂张开M 垂直于Q 进行防守，求M 中点与B 的距离至少为多少时才能确保防守成功． （结果用含的代数式表示） 例5．（2023 上·北京东城·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，给出如下定义： 对于 及 外一点P，M，是 上两点，当 最大，称 为点P 关于 的“视角”． 直线l 与 相离，点Q 在直线l 上运动，当点Q 关于 的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为 直线l 关于 的“视角”． (1)如图， 的半径为1，①已知点 ，直接写出点关于 的“视角”； 已知直线 ，直接写出直线 关于 的“视角”；②若点B 关于 的“视角”为 ，直接写出 一个符合条件的B 点坐标；(2) 的半径为1，①点的坐标为 ，直线 经过点 ，若直线关于 的“视角”为 ，求k 的值；②圆心在x 轴正半轴上运动，若直线 关于 的“视角"大于 ，直接写出圆心的横坐标 的取值范围． 模型2 定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线B 外一点，到直线B 距离为定值（定高），∠B 为定角，则D 有最小值，即△B 的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。。 条件：在△B 中，∠B= （定角），D 是B 边上的高，且D=（定高）。 结论：当△B 是等腰三角形（B=）时，B 的长最小；△B 的面积最小；△B 的周长最小。 证明思路：如图，作△B 的外接圆 ，连接，B，， 过点作E⊥B 于点E，设 的半径为r，则∠BE=∠B= ；∴B= 2BE=2B s =2r s 。 ∵+E≥D（当且仅当点，，E 三点共线时,等号成立），∴r+rs≥， 当取等号时r 有最小值，此时B 的长最小:2r s ；△B 的面积最小:D r s ； △B 的周长最小:2r s +D r s 。 例1．（2023·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）如图， ，边 、 上分别有两个动点、D， 连接 ，以 为直角边作等腰 ，且 ，当 长保持不变且等于 时，则 长的最 大值为 m． 例2．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在四边形BD 中，B＝D＝D＝4，D B ∥，∠B＝60°，点E、F 分别为 边B、D 上的两个动点，且∠EF＝60°，则△EF 的面积的最小值是 ． 例3．（2023·陕西·统考二模）问题探究 （1）如图1．在 中， ， 为 上一点， ．则 面积的最大值是_______． （2）如图2，在 中， ， 为 边上的高， 为 的外接圆，若 ，试判断 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由． 问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地 ， ， ，现在他想利用这块地 建一个四边形鱼塘 ，且满足点 在 上， ，点 在 上，且 ，点 在 上， 点 在 上， ，这个四边形 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值； 若不存在，请说明理由． 例4．（2020·陕西·陕西师大附中校考二模）问题探究，(1)如图①，在矩形BD 中，B＝2D，P 为D 边上的 中点，试比较∠PB 和∠DB 的大小关系，并说明理由；(2)如图②，在正方形BD 中，P 为D 上任意一点，试 问当P 点位于何处时∠PB 最大？并说明理由； 问题解决(3)某童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在D 边上点P 处安装监控装置，用来监控边 上的B 段，为了让监控效果最佳，必须要求∠PB 最大，已知：∠D＝60°，＝400 米，B＝200 米，问在D 边上是否存在一点P，使得∠PB 最大，若存在，请求出此时P 的长和∠PB 的度数；若不存在，请说明理 由． 课后专项训练 1．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，、B 表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点表示射 门点，连接、B，则∠B 就是射门角，在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就 越大，球员甲带球线路ED 与球门B 垂直，D 为垂足，点在ED 上，当∠B 最大时就是带球线路ED 上的最 佳射门角，若B=4，BD=1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时D 的长度为（ ） ．2 B．3 ． D． 2．（2022 上·江苏南通·九年级统考期中）矩形BD 的对角线BD=4，DE⊥于点E，则当∠DBE 最大时，BE 的长度为（ ） ． B． ． D．2 3．（2023·江苏南京·九年级校考期末）平面直角坐标系内，已知点 ， ， ．当 时， 若 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 4．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，正方形BD 中， ，E，F 分别是边B，D 上的动点， ，连接DE，F 交于点P，过点P 作 ，且 ，若 的度数最大时，则E 长为（ ） ．2 B．3 ． D． 5．