专题34 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型（原卷版）

专题34 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析， 方便掌握。 模型1 阿基米德折弦模型 【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如图1 所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则从M 向B 所作垂 线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M B C A D M B C A D F M B C A D G H M B C A D G 图1 图2 图3 图4 常见证明的方法： 1）补短法：如图2，如图，延长DB 至F，使BF=B； 2）截长法：如图3，在D 上截取DG=DB； 3）垂线法：如图4，作M⊥射线B，垂足为。 例1．（2023·广东·统考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折 弦定理：如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B 的中点，MF B ⊥于F，则F＝FB+B． 如图2，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝6，D 是B 上一点，BD＝1，作DE B ⊥交△B 的外接圆于E，连接E，则 ∠E＝ °． 例2．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1 发现了 阿基米德折弦定理．如图2，已知B 为⊙的直径，B 为一条弦(B B)，点M 是 上的点，MD⊥B 于点 D，延长MD 交弦B 于点E，连接BM，若BM= ，B=4，则E 的长为( ) ． B． ． D． 例3．（2023 上·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图， 和 是 的两 条弦（即折线 是弦 的一条折弦）， ， 是弧 的中点，则从 向 所作垂线的垂 足 是折弦 的中点，即 ，下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程 证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和 是弧 的中点， ∴ ， …… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)实践应用：如图3， 内接于 ， ， 是弧 的中点， 于点 ，依据阿 基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______ (3)如图4，等腰 内接于 ， ， 为弧 上一点，连接 ， ， ， ，求 的周长 例4．（2023·江苏·九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦 （即折线 是圆的一条折弦）， ，M 是 的中点，则从M 向 所作垂线的垂足D 是折弦 的中点，即 ．下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程． （1）证明：如图2，在 上截取 ，连接 和 ． ∵M 是 的中点，∴ …… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 实践应用：（2）如图3，已知 内接于 ， ，D 是 的中点，依据阿基米德折弦 定理可得图中某三条线段的等量关系为 ． （3）如图4，已知等腰 内接于 ， ，D 为 上一点，连接 ， ， 于点E， 的周长为 ， ，请求出 的长． 例5．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解 古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆 周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成 的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，B 和B 是 的两条弦（即B 是圆的一条折弦）， ．M 是弧 的中点，则从M 向 所作垂线之垂足D 是折弦 的中点，即 ． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段 上从点截取一段线段 ，连接 ． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M 作 于点，连接 任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3 证明： ． 模型2 婆罗摩笈多（定理）模型 【模型解读】婆罗摩笈多（Brmgupt）是七世纪时的印度数学家。 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延 长线必经过这条边对边的中点。 图1 图2 图3 如图1，BD 为圆内接四边形，对角线和BD 垂直相交，交点为E，过点E 作B 的垂线EF，延长FE 与D 交 于点G；则点G 是D 的中点。 如图2，所示已知等腰Rt△B 和等腰Rt△ED，作B//E 交G 的延长线于点，（1）S D △=S BE △；（2）若F⊥D， 则G 为BE 中点。 2、如图3，已知等腰Rt B △ 和等腰Rt ED △ ，在F 的延长线取点，使得F=F；（1）S D △=S BE △；（2）若F 为 D 中点，则G⊥BE。 例1．（2023·浙江·九年级专题练习）阅读下列相关材料，并完成相应的任务． 布拉美古塔定理 婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈 多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边 且过对角线交点的直线平分对边． 某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证． 已知：如图，在圆内接四边形 中，对角线 ，垂足为P，过点P 作 的垂线分别交 ， 于点，M． 求证：M 是 的中点． 任务：(1)请你完成这个定理的证明过程．(2)该数学兴趣小组的同学在该定理的基础上写出了另外一个命 题：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边请判断此命题是 命题．（填“真”或“假”）。(3)若 ，求 的长． 例2．