专题31 圆中的重要模型之四点共圆模型（解析版）

专题31 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共 圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点 共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四 点共圆的四种重要模型。 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 模型1、定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于 定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点、、B、、D，使得=B==D， 结论：、B、、D 四点共圆（其中圆心为）。 例1．（2023 春·广东梅州·九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板B 的斜边 重合（ ），其中量角器0 刻度线的端点与点重合，射线 从 处出发沿顺时针方向以每秒3 度的速度旋转， 与量角器的半圆弧交于点E，第20 秒时点E 在量角器上运动路径长是 ． 【答】 【分析】首先连接 ，由 ，易得点 ， ， ，共圆，然后由圆周角定理，求得点E 在量角 器上对应的读数． 【详解】解：连接 ， ∵ ，∴，B，在以点为圆心，B 为直径的圆上，∴点E，，B，共圆， ∵ ，∴ ． ∴点E 在量角器上运动路径长 ，故答为：2π． 【点睛】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 例2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在 中， ，B==5，点 在 上，且 ，点E 是B 上的动点，连结 ，点 ，G 分别是B，DE 的中点，连接 ， ，当G=FG 时， 线段 长为（ ） ． B． ． D．4 【答】 【分析】连接DF，EF，过点F 作F⊥，FM⊥B，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点，D， F，E 四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得E 的长度，从而求解． 【详解】解：连接DF，EF，过点F 作F⊥，FM⊥B ∵在 中， ，点G 是DE 的中点，∴G=DG=EG 又∵G=FG∴点，D，F，E 四点共圆，且DE 是圆的直径∴∠DFE=90° ∵在Rt△B 中，B==5，点 是B 的中点，∴F=BF= ，F=FM= 又∵F⊥，FM⊥B， ∴四边形MF 是正方形∴=M=F= 又∵ ， ∴ ∴△FD≌△MFE∴ME=D=-D= ∴E=M+ME=3 ∴在Rt△DE 中，DE= 故选：． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形， 掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 例3．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形 的边 绕点逆时针旋转得到 ，连接 ，过点 D 作 的垂线，垂足E 在线段 上，连接 ．若 ， ，则 的度数为 ． 【答】 【分析】连接 与 ， 与 相交于点，可知点 五点共圆，从而得到 ，又易知在 中， ， ，从而得到 ，从而得解． 【详解】解：连接 与 ， 与 相交于点，连接 ， ∵四边形形 是矩形，∴ ， ，是 的中点， ， 又∵ 于E，即 是直角三角形， ∴ ，∴ ，∴点 五点共圆，作出这个圆如图所示： 则有 ，由旋转的性质可知： ， 又∵ ， ，∴ ，在 中， ， ， ∴ ，∴ ．故答为：30． 【点睛】本题考查隐圆问题，根据题意找出这个隐圆，从而得到 是解题的关键． 例4．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在 中， ， 为 的中点， 平分 交 于点 ， ， 分别与 ， 交于点 ， ，连接 ， ，则 的值为 ； 若 ，则 的值为 ． 【答】 【分析】（1）根据条件，证明 ，从而推断 ，进一步通过角度等量，证明 ，代入推断即可（2）通过 ，可知 四点共圆，通过角度转化， 证明 ，代入推断即可 【详解】解：（1）∵ ， 为 的中点∴ 又∵ 平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在 与 中 , ∴ （2∵ ∴ 四点共圆，如下图： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答为： 【点睛】本题考查三角形的相似，三角形的全等以及圆的相关知识点，根据图形找见相关的等量关系是解 题的关键． 模型2、定边对双直角共圆模型 A B C D E E D C B A 同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：若平面上、B、、D 四个点满足 ， 结论：、B、、D 四点共圆，其中D 为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：若平面上、B、、D 四个点满足 ， 结论：、B、、D 四点共圆，其中为直径。 