模型23 隐圆系列之点圆最值模型（原卷版）(1)

平面内一定的D 和上动点M 的连线中，当连线过圆心时，线段DM 有最 大值和最小值。分以下情况讨论：（设D=d，的半径为r） 点D 在外时，d＞r，如图： ①当D、M、三点共线时，线段DM 出现最值，DM 的最大值为d+r，DM 的最 小值为d-r; ②当点D 在上时，d=r，如图： 当D、、M 三点共线时，线段DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为 d-r=0(即点D 与点M 重合） ③当点D 在内时，d＜r，如图 当点D、、M 三点共线时，DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为|d- r|=r-d; 点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题 方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r| 【例1】．如图，在长方形纸片BD 中，B＝4，D＝6．点E 是B 的中点，点F 是D 边上的 模型介绍 例题精讲 一个动点．将△EF 沿EF 所在直线翻折，得到△GEF．则G 长的最小值是（ ） ． B． ．2 D．2 变式训练 【变式1-1】如图，在平行四边形BD 中，B＝6，D＝2 ，∠＝45°，M 是D 边的中点， 是B 边上的一动点，将△M 沿M 所在直线翻折得到△′M，连接′，则′长度的最小值是 ． 【变式1-2】．如图，矩形BD 中，B＝6，B＝9，以D 为圆心，3 为半径作⊙D，E 为⊙D 上一动点，连接E，以E 为直角边作Rt△EF，使∠EF＝90°，t∠EF＝ ，则点F 与点的 最小距离为 ． 【例2】如图，△B 中，B＝，B＝24，D⊥B 于点D，D＝5，P 是半径为3 的⊙上一动点， 连结P，若E 是P 的中点，连结DE，则DE 长的最大值为_______ 变式训练 【变式2-1】如图，在正方形BD 中，B＝2，F 是BD 边上的一个动点，连接F，过点B 作 BE⊥F 于E，在点F 变化的过程中，线段DE 的最小值是 ． 【变式2-2】．如图，B 是⊙的直径，点在半圆的中点，且B＝4m，点D 是 上的一个动 点，连接BD，过点作⊥BD 于，连接，在点D 的运动过程中，长度的最小值是 ． 1．如图，四边形BD 为矩形，B＝3，B＝4，点P 是线段B 上一动点，点M 为线段P 上一 点，∠DM＝∠BP，则BM 的最小值为（ ） ． B． ． ﹣ D． ﹣2 2．如图，△B 为等边三角形，B＝3．若P 为△B 内一动点，且满足∠PB＝∠P，则线段PB 长 度的最小值为（ ） ．15 B． ． D．2 3．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝2，点D 为线段B 的中点，将线段B 绕点B 顺时针旋 转90°，得到线段BE，连接DE，则DE 最大值是 ． 4．如图，在边长为2 的正方形BD 中，E，F 分别是边D，B 上的动点，且始终满足DE＝ F，E，DF 交于点P，则∠PD 的度数为 ；连接P，线段P 的最小值为 ． 5．如图，在△B 中，∠B＝90°，＝8，B＝10，D 是B 边上的高，E、F 分别为边D，D 上的 动点，且DE：DF＝4：3，射线E 与BF 相交于点M，若连接M，则线段M 的最小值为 ． 6．如图，直角梯形BD 中，B∥D，∠B＝90°，B＝1，B＝2，D＝3，以B 为圆心，半径为1 的弧交B 于M，E 是线段D 上一动点，EG⊥D，垂足为G，F 是弧M 上一动点，则 EG+EF 的最小值为 ． 7．如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝4，点是B 的中点，以B 为直角边向外作等腰Rt△BD， 连接D，当D 取最大值时，则∠DB 的度数是 ． 8．如图，正方形BD 的边长为2 ，点E 为正方形外一个动点，∠ED＝45°，P 为B 中点， 线段PE 的最大值是 ． 9．如图，在矩形BD 中，B＝4，B＝6． （1）如图①，点E 是B 的中点，点F 是B 边上一点，将△BEF 沿EF 折叠，点B 的对应 点为点P，求P 的最小值； （2）如图②，若点P 是矩形BD 内部一点，且∠BP＝90°，求PD 取得最小值时，BP 的 长； （3）如图③，若点P 是矩形BD 内部一点，且∠PD+∠PB＝60°，求P+BP 的最大值 10．如图，已知四边形BD 为正方形，△EF 为等腰直角三角形，∠EF＝90°，连接F，G 为 F 的中点，连接GD，ED． （1）如图①，当点E 在B 边上时，请直接写出DE，DG 的数量关系； （2）如图②，将图①中的△EF 绕点逆时针旋转，其他条件不变． ①探究（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； ②若D＝4，E＝1，求DG 的最大值和最小值． 11．（1）如图1，、B 是 上的两个点，点 ⨀ P 在 上，且△ ⨀ PB 是直角三角形， 的半径为 ⨀ 1 ①请在图1 中画出点P 的位置； ②当B＝1 时，∠PB＝ °； （2）如图2， 的半径为 ⨀ 5，、B 为 外固定两点（、、 ⨀ B 三点不在同一直线上），且 ＝9，P 为⊙上的一个动点（点P 不在直线B 上），以P 和B 为作平行四边形PB，求B 的最小值并确定此时点P 的位置； （3）如图3，、B 是⊙上的两个点，过点作射线M⊥B，M 交 于点，若 ⨀ B＝3，＝4，点 D 是平面内的一个动点，且D＝2，E 为BD 的中点，在D 的运动过程中，求线段E 长度 的最大值与最小值． 12．【问题提出】 （1）如图①，四边形BD 为正方形，以B 边为直径在B 上方作半圆，P 是 上一点， 若B＝6，则DP 的最小值为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝4，＝3，D 是中线，将△D 沿D 折叠，得到 △ED，点的对应点为E，连接E，求E 的长； 【问题解决】 （3）如图③是一块矩形BD 的场地，B＝300m，D＝600m，D 为场地的出人口，点E 在D 边上，且E＝400m．按照规划，要在矩形内修建一个小型观光台P，且满足∠PE＝ 90°，在B 上修建休息亭M，并要在观光台P、休息台M 以及出入口D 之间规划道路 PM，DM，为了节约成本，要使得线段PM，DM 之和最短，试求PM+DM 的最小值， 并说明理由．（道路的宽度忽略不计）