（2023·辽宁沈阳·校考三模）如图是一个矩形足球球场， 为球门， 于点D， 米．某 球员沿 带球向球门 进攻，在Q 处准备射门，已知 米， 米，对方门将伸开双臂后， 可成功防守的范围大约为 米；此时门将站在张角 内，双臂伸开 且垂直于 进行防守， 中点与 距离 米时，刚好能成功防守． 6（2023 浙江·九年级校考期中）为了迎接新年的到来某市举办了迎新年大型灯光秀表演。其中一个镭射灯 距地面30 米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图：若将两根光线(B、)和光线与地面的两交点的 连接的线段(B)看作一个三角形，记为△B，三角形面积的最小值为_______平方米，其周长最小值为______ _米。 7（2023·重庆·九年级校考期中）如图，正方形BD 边长为4，E、F 分别是边B、D 上的动点，则△EF 面积 的最小值为________ 8．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，某雕塑M 位于河段上，游客P 在步道上由点出发沿B 方向行 走．已知∠B＝30°，M＝2M＝40m，当观景视角∠MP 最大时，游客P 行走的距离P 是 米． 9．（2023·浙江·九年级统考期末）如图1，直线与圆相切于，B 是直线上另一点，、D 在圆上，那么 ∠BD<∠D 如图2，是人看广告牌的情景如图3，广告牌的杆子高BD=96 米，广告牌画面高D=10 米，人自 高16 米，为了使人看广告牌的视角最大，人站立的地方距离广告牌的水平距离应为 米 10、（2023 重庆·九年级校考阶段练习）如图，有一块矩形空地BD ，B=120m，B=70m，现要对这块空地 进行改造，根据设计要求，在B 的中点M 处修建一个观景台，D、B 边上分别修建亭子E、F，且∠EMF= 120°，并在三角形ME 和三角形MBF 区域种植景观树，在矩形其他区域均种植花卉，已知种植景观树每平 方米需200 元，种植花卉每平方米需100 元，试求按设计要求，完成景观树和花卉的种植至少需费用多少 元?（结果保留根号）。 11．（2023 上·江苏泰州·九年级统考期末）【生活问题】2022 年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P 带球沿直 线 接近球门 ，他在哪里射门时射门角度最大？ 【操作感知】小米和小勒在研究球员P 对球门 的张角 时，在 上取一点Q，过、B、Q 三点作 圆，发现直线 与该圆相交或相切．如果直线 与该圆相交，如图1，那么球员P 由M 向的运动过程 中， 的大小______：（填序号） ①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大 【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线 与该圆相切于点Q，那么球员P 运动到切点Q 时 最大，如图2，试证明他们的发现． 【实际应用】如图3，某球员P 沿垂直于 方向的路线 带球，请用尺规作图在 上找出球员P 的位 置，使 最大．（不写作法，保留作图痕迹） 12．（2023·广东深圳·统考二模）课本呈现：如图1，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的 位置 对球门 的张角（ ）有关．当球员在 ， 处射门时，则有张角 ．某数学小组由此 得到启发，探究当球员在球门 同侧的直线射门时的最大张角． 问题探究： （1）如图2，小明探究发现，若过 、 两点的动圆与直线相交于点 、 ，当球员在 处射门时，则 有 ． 小明证明过程如下：设直线 交圆于点 ，连接 ，则 ∵ ___________ ∴ ___________ ∴ （2）如图3，小红继续探究发现，若过 、 两点的动圆与直线相切于点 ，当球员在 处射门时，则 有 ，你同意吗？请你说明理由． 问题应用：如图4，若 ， 米， 是中点，球员在射线 上的 点射门时的最大张 角为 ，则 的长度为___________米． 问题迁移：如图5，在射门游戏中球门 ， 是球场边线， ， 是直角， ． 若球员沿 带球前进，记足球所在的位置为点 ，求 的最大度数．（参考数据： ， ， ， ， ．） 13．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）最佳视点 如图1，设墙壁上的展品最高处点P 距底面米，最低处的点Q 距底面b 米，站在何处观赏最理想？所谓观 赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF 上求使视角最大的点． 如图2，当过 三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视角 最大，站在此处观赏最理 想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E 的水平线 上任取异于点E 的点 ，连接 交 于点 F，连接 ，… 任务一：请按照小明的思路，说明在点E 时视角最大； 任务二：若 ，观察者的眼睛距地面的距离为 米，最大视角为 ，求观察者应该站在距离 多远的地方最理想(结果精确到 米，参考数据 )． 14．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）【定义1】如图1 所示，像 这样顶点在圆外，两边 和圆相交的角叫圆外角； 【定义2】站在某一位置观察测物体时，视线范围所成的角度称为视角，如图2，在M 和点对矩形 观测，会有不同的视角． (1)【判断】如图3，连接 ， _____ ．