例1．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形 中， ， ， 于点 ．若 ， ，则线段 的长为 ． 【答】 【分析】设 交于点F，过作 ，用 求出 ，即求出B 的长，又因为 ， 从而求得B． 【详解】如图，设 交于点F，过作 ， 在以 为直径的圆上 ， ， 在 和 中 = ， 【点睛】本题考查了圆的直径所对的圆周角为 ，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质， 勾股定理，本题能找到 是解题的关键． 例2．（2022 春·山东·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线 相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图1，∠E 是△B 中∠的遥望角．①若∠＝40°，直接写出∠E 的度数是 ； ②求∠E 与∠的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，点E 在BD 的延长 线上，连E，若∠BE 是△B 中∠B 的遥望角，求证：D＝DE． 【答】（1）①20°；② ，理由见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）①根据题目定义推出∠E＝ ∠，从而得出结论；②直接根据求解①过程证明即可； （2）首先根据题意推出、B、、D 四点共圆，然后作四边形BD 的外接圆交E 于点F，连接F，DF，再根 据圆的内接四边形的性质等推出∠FD＝∠DFE，然后根据“遥望角”的定义推出∠E＝∠DF，即可证 △DF≌△DEF，从而得出结论． 【详解】（1）解：①∵∠E 是△B 中∠的遥望角，∴∠EB＝ ∠B，∠ED＝ ∠D， ∴∠E＝∠ED﹣∠EBD＝ （∠D﹣∠B）＝ ∠，∵∠＝40°，∴∠E＝20°．故答为：20°； ② ，理由如下：∵∠E 是△B 中∠的遥望角，∴∠EB＝ ∠B，∠ED＝ ∠D， ∴∠E＝∠ED﹣∠EBD＝ （∠D﹣∠B）＝ ∠； （2）证明：∵∠B＝∠D＝90°，∴、B、、D 四点共圆， 作四边形BD 的外接圆交E 于点F，连接F，DF， ∵四边形FBD 内接于⊙，∴∠DF+∠DB＝180°，∵∠DF+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DB， ∵BD 平分∠B，∴∠BD＝∠DB，∵∠BD＝∠FD，∴∠FD＝∠DFE， ∵∠BE 是△B 中∠B 的遥望角，由（1）得∠E＝ ∠B， ∵∠B＝∠BD，∴∠E＝ ∠BD，∵∠E+∠DE＝∠B，∴∠E＝∠DE， ∵∠DE＝∠DF，∴∠E＝∠DF，∵DF＝DF，∠FD＝∠DFE， ∴△DF≌△DEF（S），∴D＝DE． 【点睛】本题考查新定义问题，涉及三角形角平分线的拓展运用，圆的内接四边形的性质等，理解题目定 义，灵活运用“四点共圆”的证明方法是解题关键． 例3．（2022·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt B △中，∠B＝90°，D 为B 边上一点，连接D． （1）如图1，作BE D ⊥ 延长线于E，连接E，求证：∠E＝45°； （2）如图2，P 为D 上一点，且∠BPD＝45°，连接P．若P＝2，求△P 的面积； 【答】（1）证明见解析；（2）①△P 的面积＝1；② ． 【分析】（1）由题意可证点，点B，点E，点四点共圆，可得∠E＝∠B＝45°； （2）通过证明△PB EB ∽△ ，可求E＝ ＝ ，由等腰直角三角形的性质可求F＝1，即可求解； 【详解】证明：（1）∵等腰Rt B △中，∠B＝90°，∴＝B，∠B＝∠B＝45°，B＝ B， BE D ∵ ⊥，∴∠EB＝90°＝∠B，∴点，点B，点E，点四点共圆，∴∠E＝∠B＝45°； （2）①如图2，过点B 作BE D ⊥，交D 的延长线于点E，过点作F D ⊥ 于F， BPD ∵∠ ＝45°，BE D ⊥，∴∠PBE＝45°＝∠B，∴∠BP＝∠BE， EB ∵∠ ＝90°＝∠B，∴点，点B，点E，点四点共圆， BE ∴∠ ＝∠BE，∠E＝∠B＝45°，∴△PB EB ∽△ ，∴E＝ ＝ ， F D ∵⊥，∠E＝45°，∴∠FE＝∠EF＝45°，∴F＝EF＝ E＝1， P ∴△的面积＝ ×P×F＝1； 【点睛】本题是三角形综合题，考查了四点共圆，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，等腰直角三 角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 例4．（2022 秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ， 是 的中点， 是 的中点，若 ， ， ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】连接 ， ，根据 且 为 中点，求证 是等腰三角形，再利用等 腰三角形的高，中线，角平分线三线合一的性质得到 ，根据圆周角定理得到 ，求得 ， ，于是得出结论． 