（2023·重庆·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学 家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定 理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对 边”． 任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在 中，弦 于M，连接 分别是 上的点， 于 于，当M 是 中点时，直接写出四边形 是怎样的特殊四边形：________ __． 课后专项训练 1．（2023·浙江温州·校考三模）在几何学发展的历史长河中，人们发现了许多经久不衰的平面几何定理， 苏格兰数学家罗伯特·西姆森 发现从三角形外接圆上任意一点向三边（或其延长线）所作垂 线的垂足共线，这三个垂足的连线后来被称为著名的“西姆森线” ．如图，半径为4 的 为 的外接圆， 过圆心，那么过圆上一点P 作 三边的垂线，垂足E、F、D 所在直线即为西 姆森线，若 ， ，则 的值为（ ） ． B． ． D． 2．（2023 山东·校考二模）阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一 条折弦）， ， 是弧 的中点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边 内接于 ， ， 为 上一点， ， 于点 ，则 的周长是 ． 3（2023 春·山东威海·九年级校联考期中）早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于 弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论． 某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1， 和 是 的两条弦（即折线段 是圆的一条折弦）， ， 是 的中点，过点 作 ，垂足为 ，小明通过度量 、 、 的长度，发 现点 平分折弦 ，即 ．小丽和小军改变折弦的位置发现 仍然成立，于是 三位同学都尝试进行了证明： 小军采用了“截长法”（如图2），在 上㵶取 ，使得 ，…… 小丽则采用了“补短法”（如图3），延长 至 ，使 ，…… 小明采用了“平行线法”（如图4），过 点作 ，交圆于点 ，过点 作 ，…… (1)请你任选一位同学的方法，并完成证明； (2)如图5，在格图中，每个小正方形边长均为1， 内接于 （、B、均是格点），点、D 关于 对 称，连接 并延长交 于点 ，连接 ． ①请用无刻度的直尺作直线，使得直线平分 的周长；②求 的周长． 4．（2023·浙江嘉兴·九年级校联考期中）阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）， ，M 是 的中点，则从M 向 所作垂线的垂足D 是折弦 的中 点，即 ．下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程． 证明：如图2，在 上截取 ，连接 和 ．∵M 是 的中点， ∴ 任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图（3），已知等边 内接于 ， ，D 为 上 一点, ， 与点E,则 的周长是 ． 5．（2023 秋·山西阳泉·九年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（rmedes，公元前 ～公元前 年，古 希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、 高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯l-Bru（ 年～ 年）的译文中保存了阿基 米德折弦定理的内容，苏联在1964 年根据l-Bru 译本 出版了像文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米 德的折弦定理． 阿基米德折弦定理： 如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是固的一条折弦）， ， 是弧 的中 点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ． 这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法” 证明 的部分证明过程． 证明：如图2．作 射线 ，垂足为 ，连 接 ， ， ． ∵ 是弧 的中点， ∴ ．… 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图3，已知等边 内接于 ， 为 上一点， ， 于点 ， ，则折弦 的长是______． 6．（2023·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（Brmgupt）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算 规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定 理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 图1 古拉美古塔定理：如图1，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为点 ，直线 ，垂 足为点 ，并且交直线 于点 ，则 ． 证明：∵ ， ，∴ ∴ ， ．∴ ． ∵ ，∴ ．（依据） 又∵ ，∴ ．∴ ．…… 任务：（1）上述证明过程中的依据是______；（2）将上述证明过程补充完整； （3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为点 ，直线 交 于点 ，交 于点 ．若 ，则 ．请证明该命题． 7．（2023·江苏宿迁·统考二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接 四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 证明：如图1 所示内接于圆的四边形 的对角线 互相垂直，垂足为点 ，过点 的直线垂直 于 ，垂足为点 ，与边 交于点 ，由垂直关系得 ， ，所 以 ，由同弧所对的圆周角相等得 ，所以 ，则 ，同 理， ，故 ； 【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为 （填“真命题”，“假命题”）； 【探究】（1）如图2， 和 为共顶点的等腰直角三角形， ，过点 的直 线垂直于 ，垂足为点 ，与边 交于点 ．证明：点 是 的中点； （2）如图3， 和 为共顶点的等腰直角三角形 ，点 是 的中点，连接 交 于点 ，若 ，求 的长． 8．