（ ， ， ） (2)【问题解决】如图4，在平面直角坐标系中， ， ，直线 ，P 为直线l 上一 点，连接 ，求 的最大值． (3)【拓展应用】学校计划组织学生春游，一条北偏东 走向的路上经过紫色大厦时，小明发现在观察紫 色大厦时的最大视角为 ，小明认为，可以通过将公路和建筑物放在如图所示的平面直角坐标系中，可 以计算出此时公路距离紫色大厦的最近距离 的长度．请你协助小明完成计算，直接写出答． 15．（2023·广东深圳·校考三模）【问题发现】 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，，B 表示灯塔，暗礁分布在经 过，B 两点的一个圆形区域内，优弧 上任一点都是有触礁危险的临界点， 就是“危险角”．当 船P 位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角 与“危险角” 有怎样的大小关系？ 【解决问题】(1)数学小组用已学知识判断 与“危险角” 的大小关系，步骤如下： 如图2， 与 相交于点D，连接 ，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知 ， ∵ 是 的外角，∴ （填“＞”，“＝”或“＜”）， ∴ （填“＞”，“＝”或“＜”）； 【问题探究】(2)如图3，已知线段 与直线l，在直线l 上取一点P，过、B 两点，作 使其与直线l 相 切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接 ，请你判断 与 的数量关系，并 说明理由；【问题拓展】(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P 处接到球 后，沿 方向带球跑动，球门 米， 米， 米， ， ．该球员在 射门角度（ ）最大时射门，球员在 上的何处射门？（求出此时 的长度．） AB ACB    ACB  ACB  AP O  BD ACB ADB Ð =Ð ADB  BDP △ APB  ADB    ACB  AB O  AQ BQ 、 AQB  Q 8 AB  16 BD  tan 1 QPC   AMB  PQ PM 16．（2023·安徽阜阳·九年级统考阶段练习）从多边形的一个顶点引出两条射线形成一个角，这个角的两 边与多边形的两边相交，该多边形在这个角的内部的部分与角的两边围成的图形称为该角对这个图形的 “投射图形”．(1)【特例感知】如图1， 与正方形 的边 分别交于点 、点 ，此时 对正方形 的“投射图形”就是四边形 ；若此时 是一个定值，则四边形 的面积______（填“会”或“不会”）发生变化． (2)【迁移尝试】如图2，菱形 中， ， ， 分别是边 上的动点，若 对菱形 的“投射图形”四边形 的面积为 ，求 的值． (3)【深入感悟】如图3，矩形 中， ， ， 的两边分别与 交于点 、点 ， 若 ， ，求 对矩形 的“投射图形”四边形 的面积． (4)【综合运用】如图4，在 中， ， ， ，点 是 边上的一个动点， 的外接圆过点 ，且与 边交于点 ，此时 对 的“投射图形”为四边形 ， 当 取最小值时， 的值为______． 17．（2023 下·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）（1）问题提出：如图①，已知线段B，请以B 为斜 边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，已知点是直线l 外一点，点B、均在直线l 上，D⊥l 且 D=4，∠B=60°，求△B 面积的最小值；（3）问题解决：如图③，某林单位要设计把四边形花划分为几个区 域种植不同花草，在四边形BD 中，∠=45°，∠B=∠D=90°，B=D= m，点E、F 分别为B、D 上的点，若 保持E⊥F，那么四边形EF 的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理 由． 18．（2023·陕西咸阳·统考二模）问题提出：（1）如图①，在 中， ， ，则 的 外接圆半径 的值为__________； 问题探究：（2）如图②，四边形 是正方形，点 、 分别在 、 的延长线上，点 在 上，连接 、 、 ， ，若 、 的面积分别为5、9，求 的面积． 问题解决：（3）如图③，某公有一块形状为正方形 的空地， ，现要在这块空地上规划 出一个四边形 区域种植红枫树，其余部分种植草坪．根据设计要求，点 、 、 分别在 、 、 上， ， ．已知种植红枫树和草坪每平方米分别需要100 元、50 元．根据 设计要求，试确定 、 的位置，使种植红枫树和草坪的总花费最低，并求出最低总花费． 19．（2023·湖南永州·统考二模）问题探究与应用实践 （一）问题探究：如图（1），已知直线与水平视线 互相垂直， ， 在上， 在 上，∠B 叫做“视 角”，点 叫做“视点”，⊙ 是过 ， ， 三点的圆当视点 在直线 上移动时，视角∠B 的大小会 发生改变,可以证明：当视点 恰是⊙ 的切点时，视角 最大，此时观察 的效果最佳当视角 最大时：分别以直线 ，为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，如图（2） (1)如果此时点的坐标为 ，点B 的坐标为 ，试求圆心M 的坐标及 的值； (2)如果此时点， 的坐标分别为（0，），（0， ），请求出视点 的坐标（用， 的代数式表示） （二）应用实践：应用上述结论，让我们解决如下问题： (3)如图（3）， 是广场上挂的一个大屏幕电视，直线 是水平视线，屏幕最高点和最低点 到水平视 线 的距离分别为8 米和4 米小明在水平视线上观看电视节目，当他的视角最大时，视点（在水平视线 上）到直线 的距离约是多少？（结果保留一位小数，参考数据： ）