【详解】连接 ， ，如图， ∵ 且 为 中点，∴ ， ，∴ ， ∵ 为 中点，∴ ，∵∠ ，∴ ， ， ， 四点共圆， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，在 中， ， ， ∴ ，∴ ，由勾股定理得： ， ∴ ，∴ ，故选： ． 【点睛】此题主要考查圆内接四边形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知 识点，解答此题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，求出线段． 模型3、定边对定角共圆模型 条件：如图1，平面上、B、、D 四个点满足 ，结论：、B、、D 四点共圆． 条件：如图2，、BD 交于， ，结论： 四点共圆 例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在Rt B 中，∠B＝90°，∠B＝40°，将 B 绕点顺时针旋转得到 DE，使D 点落在B 边上． （1）求∠BD 的度数；（2）求证：、D、B、E 四点共圆． 【答】（1）10°；（2）见解析 【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得∠的度数，由旋转的性质得出＝D，即可得出∠D＝∠， 最后由外角定理求得∠BD 的度数； （2）由旋转的性质得到∠B＝∠ED，由四点共圆的判定得出结论． 【详解】解：（1）∵在Rt B 中，∠B＝90°，∠B＝40°，∴∠＝50°， ∵将 B 绕点顺时针旋转得到 DE，使D 点落在B 边上， ∴＝D，∴∠D＝∠＝50°，∴∠D＝∠B+∠BD＝50°，∴∠BD＝50°－40°＝10° 证明（2）∵将 B 绕点顺时针旋转得到 DE，∴∠B＝∠ED，∴、D、B、E 四点共圆． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解 旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等． 例2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形B 中，B==4，B=6．如图2，在底边B 上 取一点D，连结D，使得∠D= D ∠．如图3，将△D 沿着D 所在直线折叠，使得点落在点E 处，连结BE，得到 四边形BED．则BE 的长是（ ） ．1 B． ． D． 【答】 【分析】只要证明 ，得 ，求出 、 即可解决问题． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， 、 、 、 四点共圆， ， ， ， ， ．故选： ． 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压 轴题． 例3．（2022·江苏无锡·中考真题）△B 是边长为5 的等边三角形，△DE 是边长为3 的等边三角形，直线 BD 与直线E 交于点F．如图，若点D 在△B 内，∠DB=20°，则∠BF＝________°；现将△DE 绕点旋转1 周， 在这个旋转过程中，线段F 长度的最小值是________． 【答】 80 ## 【分析】利用SS 证明△BD≌△E，得到∠DB=∠E=20°，据此可求得∠BF 的度数；利用全等三角形的性质可求 得∠FB=60°，推出、B、、F 四个点在同一个圆上，当BF 是圆的切线时，即当D⊥BF 时，∠FB 最大，则 ∠FB 最小，此时线段F 长度有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵△B 和△DE 都是等边三角形，∴=B，D=E，∠B=∠B=∠DE=60°， ∴∠DB+∠D=∠E+∠D=60°，即∠DB =∠E， 在△BD 和△E 中， ，∴△E≌△BD（ SS），∴∠E=∠DB， ∵∠DB=20°，∴∠E=20°，∴∠BF=∠B+∠E=80°； 设BF 与相交于点，如图： ∵△E≌△BD∴E=BD，∠E=∠DB，且∠F=∠B， ∴∠FB=∠B=60°，∴、B、、F 四个点在同一个圆上， ∵点D 在以为圆心，3 为半径的圆上，当BF 是圆的切线时，即当D⊥BF 时，∠FB 最大，则∠FB 最小，∴ 此时线段F 长度有最小值，在Rt△BD 中，B=5，D=3， ∴BD= 4，即E=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°， ∵∠FB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE， 过点F 作FG⊥DE 于点G，∴DG=GE= ，∴FE=DF= = ， ∴F=E-FE=4- ，故答为：80；4- ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本 题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 例4．