（2023·山西太原·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务 婆罗摩笈多（Brmgupt）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规 则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了 “婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：已知：如图，四边形BD 内接于⊙，对角线⊥BD，垂足为M，直线ME⊥B，垂足为E， 并且交直线D 于点F，则F＝FD． 证明：∵⊥BD，ME⊥B ∴∠ME+∠＝90°，∠BD+∠＝90° ∴∠BD＝∠ME ∴ ，∠ME＝∠MF ∴∠D＝∠MF ∴F＝MF… 任务：（1）材料中划横线部分短缺的条件为： ； （2）请用符号语言将下面“布拉美古塔定理”的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性： 已知：如图，四边形BD 内接于⊙，对角线⊥BD，垂足为M，F 为D 上一点，直线FM 交B 于点E，① ．求证：② ．证明： 8．（2023·广东佛山·统考三模）探索应用 材料一：如图1，在△B 中，B＝，B＝，∠B＝θ，用和θ 表示B 边上的高为 ，用．和θ 表示△B 的面积 为 ． 材料二：如图2，已知∠＝∠P，求证：F•BF＝QF•PF． 材料三：蝴蝶定理（ButterflyTerem）是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一，最早出现在1815 年，由． G．霍纳提出证明，定理的图形象一只蝴蝶． 定理：如图3，M 为弦PQ 的中点，过M 作弦B 和D，连结D 和B 交PQ 分别于点E 和F，则ME＝MF． 证明：设∠＝∠＝α，∠B＝∠D＝β， ∠DMP＝∠MQ＝γ，∠MP＝∠BMQ＝ρ，PM＝MQ＝，ME＝x，MF＝y 由 即 化简得：MF2•E•ED＝ME2•F•FB 则有： , 又∵F•FB＝QF•FP，E•ED＝PE•EQ， ∴ ，即 即 ，从而x＝y，ME＝MF． 请运用蝴蝶定理的证明方法解决下面的问题： 如图4，B、为线段PQ 上的两点，且BP＝Q，为PQ 外一动点，且满足∠BP＝∠Q，判断△PQ 的形状，并 证明你的结论． 9．（2022·河南驻马店·统考三模）阅读以下材料，并完成相应的任务： 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延 长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1， 已知 内接于⊙，点P 在⊙上（不与点、B、重合），过点P 分别作B，B，的垂线，垂足分别为D， E，F 求证：点D，E，F 在同一条直线上 以下是他们的证明过程： 如图1，连接PB，P，DE，EF，取P 的中点Q，连接QE，QF， 则 （依据1）， ∴E，F，P，四点共圆．∴ （依据2）． 又∵ ，∴ ． ∵ ，∴B，D，P，E 四点共圆．∴ （依据3）． ∵ ，∴ （依据4）． ∴点D，E，F 在同一条直线上． 任务：(1)填空：①依据1 指的的是中点的定义及______；②依据2 指的是______； ③依据3 指的是______；④依据4 指的是______． (2)善于思考的小英发现当点P 是 的中点时， ．请你利用图2 证明该结论的正确性． 10．（2022·河南安阳·统考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延 长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）． 某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理． 如图（1），已知 内接于 ，点P 在 上（不与点，B，重合），过点P 分别作 ， ， 的垂线，垂足分别为．点D，E，F 求证：点D，E，F 在同一条直线上． 如下是他们的证明过程（不完整）： 如图（1），连接 ， ， ， ，取 的中点Q，连接 ， ，则 ，（依据1） ∴点E，F，P，四点共圆，∴ ．（依据2） 又∵ ，∴ ． 同上可得点B，D，P，E 四点共圆，…… 任务：(1)填空：①依据1 指的是中点的定义及________；②依据2 指的是________． (2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P 是 的中点时， ，请你利用图（2） 证明该结论的正确性． 11．（2023·山东济宁·统考二模）阅读与思考； 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，书写了两部关于数学与天文的书籍，他的一些数学成就在世界 数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是 领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及证明如下：已知：如图，四边形BD 内接与 圆对角线⊥BD 于点M，ME B ⊥于点E，延长EM 交D 于F，求证：MF=DF 证明∵⊥BD，ME B BD= ME ⊥ ∠ ∠ ∴ BD= D ∵∠ ∠，∠ME= MF D= MF F=MF ∠ ∠ ∠ ∴ ∴ MD=90° ∵∠ ，同时∠MD+ MD=90° ∠ FMD= FDM ∴∠ ∠ MF=DF ∴ ，即F 是D 中点． （1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成婆罗摩笈多逆定理的证明： 已知：如图1，四边形BD 内接与圆，对角线⊥BD 于点M，F 是D 中点，连接FM 并延长交B 于点E，求 证：ME B ⊥ （2）已知如图2，△B 内接于圆，∠B=30° B=45° ∠ ，B=2，点D 在圆上，∠BD=60°，连接D 交B 于点P，作 ⊥D 于点，延长P 交B 于点M，求证PM B ⊥并求P 的长． 12．（2023·北京昌平·九年级统考期末）已知：对于平面直角坐标系 中的点 和 ， 的半径为 4，交 轴于点， ，对于点 给出如下定义：过点 的直线与 交于点 ， ，点 为线段 的中点， 我们把这样的点 叫做关于 的“折弦点”． (1)若 ，①点 ， ， 中是关于 的“折弦点”的是______； ②若直线 （ ）上只存在一个关于 的“折弦点”，求 的值； (2)点 在线段 上，直线 上存在关于 的“折弦点”，直接写出 的取值范围． 13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图中所示，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，D 是 的中点， DE⊥B，垂足为E．连结D，，BD．（1）写出所有与∠DB 相等的角（不添加任何线段）__________． （2）判断E，BE，B 之间的数量关系并证明．（3）如图，已知D＝7，BD＝3，求B·B 的值． 14．（2023 浙江九年级