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得 出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段 同侧有两点 ， ，连接 ， ， ， ，如果 ，那么 ， ， ， 四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点 ， ， 的 ，在劣弧 上取一点 （不与 ， 重合），连接 ， 则 （依据1） 点 ， ， ， 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点 ， 在点 ， ， 所确定的 上（依据2） 点 ， ， ， 四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形 中， ， ，则 的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知 是等腰三角形， ，点 在 上（不与 的中点重合），连接 ．作点 关于 的对称点 ，连接 并延长交 的延长线于 ，连接 ， ．①求证： ， ， ， 四点共圆；②若 ， 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请 说明理由． 【答】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 (2)45°(3)①见解析；②不发生变化，值为8 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；（3）①根据（1）中的结论证明 即可得证；② 证明 ，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）如图2，作经过点 ， ， 的 ，在劣弧 上取一点 （不与 ， 重合），连接 ， 则 （圆内接四边形对角互补） 点 ， ， ， 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点 ， 在点 ， ， 所确定的 上（同圆中，同弧所对的圆周角相等） 点 ， ， ， 四点在同一个圆上 故答为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 （2） 在线段 同侧有两点 ， ， 四点共圆， 故答为： （3）①∵ ， ， 点与 点关于 对称， ， ， 四点共圆； ② ，理由如下，如图， 四点共圆， ， 关于 对称， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质 与判定，掌握以上知识是解题的关键． 模型4、对角互补共圆模型 O D C B A 条件：如图1，平面上、B、、D 四个点满足 ，结论：、B、、D 四点共圆． 条件：如图2，B、D 的延长线交于P， ， 结论：、B、、D 四点共圆 1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，以 为腰作等腰直角三 角形 ，顶点 恰好落在 边上，若 ，则 的长是（ ） ． B． ．2 D．1 【答】 【分析】先根据等腰三角形的性质可得 ， ， ，再判断出点 四点共圆，在以 为直径的圆上，连接 ，根据圆周角定理可得 ， ，然后根据相似三角形的判定可得 ，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解： 是以 为腰的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 点 四点共圆，在以 为直径的圆上，如图，连接 ， 由圆周角定理得： ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ，故选：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点， 正确判断出点 四点共圆，在以 为直径的圆上是解题关键． 例2．（2023·河南周口·校考三模）在 中， ，M 是 外一动点，满足 ，若 ， ， ，则 的长度为 ． 【答】 / 【分析】过点B 作 交 的延长线于点，过点D 作 于点E，过点D 作 于点 F，点,M,B,四点共圆，得 ，解直角三角形 ， ，面积法求 解， ，得 ． 【详解】解析：过点B 作 交 的延长线于点，过点D 作 于点E，过点D 作 于点F，如图所示： ∵ ∴点,M,B,四点共圆 ∵ ∴ ∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ 【点睛】本题考查四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，角平分线性质定理，添加辅助构造直角三角形 是解题的关键． 例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， ， ，点 、 分别是线段 、射线 上的 动点，以 为斜边向上作等腰 ， ，连接 ，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】连接 并延长，利用四点共圆的判定定理得到 ， ， ， 四点共圆，再利用等